第5单元 04 第33讲 平面向量的数量积（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义围绕平面向量数量积专题，覆盖概念、几何意义、运算律、坐标表示及模、夹角、垂直等高考核心考点，按“定义-性质-应用”逻辑构建知识体系。通过知识点梳理填空、典型例题精讲、高考真题演练等环节，帮助学生系统掌握数量积运算方法，突破夹角判断、模长计算等难点。 资料以高考真题为导向，如结合全国乙卷、新课标卷真题讲解数量积运算，通过“常识题+常错题”分层练习强化易错点。创新采用坐标法与几何意义结合的教学策略，培养学生数学思维与直观想象能力，设置即时反馈练习确保复习效率，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第33讲　平面向量的数量积 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.非零 2.|a||b|cos<a,b>　|a||b|cos<a,b> 3.(1)　投影向量　投影 (2)共线　相同　相反 (3)|a|cos<a,b>　长度　非负数 负数　(|a|cos<a,b>)|b| 4.①b·a　②λ(a·b)　a·(λb) ③a·c+b·c 5.x1x2+y1y2　x1x2+y1y2=0 【对点演练】 1.63　　[解析] |a|==5,|b|==13,a·b=3×5+4×12=63.设a与b的夹角为θ,则cos θ==,所以sin θ==. 2.±　[解析] 由题意知(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=9-16k2=0,解得k=±. 3.　[解析] 因为|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,所以|a+b|=== =. 4.-8　[解析] ∵△ABC是边长为4的等边三角形,∴·=||·||cos 120°=4×4×=-8. 5.∪(2,+∞)　[解析] ∵a与b的夹角是钝角,∴cos<a,b>=<0,可得λ>-.当a与b反向共线时,λ=2,此时cos<a,b>=-1<0,但a与b的夹角是平角,不满足题意,所以λ的取值范围为∪(2,+∞). 6.-　[解析] ∵a+b与2a-b互相垂直,∴2a2+a·b-b2=0①,∵a-2b与2a+b互相垂直,∴2a2-3a·b-2b2=0②.由①×3+②得a2=b2,代入①得4a·b=-b2,∴cos θ===-. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)思路一:以{,}为基底表示,,再结合数量积的运算律运算求解;思路二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;思路三:利用余弦定理求出cos∠DEC,进而根据数量积的定义求解.(2)根据已知条件可得向量a,b的夹角为60°,a·b=|a|2,再利用数量积运算可得解. (1)B　(2)C　[解析] (1)方法一:由题知||=||=2,=+=+,=+=-+,所以·=·=-+=-1+4=3.故选B. 方法二:如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-1,2),所以·=(1,2)·(-1,2)=-1+4=3.故选B. 方法三:由题意可得,ED=EC=,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得 cos∠DEC== =,所以·=||||cos∠DEC=××=3.故选B. (2)由|a|=|b|=|a-b|及向量加减法的几何意义,可得向量a,b的夹角为60°,∴a·b=|a|2,∴a·(a+b)=a2+a·b=a2+a·b+b2=(a+b)2=a2.故选C. 变式题　(1)C　(2)B　[解析] (1)由题得,a+b=(1,0)+(0,1)=,-a+b=-(1,0)+(0,1)=,则·=-+=0.故选C. (2)如图,取BC的中点为D,连接AD,因为AB=AC=5,BC=6,所以AD⊥BC,又△ABC为等腰三角形,所以AD==4,所以·(+)=2·=2||·||cos∠PAD=2=32,所以·(+)的值为32.故选B. 例2　[思路点拨] 由(b-2a)⊥b得|b|2=2a·b,由|a|=1,|a+2b|=2,得4|b|2+4a·b=3,联立即可得解. B　[解析] 因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,得|b|2=2a·b①.因为|a+2b|=2,所以|a+2b|2=4,即|a|2+4|b|2+4a·b=4,得4|b|2+4a·b=3②.由①②得|b|2=,则|b|=,故选B. 例3　[思路点拨] (1)由已知等式根据向量数量积运算律得出a·b,再应用向量夹角公式计算求解即可.(2)首先由a+b+c=0及|a|=|b|=1,|c|=得到a·b=0.思路一:利用已知及向量数量积的运算,求出(a-c)·(b-c)及|a-c|,|b-c|,进而求出cos<a-c,b-c>;思路二:由a,b是单位正交向量,作出图形,在特殊三角形中表示出已知和待求向量,用三角恒等变换求解;思路三:由a,b是单位正交向量,令a=(1,0),b=(0,1),求出c,从而求出a-c,b-c,利用向量的坐标运算求解. (1)C　(2)D　[解析] (1)由已知条件得|a|==2.因为|b|=2,且a·(a-2b)=16,所以a2-2a·b=16,所以a·b=-6.设向量a与b的夹角为θ,则cos θ==-,又θ∈[0,π],所以θ=.故选C. (2)因为a+b+c=0,所以a+b=-c,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0. 方法一:因为a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且|a-c|=|2a+b|===,|b-c|=|a+2b|===,所以cos<a-c,b-c>==.故选D. 方法二:如图,设=a,=b,=c,由题知,OA=OB=1,OC=,所以△OAB是等腰直角三角形, AB边上的高OD=,AD=,△ACB是等腰三角形,则C,O,D三点共线,所以CD=CO+OD=+=,则tan∠ACD==,则cos∠ACD=,所以cos<a-c,b-c>= cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD-1=2×-1=. 方法三:如图,令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),则cos<a-c,b-c>===. 例4　[思路点拨] (1)思路一:根据a,b的坐标得到|a|=|b|=,a·b=0,再根据向量垂直列出方程即可得到答案;思路二:根据向量的坐标运算求出a+λb,a+μb,再根据向量垂直的坐标表示即可得到答案.(2)根据条件得a-b=(1,1-2x),再利用向量垂直的坐标表示得到方程,解出x即可得到答案. (1)D　(2)　[解析] (1)方法一:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以|a|=|b|=,a·b=0,又(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=a2+λμb2=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D. 方法二:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)得(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D. (2)因为a=(x,1),a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x),a⊥(a-b),所以a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0,解得x=1,所以|a|==. 【应用演练】 1.C　[解析] 因为b在a上的投影的数量为-4,所以=-4,则a·b=-24,故|a+b|===2.故选C. 2.A　[解析] 由题意知向量a=(0,1),b=(1,2),故a+λb=(λ,1+2λ),又a+λb与b垂直,所以(a+λb)·b=0,可得(λ,1+2λ)·(1,2)=0,则λ+2(1+2λ)=0,解得λ=-,故选A. 3.D　[解析] 由题得||=2,||=1,所以·=||||cos 60°=2×1×=1,所以·=(+)·(+)=·(+)=+·-=4.故选D. 4.　[解析] 由(a+b)⊥(a-2b)可得(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=0,故2|b|2-|b|·|b|cos<a,b>-2|b|2=0,所以cos<a,b>=0,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 例5　[思路点拨] (1)设AB的中点为E,由条件得OE=,∠AOB=120°,将·表示成-cos∠COE,根据-1≤cos∠COE≤1可得结果. (2)建立平面直角坐标系,设a=(2,0),b=(1,),c=(x,y),可得b·c=x+y,设t=x+y,转化为圆心(2,0)到直线x+y=t的距离d≤1求解t的取值范围即可. (1)A　(2)D　[解析] (1)设AB的中点为E,连接OE,因为OA=OB=1,AB=,所以OE=, ∠AOB=120°,所以·=·=(-)·(-)=·-·(+)+||2=1×1×-·2+1=-+1-2×1×cos∠COE=-cos∠COE,又-1≤cos∠COE≤1,所以-≤·≤.故选A. (2)建立如图所示的平面直角坐标系,设=a=(2,0),=b=(1,),=c=(x,y),则|c-a|=≤1,即(x-2)2+y2≤1,∴点C在圆(x-2)2+y2=1上或其内部.b·c=x+y,令t=x+y,即x+y-t=0,由题可知直线x+y-t=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则圆心(2,0)到直线x+y-t=0的距离d==≤1,解得0≤t≤4.故选D. 变式题　(1)[16,48]　(2)D [解析] (1)过点M作直线AB的垂线,垂足为M1,则·=0,=+,所以·=·.据此可得,当点M与点H重合时,·取得最小值,最小值为4×4=16;当点M与点E重合时,·取得最大值,最大值为4×12=48.所以·的取值范围是[16,48]. (2)因为||=|-|=2,=+-2||||cos<,>=4-4cos<,>=4,所以cos<,>=0,所以=++2||||cos<,>=4,即|+|=2,|+|=|+++|=|(+)-2|.因为|+|=2,2||=10,所以|+|的最大值为10+2=12,最小值为10-2=8,故|+|的取值范围是[8,12].故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲　平面向量的数量积 【课标要求】　1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 5.能用坐标表示平面向量垂直. 1.向量的夹角 给定两个　　　　向量a,b,在平面内任选一点O,作=a,=b,则称[0,π]内的 ∠AOB为向量a与向量b的夹角(如图),记作<a,b>.  2.平面向量的数量积 一般地,当a与b都是非零向量时,称　　　　　　　　为向量a与b的数量积(也称内积),记作a·b,即a·b=　　　　　　　　.  3.平面向量数量积的几何意义 (1)设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B'(如图),则称向量 　　　　为向量a在直线l上的　　　　　　或　　　　.  (2)给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图,向量a在向量b上的投影为.一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量　　　　,它们的方向既有可能　　　　,也有可能　　　　.  (3)一般地,如果a,b都是非零向量,则称　　　　　　为向量a在向量b上的投影的数量,投影的数量与投影的　　　　有关,投影的数量既可能是　　　　,也可能是　　　　.a·b等于a在b上的投影的数量与b的模的乘积,即a·b=　　　　　　　　.  特别地,a·e=|a|cos<a,e>,其中e为单位向量. 4.平面向量数量积的运算律 已知非零向量a,b,c和实数λ. ①a·b=　　　　;   ②(λa)·b=　　　　=　　　　(λ∈R);   ③(a+b)·c=　　　　.  5.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 向量表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=　　　  夹角 cos θ= cos θ= a与b垂直 a⊥b⇔a·b=0 a⊥b⇔　　　　　  |a·b|与|a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2+y1y2|≤ 常用结论 1.①(a+b)·(a-b)=a2-b2; ②(a+b)2=a2+2a·b+b2; ③(a-b)2=a2-2a·b+b2. 2.S△ABC=||||sin A=. 3.若=λ(λ≠0),则AP所在直线为∠BAC的平分线. 4.已知非零向量a,b. (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0; (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知a=(3,4),b=(5,12),则a·b=　　　　,a与b夹角的正弦值为　　　　.  2.[教材改编] 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若(a+kb)⊥(a-kb),则实数k=　　　　.  3.[教材改编] 已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则|a+b|=　　　　.  题组二　常错题 4.[没有找准向量的夹角] 在边长为4的等边△ABC中,·=　　　　.  5.[误以为“a·b<0”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件] 设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1).若a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是　　　　　　.  6.[把代数式的运算性质和法则误用到向量的运算中] 已知非零向量a+b与2a-b互相垂直,a-2b与2a+b互相垂直,若a与b的夹角为θ,则cos θ=　　　　.  　平面向量的数量积　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)[2023·全国乙卷] 正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.3 C.2 D.5 (2)已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a·(a+b)= (　 ) A.a2 B.b2 C.(a+b)2 D.(a-b)2 总结反思 解决向量数量积的运算问题的三种方法: (1)当已知向量的长度和夹角时,可利用定义法求解; (2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解; (3)利用向量数量积的几何意义求解. 变式题 (1)[2026·北京清华大学附中模拟] 已知向量a=(1,0),b=(0,1),则·= (　 ) A.1 B. C.0 D.- (2)[2025·黑龙江大庆一模] 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点P是边BC上的动点,则·(+)的值 (　 ) A.为16 B.为32 C.最大为32 D.与P的位置有关 　平面向量数量积的性质问题 微点1　平面向量的模 例2 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　 ) A. B. C. D.1 总结反思 求平面向量的模的两种方法 (1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=; ②|a±b|==; ③若a=(x,y),则|a|=. (2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 微点2　平面向量的夹角 例3 (1)[2025·辽宁沈阳二十中九模] 已知向量a=(-1,),|b|=2,a·(a-2b)=16,则向量a与b的夹角为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2023·全国甲卷] 已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　 ) A.- B.- C. D. 总结反思 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法:利用向量数量积的定义得cos<a,b>=,其中两向量的夹角<a,b>的取值范围为[0,π]. (2)坐标法:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos<a,b>=. 微点3　平面向量的垂直 例4 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　 ) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 (2)[2025·全国二卷] 已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  总结反思 当向量a与b是坐标形式,即a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0. 1.[2025·辽宁鞍山一中八模] 已知|a|=6,|b|=8,b在a上的投影的数量为-4,则|a+b|= (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.2 C.2 D.2 2.[2026·山东济南摸底] 已知向量a=(0,1),b=(1,2),若a+λb与b垂直,则实数λ的值为 (　 ) A.- B.- C. D. 3.[2026·北京一六六中、五十中联考] 平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,∠DAB=60°,点M为边CD的中点,则·= (　 ) A.- B. C.-4 D.4 4.[2025·湖南岳阳二模] 已知非零向量a,b,若|a|=|b|,且(a+b)⊥(a-2b),则a与b的夹角为　　　　.  　与数量积有关的最值范围问题 例5 (1)已知A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AB=,则·的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. (2)已知向量a,b的夹角为,|a|=|b|=2,若向量c满足|c-a|≤1,则b·c的取值范围是 (　 ) A.[-4,4] B.[-2,2] C.[0,2] D.[0,4] 总结反思 数量积最值(范围)问题的解法 (1)坐标法:通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算转化为代数问题处理. (2)向量法:运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 变式题 (1)[2025·安徽蚌埠二模] 如图,六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形,且AB=4,点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界),则·的取值范围是　　　　.  (2)在平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2.设C(3,4),则|+|的取值范围是 (　 ) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 学科网（北京）股份有限公司 $