第6单元 01 第36讲 数列的概念与简单表示法（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦数列概念与简单表示法核心考点，覆盖数列定义、分类、函数性质及a_n与S_n关系等课标要求，按概念内涵-分类标准-函数关联-应用题型逻辑架构知识，通过表格梳理基础、方法总结提炼规律、真题题组强化训练，助力学生突破通项公式求解、单调性判断等难点。 资料突出数学思维与数学眼光培养，如例3用定义法分析递增数列求k范围，渗透逻辑推理；设常识题巩固基础、常错题警示陷阱，分层练习适配不同学情。创新教学活动设计保障复习效率，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第六单元　数列 第36讲　数列的概念与简单表示法 【课标要求】　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照　　　　　　排列的一列数  数列的项 数列中的　　　　　  通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用　　　　来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式,则称上述关系式为这个数列的　　　通项公式  递推公式 如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系 数列{an} 的前n 项和 一般地,给定数列{an},称Sn=　　　　　　为数列{an}前n项和  2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数　　　  无穷数列 项数　　　  项与项间 的大小 关系 递增数列 an+1　　　　an  其中 n∈N* 递减数列 an+1　　　　an  常数列 an+1　　　　an  摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 3.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 4.an 与Sn的关系 已知数列{an}的前n项和为Sn,则an=　　　　　　　.  常用结论 在数列{an}中,若an最大,则 (n≥2,n∈N*);若an最小,则(n≥2,n∈N*). 题组一　常识题 1.[教材改编] 数列1,,,,,…的一个通项公式是an=　　　　.  2.[教材改编] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n,那么它的通项公式为an=　　　　.  3.[教材改编] 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图中的数1,5,12,22,…称为五边形数,则第7个五边形数是　　　　.  题组二　常错题 4.[不能正确求出通项公式] 已知数列1,,,,3,,…,则是这个数列的第　　　　项.  5.[忽视数列是特殊的函数,其自变量属于正整数集N*或{1,2,…,n}] 数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是　　　　.  6.[根据Sn求an时忽视对n=1的验证] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　.  　根据数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)数列,,,,…,则该数列的第n项应为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)数列1,-1,1,-1,…(n∈N*)的一个通项公式为 (　 ) A.(-1)n+2 B.cos(n-1)π C. D.sin 总结反思 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略: (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列).可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式. (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n的一次递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*来处理. 　由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2-3,则数列{an}的通项公式为an=　　　　　　.  (2)[2025·广州模拟] 已知数列{an}满足a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,则数列{an}的通项公式为　　　　　　.   总结反思 an与Sn的关系问题的求解思路: (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含有an,an-1的关系式再求解,注意对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2; (2)利用Sn=an-an-1(n≥2)转化为只含有Sn,Sn-1的关系式再求解. 变式题 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,Sn+1=Sn+2an-1,则an=　　　　.  (2)[2026·安徽江淮十校二联] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知+n=3an+1,a1=,则数列{an}的通项公式是　　　　　.  　数列的函数性质 微点1　数列的函数性质 例3 [2025·湖南长沙期末] 数列{an}的通项公式为an=n2-kn(n∈N*),且{an}为递增数列,则k的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3] 微点2　数列的周期性 例4 [2026·河北邢台质检] 在数列{an}中,若a1=3,an+1=,则{an}中的项是 (　 ) A.4 B.-4 C. D.-3 微点3　数列的最值 例5 (多选题)[2026·陕西汉中联考] 已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·(n∈N*),则下列说法正确的是 (　 ) A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项 C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5时,数列{an}递减 总结反思 1.判断数列的单调性常用以下两种方法:(1)定义法:已知n∈N*,若满足an+1-an>0,则数列{an}为递增数列;若满足an+1-an<0,则数列{an}为递减数列.(2)函数法:根据数列通项公式的形式将通项公式对应到相应的函数中,利用相应函数的性质求解数列的有关问题,要注意n∈N*.数列单调性的判断更多的是应用定义判断,进而求解数列的最值问题等. 2.数列的周期性主要体现在项数较大的求值问题中.一般要通过递推关系进行列项求值,发现规律,进而解决求值问题. 3.求解数列最值问题常用的方法: (1)将数列视为当x∈N*时函数f(x)所对应的一系列函数值,先求出f(x)的单调性,利用单调性求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项. (2)通过通项公式an研究数列的单调性或各项的正负情况,利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项. 1.已知数列{an},满足an+2+an+1+an=1,a1=2,a2=1,则a300= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.数列{an}的通项公式为an=n2-10n+21,则当该数列的前n项和取得最小值时,n的值为 (　 ) A.5 B.7 C.7或8 D.6或7 3.(多选题)[2025·佛山期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,an=(n∈N*),则 (　 ) A.数列{an}是递减数列 B.当且仅当n=7时,an取得最小值 C.数列{Sn}是递减数列 D.当且仅当n=7时,Sn取得最小值 4.已知数列{an}的通项公式为an=t>0,若数列{an}是递增数列,则实数t的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元　数列 第36讲　数列的概念与简单表示法 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.一定次序　每一个数　an=f(n) 一个　a1+a2+…+an 2.有限　无限　>　<　= 4. 【对点演练】 1.　[解析] 因为=1,=,=,=,=,…,所以an=. 2.2n+2　[解析] ∵a1=S1=1+3=4,an=Sn-=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2(n≥2),当n=1时,2n+2=4=a1,∴an=2n+2. 3.70　[解析] ∵5-1=4,12-5=7,22-12=10,∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,∴第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是51+19=70. 4.22　[解析] 由题意可得数列的通项公式为an=,又=,解得n=22,所以是这个数列的第22项. 5.30　[解析] 因为an=-n2+11n=-+(n∈N*),所以当n=5或6时,an取得最大值30. 6.an=　[解析] Sn=n2+3n+2,当n=1时,a1=S1=6,当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+3(n-1)+2,所以an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+2]=2n+2,当n=1时,a1=6不满足上式,所以an= ● 课堂考点探究 例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)数列{an}的前几项可化为a1==,a2==,a3==,…,则其通项公式为an=.故选D. (2)对于A,当n=1时,(-1)n+2=(-1)3=-1,故A错误;对于B, 当n为奇数时,n-1为偶数,cos[(n-1)π]=cos 0=1,与数列奇数项为1相符,当n为偶数时,n-1为奇数,cos[(n-1)π]=cos(-π)=-1,与数列偶数项为-1相符,故B正确;对于C,当n=2时,==0,故C错误;对于D,当n=1时,sin=sinπ=-1,故D错误.故选B. 例2　[思路点拨] (1)利用an=进行求解; (2)先将n=1代入表达式计算出a1的值,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=,两式相减进一步计算即可推导出数列{an}的通项公式. (1)　(2)an= [解析] (1)当n=1时,a1=S1=8-3=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1.所以 an= (2)当n=1时,a1=,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=,两式相减得3n-1an=-=,解得an=.∴an= 变式题　(1)2n+1　(2)an=n [解析] (1)由Sn+1=Sn+2an-1,可得Sn+1-Sn=2an-1,即an+1=2an-1,则an+1-1=2(an-1),所以数列{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=2×2n-1=2n,所以an=2n+1. (2)∵+n=3an+1,∴3Sn+n2=3nan+n①,当n≥2时,3Sn-1+(n-1)2=3(n-1)an-1+(n-1)②,由①-②得3(Sn-Sn-1)+2n-1=3nan-3(n-1)an-1+1,∴3(n-1)an-3(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=,∴{an}是等差数列,又a1=,∴an=n. 例3　B　[解析] 由数列{an}是递增数列得,an+1>an对n∈N*恒成立,即(n+1)2-k(n+1)>n2-kn,整理可得k<2n+1对n∈N*恒成立.因为函数f(x)=2x+1在R上单调递增,所以k<f(1)=3.故选B. 例4　B　[解析] 由a1=3,an+1=,得a2==-4,a3==,a4==3,a5=-4,…,所以{an}是以3为周期的数列.又a1=3,a2=-4,a3=,所以A,C,D均不是{an}中的项.故选B. 例5　BCD　[解析] 设第n项为{an}的最大项, 则 即 所以又n∈N*,所以n=4或n=5,故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=.当n≥5时,数列{an}递减,故B,C,D正确.当n趋向正无穷大时,an=(n+2)·无限趋向于0且大于0,又a1=>0,所以a1不是数列{an}的最小项,且数列{an}无最小项,故A错误.故选BCD. 【应用演练】 1.A　[解析] 方法一:因为an+2+an+1+an=1,a1=2,a2=1,所以a3=-2,a4=2,a5=1,a6=-2,…,所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a300=a3×99+3=a3=-2. 方法二:因为an+2+an+1+an=1,所以an+3+an+2+an+1=1,两式相减得an+3=an,所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a300=a3×99+3=a3=-2.故选A. 2.D　[解析] 由an=n2-10n+21,得当n<5时,an+1<an,当n≥5时,an+1>an.由an≤0,得3≤n≤7,因此a1>a2>a3=0>a4>a5<a6<a7=0<a8<a9<…,则S1=a1=12,S2=S3>S4>S5>S6=S7=7,当n>7时,Sn>S7,所以当该数列的前n项和取得最小值时,n的值为6或7.故选D. 3.BD　[解析] an===+,易知f(n)=+在(0,7]上单调递减,在[8,+∞)上单调递减,且当1≤n≤7时,f(n)<,当n≥8时,f(n)>.对于A,因为a7==-5,a8==6,所以a7<a8,所以数列{an}不是递减数列,故A错误;对于B,因为a7<a6<…<a1<,a8>a9>…>,所以当n=7时an取得最小值,故B正确;对于C,因为a1==,a2==0,所以S2=S1,数列{Sn}不是递减数列,故C错误;对于D,因为前7项中a1>0,a2=0,a3到a7为负数,当n≥8时,an>0,所以S7是前n项和中最小的,所以当且仅当n=7时,Sn取得最小值,故D正确.故选BD. 4.(2,+∞)　[解析] 当n>2时,an=tn,因为数列{an}是递增数列,所以t>1.当n≤2时,由题得a1<a2,即t-+<4t-2+,解得t>2.又a3>a2,所以t3>4t-2+,解得t>或-<t<0. 综上,实数t的取值范围是(2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $