第5单元 02 第32讲 平面向量基本定理及坐标表示（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示，覆盖定理应用、正交分解、坐标运算及共线判定等高考核心考点，按“概念梳理-结论提炼-题组训练-例题精讲”逻辑架构知识，通过填空式知识点回顾、分层题组（常识题巩固基础、常错题警示误区）及例题变式训练，系统构建复习体系。 资料突出“问题导向”教学，如用“爪子定理”突破向量分解难点，坐标运算结合方程思想培养推理意识，共线问题分类讨论渗透数学眼光。设置基础到综合的练习梯度，配合总结反思即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，提升学生用数学语言表达和解决问题的应考能力。

第32讲　平面向量基本定理及坐标表示 【课标要求】　1.掌握平面向量基本定理. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线. 1.平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=　　　　.  平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底,记为　　　　.  2.平面向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1,e2}中,　　　　, 就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.  3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　　　　　　　　,a-b=　　　　,λa=　　　　,|a|=　　　　.  (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则　　　　坐标即为向量的坐标.  ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=　　　　,||=　　　　　　　　　.  4.平面向量平行(共线)的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔　　　　　　　　　.  常用结论 1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. 2.三角形重心坐标公式:已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为△ABC的重心坐标为. 3.爪子定理 形式1:如图①,在△ABC中,D是边BC上的点,若BD=m,DC=n,则=+,其中,,可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则=(+). 形式2:如图②,在△ABC中,D是边BC上的点,且=λ,则=λ+(1-λ),其中,,可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则=(+). ① ② 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知向量=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为　　　　　　　　　.  2.[教材改编] 设平面向量a=(-1,0),b=(0,2),则2a-3b=　　　　.  3.[教材改编] 在△ABC中,点D为边BC上一点,且BD∶DC=1∶2,设=a,=b,则=　　　　.(用a,b表示)  题组二　常错题 4.[忽视作为基底的两个向量不能共线] 给出下列四组向量:①e1=(0,0),e2=(1,-2);②e1=(-1,2),e2=(5,7);③e1=(3,5),e2=(6,10);④e1=(2,-3),e2=.其中可以作为基底的是　　　　(填序号).  5.[两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢] 已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),若(2a-b)∥a,则x的值为　　　　.  6.[忽视共线包括两种情况] 已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,||=2||,则点P的坐标为　　　　　　　.  　平面向量基本定理 　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)[2026·湖北武汉联考] 若e1,e2是平面内一组不共线的向量,则下列各组向量中,不能作为平面内所有向量的一个基底的是 (　 ) A.e1与e1-e2 B.e1+2e2与2e1+e2 C.e1-2e2与e1+2e2 D.6e1-3e2与e2-2e1 (2)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,且=,=3,点F为DE的中点,则= (　 ) A.-+ B.+ C.+ D.+ (3)[2025·北京朝阳区二模] 在矩形ABCD中,AB⊥AD,AD=2,AB=,点E为线段AD的中点,BE与AC交于点F.设=k1e1+k2e2(k1,k2∈R),其中e1,e2分别是与,方向相同的单位向量,则 (　 ) A.k1=,k2= B.k1=,k2= C.k1=,k2= D.k1=,k2= 总结反思 (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题. 变式题 (1)如图,在△ABC中,D为BC中点,E在线段AD上,且AE=2ED,则= (　 ) A.-+ B.- C.- D.+ (2)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　 ) A.1 B. C. D. 　平面向量的坐标运算 例2 (1)在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点分别为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),则+= (　 ) A.(-3,2) B.(-1,3) C.(-3,5) D.(-2,4) (2)已知向量a,b,c在正方形网格(规定小方格的边长为1)中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为　　　　.  总结反思 (1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 变式题 (1)已知a=(2,1),b=(-3,4),若表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c的坐标为 (　 ) A.(-15,31) B.(15,-31) C.(3,7) D.(-3,-7) (2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　.  　平面向量共线的坐标表示 例3 (1)[2025·南通押题卷] 已知两个不相等的向量a=(2,m+1),b=(2-4m,1),若a∥(2a-b),则m= (　 ) A. B.0 C.- D.- (2)已知平面四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为 (　 ) A. B. C.(3,2) D.(1,3) 总结反思 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式: ①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0; ②若a∥b(b≠0),则a=λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 变式题 (1)[2026·杭州学军中学开学考] 已知向量=(5,1),=(m,9),=(8,5).若A,C,D三点共线,则m= (　 ) A. B.-11 C.11 D.- (2)已知向量a=(2,1),b=(1,k).若(a+2b)∥ka,则实数k=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲　平面向量基本定理及坐标表示 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.xa+yb　{a,b}　2.e1⊥e2 3.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)　　(2)①终点 ②(x2-x1,y2-y1) 4.x2y1=x1y2 【对点演练】 1.(5,5)　　[解析] 方法一:设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,所以B(5,5). 方法二:设O为坐标原点,因为=-,所以=+=(2,3)+(3,2)=(5,5),所以B(5,5). 2.(-2,-6)　[解析] 2a-3b=2(-1,0)-3(0,2)=(-2,-6). 3.a+b　[解析] 由题意,可得=+=+=+(-)=+=a+b. 4.②　[解析] 两个不共线的向量可以构成一组基底,①③④中两向量共线,②中e1与e2不共线.故填②. 5.2或-1　[解析] 2a-b=(2x-2,3-x),∵(2a-b)∥a,∴2x-2=x(3-x),即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1. 6.或(1,0)　[解析] 由点P在直线AB上,且||=2||,可得=2或=-2.当=2时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-,b=,此时点P的坐标为.当=-2时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).综上,点P的坐标为或(1,0). ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (2)根据条件,结合图形,得到=(+),再利用向量的线性运算,即可求解;(3)根据条件,可得=e1+e2,然后利用平面向量基本定理即可得解. (1)D　(2)C　(3)B　[解析] (1)因为e1,e2是平面内一组不共线的向量,所以e1与e1-e2不共线,则e1与e1-e2能作为平面内所有向量的一个基底,所以A不满足题意;设e1+2e2=λ(2e1+e2),则无解,故e1+2e2与2e1+e2不共线,能作为平面内所有向量的一个基底,所以B选项不满足题意;设e1-2e2=k(e1+2e2),则无解,故e1-2e2与e1+2e2不共线,能作为平面内所有向量的一个基底,所以C选项不满足题意;因为6e1-3e2=-3(e2-2e1),所以(6e1-3e2)∥(e2-2e1),6e1-3e2与e2-2e1不能作为平面内所有向量的一个基底,所以D选项满足题意.故选D. (2)因为点F为DE的中点,所以=(+),又=,=3,所以=(+)=+(+)=++(-)=+.故选C. (3)在矩形ABCD中,因为点E为线段AD的中点,所以==,所以AF=AC,则有==(+)=+.因为AD=2,AB=,e1,e2分别是与,方向相同的单位向量,所以=2e2,=e1,则=+=e1+e2,又因为=k1e1+k2e2(k1,k2∈R),所以k1=,k2=.故选B. 变式题　(1)B　(2)A　[解析] (1)由D为BC中点,E在线段AD上,且AE=2ED,可得==(+),则=+=-++=-.故选B. (2)由题意作图可知,=-,=+=--,=-=-.因为=λ+μ,所以-=λ+μ=-(λ+μ),根据平面向量基本定理可得解得所以λ+μ=1,故选A. 例2　[思路点拨] (1)将各点的坐标代入即可求解.(2)根据题意建立平面直角坐标系,然后表示出a,b,c的坐标,代入c=λa+μb(λ,μ∈R)中可求出λ,μ的值,从而可求得结果. (1)B　(2)-4　[解析] (1)因为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),所以+=[(3,2)+(-5,4)]=(-2,6)=(-1,3).故选B. (2)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(0,4)-(1,6)=(-1,-2),b=(7,2)-(1,6)=(6,-4),c=(2,0)-(7,2)=(-5,-2),所以λa+μb=λ(-1,-2)+μ(6,-4)=(-λ+6μ,-2λ-4μ),因为c=λa+μb(λ,μ∈R),所以(-5,-2)=(-λ+6μ,-2λ-4μ),所以 解得所以=-4. 变式题　(1)D　(2)　[解析] (1)由题得3a+4b=(-6,19),-3b=(9,-12),因为表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,所以3a+4b-3b+c=0,则c=(-3,-7).故选D. (2)不妨设AB=1,则CD=AD=2,以D为原点,DC,DA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),∵=λ+μ,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴解得故λ+μ=. 例3　[思路点拨] (1)根据向量的坐标运算得2a-b=(2+4m,2m+1),然后根据向量共线的坐标运算求得m=0或m=-,再代入验证即可求解. (2)设出点D的坐标,求出,的坐标,利用向量相等构造方程组求解. (1)C　(2)A　[解析] (1)因为向量a=(2,m+1),b=(2-4m,1),所以2a-b=(2+4m,2m+1),由a∥(2a-b)得2×(2m+1)-(m+1)×(2+4m)=0,所以m×(1+2m)=0,解得m=0或m=-.当m=0时,a=(2,1),b=(2,1),此时a=b,不符合题意;当m=-时,a=,b=(4,1),此时a≠b,符合题意.故选C. (2)设D(x,y),则=(x,y-2),=(4,3),因为=2,所以解得所以顶点D的坐标为.故选A. 变式题　(1)C　(2)0或 [解析] (1)因为向量=(5,1),=(m,9),=(8,5),所以=+=(m+5,10).因为A,C,D三点共线,所以∥,所以5(m+5)=8×10,解得m=11.故选C. (2)a+2b=(4,1+2k),ka=(2k,k),因为(a+2b)∥ka,所以(1+2k)·2k-4k=0,解得k=0或k=. 学科网（北京）股份有限公司 $