第5单元 06 第34讲 平面向量的综合问题（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦平面向量综合问题，覆盖“四心”向量形式、平面几何结论、物理应用及解三角形综合等高考核心考点，按“基础结论-方法提炼-真题应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（如“四心”条件对比）、方法指导（向量几何问题四步法）、真题训练（2025模拟题）帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出核心素养导向，以数学眼光抽象“四心”向量关系，用数学思维推理几何问题（如例1通过向量垂直建立方程求解），借数学语言转化物理情境（例2视风风速向量合成）。设计“结论辨析-典例精讲-变式分层”教学活动，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第34讲　平面向量的综合问题 【课标要求】　会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1.“四心”向量形式的条件 已知H,G,O,I是△ABC所在平面上的任意点,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边. (1)H为垂心⇔·=·=·⇔||2+||2=||2+||2=||2+||2. (2)G为重心⇔++=0. (3)O为外心⇔(+)·=(+)·=(+)·=0 ⇔ ||=||=||⇔==. (4)I为内心⇔a+b+c=0. 2.平面向量与平面几何综合的有关结论 (1)若,为非零向量,则·=0⇔MA⊥MB;·<0⇔∠AMB是钝角或两向量反向共线;·>0⇔∠AMB是锐角或两向量同向共线. (2)λ=⇔MP是∠AMB的平分线. (3)在▱ABCD中,(+)·(-)=0⇔▱ABCD是菱形;|+|=|-|⇔▱ABCD是矩形. 3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论 (1)在平面四边形ABCD中,有·=. (2)在平面四边形ABCD中,若AC⊥BD,则有+=+. (3)在平面四边形ABCD中,有cos<,>=. 4.三角形面积公式的向量表示 平面上O,A,B三点不共线,设=a=(x1,y1),=b=(x2,y2),则S△OAB==|x1y2-x2y1|. 　平面向量与三角形的“四心” 　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)[2025·山东临沂模拟] 在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为 (　 ) A. B. C.3 D.2 (2)点M,N,P在△ABC所在平面内,且满足++=0,||=||=||,·=·=·,则M,N,P依次是△ABC的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.重心、外心、内心 B.重心、外心、垂心 C.外心、重心、内心 D.外心、重心、垂心 总结反思 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 变式题 (1)已知平面四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,G,H,且AB2+CD2=AD2+BC2,则四边形EFGH一定为 (　 ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 (2)已知正三角形ABC的边长为2,点D在AC边上且AD=AC,点E为AB边的中点,CE与BD交于点O,则∠DOC的余弦值为　　　　.  　平面向量在物理中的应用 例2 [人教A版必修第二册P40例3改编] 在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,如图,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ(0<θ<π),则当两人拎起行李包且保持平衡时,下列结论正确的是 (　 ) A.|G|=|F1|+|F2| B.当θ=时,|F1|=|G| C.当θ越大时,用力越小 D.当|F1|=|G|时,θ= 总结反思 1.用向量方法解决物理问题的“三步曲” 2.向量在物理学中的应用一般涉及力、速度或位移的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图是前提. 变式题 [2025·全国一卷] 帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小,单位m/s),则真风为 (　 ) 级数 名称 风速大小 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 　平面向量数量积与解三角形综合 例3 [2025·湖南长沙一中月考(六)] 已知△ABC的面积为S,且·=S. (1)求tan 2A的值; (2)若B=,|-|=3,求S.     总结反思 求解平面向量数量积与解三角形综合题的方法:选取合适的基底,把三角形中的边对应的向量用基底表示,利用平面向量数量积结合正余弦定理沟通边角关系求解. 变式题 [2025·重庆九龙坡区5月调研] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+c)(sin A-sin C)+bsin B=asin B,b+2a=4,若+2=3,则||的最小值为 (　 ) A.2 B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第34讲　平面向量的综合问题 ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)利用向量垂直则数量积为0,求出=+,再平方求向量的模即可.(2)由三角形“四心”的性质即可得出答案. (1)A　(2)B　[解析] (1)设=+λ=+λ,因为AP⊥BD,所以·=(+λ)·(-)=-λ+(λ-1)·=0,即4-9λ+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=,所以=+,则||== = =.故选A. (2)∵++=0,∴+=-,设AB的中点为D,则+=2,∴C,M,D三点共线,即M为△ABC的中线CD上的点,且MC=2MD,∴M为△ABC的重心.∵||=||=||,∴NA=NB=NC,∴N为△ABC的外心.∵·=·,∴·(-)=0,即·=0,∴PB⊥AC.同理可得,PA⊥BC,PC⊥AB,∴P为△ABC的垂心.故选B. 变式题　(1)C　(2)　[解析] (1)连接AC,BD,由题意结合中位线定理可得HG∥AC,HG=AC,EF∥AC,EF=AC,∴HG∥EF,HG=EF,即四边形EFGH为平行四边形.∵=++,∴+=+=+(++)2=++++2·+2·+2·,∴+·+·+·=0,∴·(+)+·(+)=0,∴(+)·=0,即·=0,即⊥,∴BD⊥AC,又HG∥AC,HE∥BD,∴HE⊥HG,故四边形EFGH为矩形.故选C. (2)因为在正三角形ABC中,点E为AB边的中点,所以CE⊥AB,如图,以E为原点,EB,EC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则E(0,0),A(-1,0),B(1,0),C(0,),因为AD=AC,所以==,则D,则=,又=(0,), 所以cos∠DOC===. 例2　[思路点拨] 根据题意可得-G=F1+F2,则|G|=,再分析各个选项即可得出答案. B　[解析] 根据题意可得-G=F1+F2,则|G|=|F1+F2|== =, 故A错误;当θ=时,|G|==|F1|,即|F1|=|G|,故B正确;|G|=,因为y=cos θ在(0,π)上单调递减,且行李包所受的重力G不变,所以当θ越大时,用力越大,故C错误;当|F1|=|G|,即|G|==|F1|时,解得cos θ=-,又θ∈(0,π),所以θ=,故D错误.故选B. 变式题　A　[解析] 设真风风速、船行风速、视风风速、船速对应的向量分别为a,b,c,d,由题意知a+b=c,b=-d,则a=c+d,又c=(-3,-1),d=(1,3),∴a=(-2,2),∴|a|=2∈(1.1,3.3),故真风为轻风.故选A. 例3　[思路点拨] (1)根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式即可求出tan A,再结合二倍角公式进行计算即可;(2)利用两角和的正弦公式求出sin C的值,再结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可. 解:(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∵·=S,∴bccos A=bcsin A,可得cos A=sin A, ∴tan A=2,∴tan 2A===-. (2)由|-|=3得||=c=3,∵tan A=2>0,∴0<A<, ∴sin A=,cos A=,∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=. 由正弦定理得=,∴b===, 则S=bcsin A=××3×=3. 变式题　D　[解析] 因为(a+c)(sin A-sin C)+bsin B=asin B,所以由正弦定理得(a+c)(a-c)+b·b=a·b,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C==,又C∈(0,π),所以C=.由+2=3知=+,因为b+2a=4,所以||== === ≥==,当且仅当b=2a=2时等号成立.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $