第4单元 09 第29讲 多三角形背景下解三角形（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，围绕含分点、角平分线及多三角形背景问题，按“类型梳理-策略提炼-真题应用”逻辑架构知识体系，通过热点解读明确考向，例题精讲归纳向量法、余弦定理等方法，变式题训练强化实战能力，助力学生系统突破高考难点。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“问题情境-策略迁移”教学法，如解含分点三角形时，通过向量平方和互补角余弦关系建立解题模型，结合高考真题变式分层训练，确保学生快速掌握解题通法。为教师提供精准复习路径，有效提升学生综合应用正弦、余弦定理解决复杂问题的应考能力。

第29讲　多三角形背景下解三角形 ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)在△ABC中利用正弦定理求出AC,再利用两角和的正弦公式求出 sin∠BAC,然后利用三角形的面积公式可求得结果.(2)思路一:由题意可得=+,所以=(+4+2·2),代值计算即可;思路二:在△ADC中利用余弦定理求出AD,则可求得DE,再在△ADC中利用正弦定理求出sin D,从而可求出cos D,然后在△CDE中利用余弦定理可求得CE. 解:(1)在△ABC中,由正弦定理得=,即=,可得AC=. 因为∠ABC=45°,∠ACB=60°,所以∠BAC=180°-45°-60°=75°. 因为sin∠BAC=sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=,所以S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=×××=. (2)方法一:因为E为线段AD上靠近D的三等分点,所以=,所以=+=+=+(-)=+,所以=(+4+2·2)=(2+4×8+2××4cos 120°)=,则CE=. 方法二:在△ADC中,由余弦定理得AD2=CA2+CD2-2CA·CDcos∠ACD=2+8-2××2× cos 120°=14,可得AD=,因为E为线段AD上靠近D的三等分点, 所以DE=. 因为=,所以=,所以sin D=,又D为锐角, 所以cos D===.在△CDE中,由余弦定理得CE2=DC2+DE2-2DC· DEcos D=8+-2×2××=,所以CE=. 变式题　解:(1)由已知及正弦定理得sin Bsin=sin Asin B, 因为sin B>0,所以sin=sin A,即cos=sin A=2sincos, 又因为∈,所以sin=,故A=. (2)由DC=2DB知,=+,则=++||||cos∠BAC, 即4=b2+c2+bc,化简得b2+4c2+2bc=36. 在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC=,在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=, 由cos∠ADB+cos∠ADC=0,得2c2+b2=18,则2(2c2+b2)=4c2+b2+2bc,化简得b=2c, 则(2c)2+4c2+2×2c×c=36,即c2=3,可得c=,则b=2, 所以S△ABC=bcsin∠BAC=. 例2　[思路点拨] (1)由已知条件结合余弦定理,求出cos B,可得B;(2)根据角平分线的性质得c=2a,结合余弦定理解出a,c的值,由S△ABC=S△ABD+S△DBC列出等式,即可求解BD的长度. 解:(1)因为(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0,所以b2-(a-c)2-3ac=0, 所以-ac=a2+c2-b2,所以cos B==-,又B∈(0,π),所以B=. (2)因为AD=2DC=,所以b=.因为BD平分∠ABC,所以===2,即c=2a,又由(1)知-ac=a2+c2-b2,所以a=1,c=2. 因为S△ABC=S△ABD+S△DBC, 所以acsin B=a·BDsin+c·BDsin, 整理得BD==. 变式题　解:(1)由cos B=,得cos2===,因为cos B=>0,所以B∈, 所以∈,则cos=.因为BD平分内角B,所以在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+a2-2BD·a·cos=18+16-2×3×4×=2,所以CD=. (2)由(1)知cos=,则sin==,由cos B=,得sin B==. 因为BD平分内角B,且S△ABC=S△ABD+S△CBD,所以acsin B=c·BD·sin+a·BD·sin,则×4c×=c×3×+×4×3×,解得c=,所以S△ABC=acsin B=×4××=. 例3　[思路点拨] (1)思路一:将原式变形,再利用余弦定理并结合角的范围即可求出;思路二:将原式变形,再利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围化简求解.(2)利用余弦定理将用CD表示出来,再利用均值不等式确定取得最大值时CD的长度,从而得到取得最大值时AC的长度. 解:(1)方法一:因为=2AC-BC,所以AB2+AC2-BC2=2AC2-BC·AC,则BC2+AC2-AB2=BC·AC. 在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB===,因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=. 方法二:因为=2AC-BC,所以=,在△ABC中,由正弦定理和余弦定理得cos∠BAC=, 所以2sin∠ACBcos∠BAC=2sin∠ABC-sin∠BAC,将sin∠ABC=sin(∠ACB+∠BAC)代入上式, 整理得2cos∠ACBsin∠BAC= sin∠BAC,由题意可得sin∠BAC≠0,所以cos∠ACB=.因为∠ACB∈(0,π), 所以∠ACB=. (2)由(1)可得∠ACB=,因为AC平分∠BCD,所以∠BCD=. 因为BC=1,AC=CD,所以在△BCD中, 由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=1+CD2-CD, 在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos∠ACB=1+AC2-AC=1+CD2-CD, 所以==1+=1+≤1+=2+, 当且仅当CD=1时,等号成立,此时取得最大值,即取得最大值, 故当取得最大值时,AC=CD=1. 变式题　解:(1)∵bcos C+csin B=a+2c,∴在△ABC中, 由正弦定理得sin Bcos C+sin Csin B=sin A+2sin C,又sin(B+C)=sin(180°-A)=sin A, ∴sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+2sin C, 即sin Csin B-cos Bsin C=2sin C.∵0°<C<180°,∴sin C≠0, ∴sin B-cos B=2, 即sin(B-30°)=1,又0°<B<180°,∴B-30°=90°,即B=120°. (2)∵AC=AD,∴设∠DCA=∠CDA=α,则∠CAD=180°-2α.在△ACD中,由正弦定理得=,∵CD=,∴AC==. 在△ABC中,由正弦定理得=,∵∠BAC=180°-120°-(120°-α)=α-60°,BC=1, ∴AC==,∴sin(α-60°)=cos α=sin(90°-α),解得α=75°,即∠CDA=75°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲　多三角形背景下解三角形 【热点解读】　解三角形是高考数学的必考内容,其中在三角形中增加高线、中线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题中出现的频率很高,这类问题一般需要综合使用正弦定理和余弦定理解决. 　解含分点的三角形 　　　　　　　　　　　　　　　 例1 [2025·山东省实验中学二模] 如图,在△ABC中,AB=,∠ABC=45°, ∠ACB=60°,点D在边BC的延长线上. (1)求△ABC的面积; (2)若CD=2,E为线段AD上靠近D的三等分点,求CE的长.     总结反思 解含分点的三角形的策略:如图,在△ABC中, D为边BC上一点,且BD=tDC(t>0),若已知AB,AC及∠BAC,求AD. (1)向量法:=+两边平方即可; (2)余弦定理,互补的两个角的余弦值互为相反数,即cos∠ADB+cos∠ADC=0. 变式题 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin=asin B. (1)求A; (2)若a=3,点D在边BC上,AD=2,DC=2DB,求△ABC的面积.     　解含角平分线的三角形 例2 [2026·聊城模拟] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0. (1)求B; (2)若∠ABC的平分线交AC于点D,且AD=2DC=,求BD.     总结反思 在△ABC中,AD平分∠BAC,则涉及角平分线AD的问题可用以下方法处理: (1)角平分线定理:=; (2)利用两个小三角形的面积和等于大三角形的面积来处理,即可由S△ABD+S△ACD=S△ABC,得到(b+c)AD=2bccos,即AD=(角平分线长公式)求解. 变式题 [2025·武汉武昌区5月质检] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos B=,a=4,内角B的平分线交AC于点D,且BD=3. (1)求CD的长; (2)求△ABC的面积.     　解平面几何多三角形问题 例3 如图,在平面四边形ABCD中,BC=1,AC=CD,AC平分∠BCD, =2AC-BC. (1)求∠ACB; (2)当取得最大值时,求AC.     总结反思 多三角形背景解三角形问题的求解思路:(1)把提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、三角形角平分线的性质,把这些性质与正弦、余弦定理相结合,才能顺利解决问题. 变式题 [2025·福建泉州四校模拟] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1且bcos C+csin B=a+2c. (1)求B; (2)如图所示,D为△ABC外一点(A,B,C,D四点共面),∠DCB= ∠ABC,CD=,AC=AD,求∠CDA. 学科网（北京）股份有限公司 $