第5单元 01 第31讲 平面向量的概念及其线性运算（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦平面向量的概念及其线性运算，覆盖向量的概念、线性运算、共线向量定理等高考核心考点，按“概念-运算-定理”逻辑架构梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料突出以实例培养数学眼光，通过常识题、常错题分层练习训练数学思维，结合共线向量定理应用强化数学语言表达，设置典例精讲和即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师精准把控复习节奏提供有力指导。

第五单元　平面向量与复数 第31讲　平面向量的概念及其线性运算 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)大小　方向　模　长度 (2)相同　0　(3)1 (4)相同或相反　平行　(5)相同 (6)相反 2.b+a　a+(b+c)　相同　相反　0　(λμ)a　λa+μa　λa+λb 3.λa 【对点演练】 1.　[解析] 将平移到,平移到,故++=++=. 2.　[解析] ∵λa+b与a+2b共线,∴存在实数μ使得λa+b=μ(a+2b),∴∴ 3.b-a　-a-b [解析] 如图,==-=b-a,=-=--=-a-b. 4.充分不必要　[解析] a=b⇒|a|=|b|,充分性成立,|a|=|b|⇒/ a=b,必要性不成立,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件. 5.平行四边形　[解析] 在平面四边形ABCD中,因为=,所以AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形. 6.[2,6]　[解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6]. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (2)由已知结合向量的基本概念及正六边形的性质即可求解. (1)C　(2),,　,,,　[解析] (1)对于A,向量不能比较大小,故A错误;对于B,向量的模相等,但是向量的方向可能不同,故B错误;对于C,若a=b,由向量相等的条件可得a∥b,故C正确;对于D,不相等的向量也可能是共线向量,故D错误.故选C. (2)根据正六边形的性质可知,在正六边形ABCDEF中,与相等的向量为,,,的相反向量为,,,. 变式题　BD　[解析] 对于A,a,b都是单位向量只能得出|a|=|b|,a,b的方向不一定相同,得不出a=b,故A错误;对于B,相等的两个向量一定是共线向量,故B正确;对于C,若a∥b,c∥b,则当b=0时,得不出a∥c,故C错误;对于D,两个非零向量的和还是向量,当两个向量的长度相等且方向相反时,和为零向量,故D正确.故选BD. 例2　[思路点拨] (2)思路一:在△AEF,△ABE,△ADF中分别利用向量加法的三角形法则表示,,,再线性运算表示出.思路二:在△CEF中利用向量加法的三角形法则表示,再根据向量相等即可表示出. (1)D　(2)D　[解析] (1)因为D,E为边BC上的三等分点,所以=,所以-=-,+=+,故D正确;假设+=+,则-=-,即=,显然不成立,故假设不成立,故C错误;与的方向不同,不能相等,故A错误;与的方向相反,不能相等,故B错误.故选D. (2)在平行四边形ABCD中,有=,=. 方法一:=-=(+)-(+)=-=-=-. 方法二:=+=+=-.故选D. 例3　[思路点拨] 根据向量的线性运算即可求解. D　[解析] 因为=-+=-++,所以-=-(-),即=-,即=-5,所以λ=-5.故选D. 【应用演练】 1.A　[解析] 如图,由|a-b|≤1,|b-c|≤2,得|a-c|≤|a-b|+|b-c|≤3,充分性成立;当|a-c|≤3时,不一定有|a-b|≤1,|b-c|≤2,必要性不成立.综上,“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的充分不必要条件.故选A. 2.B　[解析] 因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,所以-=2(-),所以=-2+3=-2m+3n. 3.B　[解析] +-2=(-)+(-)=+,-==-,∴|+|=|-|,故A,B,C为矩形的三个顶点,∴△ABC为直角三角形.故选B. 4.C　[解析] 由++=2,可得++=2(-),整理得3-+=0,又=λ=λ(-),则有(3λ+1)-(3λ+1)=0,即(3λ+1)=0,所以3λ+1=0,即λ=-.故选C. 例4　[思路点拨] (2)将=λ+化为=λ,根据共线向量定理可判定. (1)B　(2)B　[解析] (1)因为=ke1+2e2,=3e1-ke2,所以=-=3e1-ke2-(ke1+2e2)=(3-k)e1-(2+k)e2.因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ,所以3e1+2e2=λ[(3-k)e1-(2+k)e2].又e1,e2不共线,所以解得k=-12.故选B. (2)由=λ+,得-=λ,即=λ,则,为共线向量,又,有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在AC边所在直线上.故选B. 变式题　(1)A　(2)　[解析] (1)由2=3+λ,得=+,因为点A,B,C是直线l上相异的三点,即点A,B,C三点共线,所以+=1,解得λ=-1.故选A. (2)因为++=0,所以(+)=-,由D为AC的中点,得+=2,所以3=-,所以M是线段BD上靠近点D的四等分点,则S△ABM=S△ABD,又S△ABD=S△BCD,所以=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元　平面向量与复数 第31讲　平面向量的概念及其线性运算 【课标要求】　1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义. 4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 (1)向量:既有　　　　又有　　　　的量叫作向量,向量的大小称为向量的　　　　(或　　　　).  (2)零向量:始点和终点　　　　的向量称为零向量,记作　　　　.  (3)单位向量:模等于　　　　的向量.  (4)平行(共线)向量:方向　　　　　　的非零向量,规定:零向量与任意向量　　　　.  (5)相等的向量:大小相等、方向　　　　的向量.  (6)相反向量:大小相等、方向　　　　的向量.  2.向量的线性运算 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律: a+b=　　　　;  ②结合律: (a+b)+c= 　　　　　　 　  减法 三角形法则 a-b=a+(-b) (续表) 运算 法则(或几何意义) 运算律 数乘 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　　;  当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=  　　　　　  λ(μa)=　　　　;  (λ+μ)a=　　　;  λ(a+b)=　　  3.共线向量基本定理 如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=　　　　.  常用结论 1.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+). 2.在△ABC中,点P满足++=0⇔P为△ABC的重心,=(+). 3.已知=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1. 4.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 题组一　常识题 1.[教材改编] 如图,正六边形ABCDEF中,++=　　　　.  2.[教材改编] 设向量a,b不共线,向量λa+b与a+2b共线,则实数λ=　　　　.  3.[教材改编] 已知▱ABCD的对角线AC和BD交于点O,且=a,=b,则=　　　　,=　　　　.(用a,b表示)  题组二　常错题 4.[向量基本概念模糊] “a=b”是“|a|=|b|”的　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  5.[对向量相等的隐含条件挖掘不全] 已知平面四边形ABCD中,满足=,则四边形ABCD是　　　　　　.  6.[忽视两向量的方向关系] 已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为　　　　.  　平面向量的基本概念 　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)关于非零向量a, b,下列说法正确的是 (　 ) A.若|a|>|b|,则a>b B.若|a|=|b|,则a=b C.若a=b,则a∥b D.若a≠b,则a,b不是共线向量 (2)[人教B版必修第二册P139例3改编] 如图,在正六边形ABCDEF中,O是中心,与相等的向量为　　　　　　　　,的相反向量为　　　　　　　.  总结反思 (1)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性. (2)不改变向量a的大小和方向,自由平移a,平移后的向量与a相等. (3)非零向量的平行具有传递性. (4)(a≠0)是与a同方向的单位向量. 变式题 (多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.若a和b都是单位向量,则a=b B.相等的两个向量一定是共线向量 C.若a∥b,c∥b,则a∥c D.两个非零向量的和可以是零向量 　平面向量的线性运算 微点1　平面向量的加、减运算及其几何意义 例2 (1)[2026·福建莆田期中] 如图所示,D,E为△ABC边BC上的三等分点,且||=||,则下列各式中正确的是 (　 ) A.= B.= C.+=+ D.+=+ (2)在平行四边形ABCD中,已知=,=2,则= (　 ) A.-+ B.-- C.+ D.- 总结反思 利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法: (1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题; (2)平面几何中如果出现平行四边形(或三角形)或可能构造出平行四边形(或三角形)的问题,可考虑利用向量知识来求解. 微点2　利用向量的线性运算求参数 例3 [2025·湖南邵阳三联] 设D为△ABC所在平面内一点,=-+.若=λ(λ∈R),则λ的值为 (　 ) A.4 B.5 C.-4 D.-5 总结反思 解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值. 1.已知非零向量a,b,c,则“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 3.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为 (　 ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.[2025·安徽合肥一中模拟] 在△ABC所在平面中有一点P满足=λ,且++=2,则λ= (　 ) A. B.- C.- D. 　共线向量定理及应用 例4 (1)已知e1与e2是两个不共线的向量,=3e1+2e2,=ke1+2e2,=3e1-ke2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为 (　 ) A.-4 B.-12 C.4 D.5 (2)已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在(　 ) A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上 总结反思 利用共线向量定理解题的方法 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判定两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向. (2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. (3)要证明A,B,C三点共线,只需证明与共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有与共线,从而存在实数λ,使得=λ. (4)=λ+μ (λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1. 变式题 (1)已知点A,B,C是直线l上相异的三点,O为直线l外一点,且2=3+λ,则λ的值是 (　 ) A.-1 B.1 C.- D. (2)点M是△ABC所在平面内一点,满足++=0,若D为AC的中点,则的值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $