第4单元 02 第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦同角三角函数基本关系式（平方关系、商数关系）与诱导公式两大高考核心考点，按“知识梳理-易错警示-题型突破”逻辑架构，通过填空补全公式、总结反思技巧、真题演练（含全国乙卷等例题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破角的范围判断、公式逆用等难点。 资料采用分层练习（常识题巩固基础、常错题警示符号错误）与“口诀+模型”教学（诱导公式“奇变偶不变”口诀，切弦互化模型），培养数学思维（运算能力、推理意识），如例2齐次式通过弦化切转化为正切分式，提升解题效率，为教师精准把控复习节奏、学生高效提升应考能力提供有力支持。

第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 【课标要求】　1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式. 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:　　　　　　.  (2)商数关系:　　　　　　　　　　　　.  2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 ① α+2kπ(k∈Z) sin α cos α tan α ② -α -sin α cos α -tan α ③ π-α sin α -cos α -tan α ④ π+α -sin α -cos α 　　　  ⑤ -α cos α sin α ⑥ +α cos α 　　  ⑦ +α -cos α sin α ⑧ -α -cos α 　　  记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限 常用结论 1.同角三角函数关系式的常用变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α;cos α=. (3)sin2α==; cos2α==; sin αcos α==. 其中α≠+kπ,k∈Z. 2.sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z);cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z). 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知sin α=,且α为第二象限角,则cos α=　　　　,tan α=　　　　.  2.[教材改编] 已知tan α=2,则=　　　　.  3.[教材改编] 已知cos(π+α)=-,则sin=　　　　.  题组二　常错题 4.[运用平方关系时不考虑角所在象限] 若tan α=k,α为钝角,则sin α=　　　　.  5.[运用诱导公式时没注意符号导致出错] 化简·cos(2π-α)的结果为　　　　.  6.[不能根据角的取值范围判断出所求函数值的符号] 已知tan α=, <α<π,则cos α-sin α的值为　　　　.  　同角三角函数的基本关系 角度1　切弦互化 例1 (1)[2023·全国乙卷] 若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  (2)[2025·辽宁重点中学协作体二模] 已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α=　　　　.  总结反思 (1)知一求二问题,注意判断角的取值范围,另外熟记以下常见勾股数,可以提高解题速度:32+42=52,62+82=102,92+122=152,52+122=132,82+152=172,72+242=252. (2)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可实现角α的弦切互化,注意公式的逆用及变形应用. 变式题 已知cos α=-,则13sin α+5tan α=　　　　.  角度2　齐次式 例2 (1)[2025·四川成都二诊] 已知角θ的终边过点P(3,4),则=　　　　.  (2)若tan α=-3,则=　　　　,sin2α+2sin αcos α=　　　　.  总结反思 若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,这是同角三角函数关系中的一类基本题型,形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切. 变式题 已知=-1,则=　　　　,sin2α+sin αcos α+2=　　　　.  角度3　和积转换 例3 (多选题)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则下列结论正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.<α<π B.sin αcos α=- C.cos α= D.cos α-sin α=- 总结反思 对于已知sin α±cos α的求值问题,一般应用三角恒等式,利用整体代入的方法来解,涉及的三角恒等式有(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α等. 变式题 若0<θ<π,sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ= 　　　　.  　诱导公式 例4 (1)计算:=　　　　.  (2)已知sin=-,则sin+cos=　　　　.  总结反思 1.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角的三角函数. 2.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了; (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 3.常见的互余的角:-α与+α,+α与-α,+α与-α等.常见的互补的角:+α与-α,+α与-α,+α与-α等. 变式题 (1)(多选题)已知sin=-,x∈,则下列说法正确的是 (　 ) A.cos=- B.tan=2 C.cos=- D.sin= (2)[人教A版必修第一册P194习题5.3第3(2)题改编] 求值:sin(-1071°)sin 99°+sin(-171°)·sin(-261°)+tan 585°=　　　　.  　基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f(α)=2,求sin2α-3sin αcos α的值; (3)若f=3,求sin的值.     总结反思 (1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的取值范围对三角函数值符号的影响. 变式题 (1)已知sin=,那么tan= (　 ) A.- B.±2 C. D.2 (2)[2025·湖南常德模拟] 化简的结果为 (　 ) A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 C.cos 2-sin 2 D.-(sin 2+cos 2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)sin2α+cos2α=1 (2)tan α=,α≠kπ+(k∈Z) 2.tan α　-sin α　-sin α 【对点演练】 1.-　-　[解析] ∵sin α=,且α为第二象限角,∴cos α=-=-,∴tan α==-. 2.　[解析] 原式===. 3.-　[解析] ∵cos(π+α)=-cos α=-,∴cos α=,∴sin=-cos α=-. 4.-　[解析] 因为tan α=k,α为钝角,所以k<0,sin α>0,且=k①,又sin2α+cos2α=1②,所以由①②可得sin α=-. 5.sin α　[解析] 原式=·cos α=sin α. 6.　[解析] ∵tan α=,<α<π,∴α=,∴cos α=-,sin α=-, ∴cos α-sin α=--=. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)思路一:根据条件设出角θ终边上一点P的坐标为(2,1),进而利用三角函数的定义求出sin θ,cos θ即可得结果;思路二:根据商数关系与平方关系求sin θ与cos θ,进而可得结果;思路三: 根据条件得到(sin θ-cos θ)2的值,缩小角θ的取值范围,进而得到sin θ与cos θ的大小关系,即可求解.(2)根据题意结合同角三角函数的基本关系可得tan2α-sin2α=tan2αsin2α,即可得结果. (1)-　(2)2　[解析] (1)方法一:因为θ∈,tan θ=,所以可设θ终边上一点P的坐标为(2,1),则|OP|==(O为坐标原点),所以sin θ==,cos θ==, 故sin θ-cos θ=-. 方法二:因为θ∈,tan θ=,所以可得 所以sin θ-cos θ=-. 方法三:(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=1-=,因为tan θ=<1,0<θ<,所以0<θ<,所以sin θ<cos θ,所以sin θ-cos θ=-. (2)因为tan2α-sin2α=-sin2α=sin2α×=sin2α×=tan2αsin2α,所以tan2αsin2α=tan2α-sin2α=2. 变式题　0　[解析] ∵cos α=-<0且cos α≠-1,∴α是第二或第三象限角. ①若α是第二象限角,则sin α===, ∴tan α===-,此时13sin α+5tan α=13×+5×=0. ②若α是第三象限角,则sin α=-=-=-,∴tan α===, 此时13sin α+5tan α=13×+5×=0.综上,13sin α+5tan α=0. 例2　[思路点拨] (1)思路一:利用三角函数的定义求出sin θ与cos θ的值,再代入计算即可;思路二:利用正切函数的定义及齐次式法计算即可.(2)利用同角三角函数的基本关系将第一个式子化弦为切,进而求解,将第二个式子看作分母为1的分数,利用平方关系化为齐次式后再化弦为切,进而求解. (1)10　(2)　　[解析] (1)方法一:因为角θ的终边过点P(3,4),P到原点的距离r=5,所以sin θ=,cos θ=,故==10. 方法二:由角θ的终边过点P(3,4),得tan θ=,所以===10. (2)因为tan α=-3,所以===,sin2α+2sin αcos α= ===. 变式题　-　　[解析] 由=-1得tan α=,所以===-, sin2α+sin αcos α+2=+2=+2=+2=. 例3　[思路点拨] 将sin α+cos α=两边同时平方,结合平方关系得到sin αcos α,结合 sin αcos α的符号及α的取值范围判断即可. ABD　[解析] ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α=,解得sin αcos α=-,故B正确;∵α∈(0,π),sin αcos α=-<0,∴<α<π,cos α<0,故A正确,C错误;由<α<π可知, cos α-sin α<0,又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,∴cos α-sin α=-,故D正确.故选ABD. 变式题　　[解析] ∵0<θ<π,sin θcos θ=-<0,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0, ∴sin θ-cos θ=====. 例4　[思路点拨] (1)由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简,进而求目标式的值;(2)由已知利用诱导公式分别求出sin,cos的值,进而求出目标式的值. (1)-1　(2)-　[解析] (1)原式===-·=-1. (2)sin=sin=sin=-,cos=sin=sin=-,所以原式=-. 变式题　(1)AC　(2)1　[解析] (1)因为x∈,所以x+∈,又sin=-,所以x+∈,所以cos=-=-,故A正确;tan=tan=tan==,故B错误;cos=cos=sin=-,故C正确;sin=sin=sin=sin=cos=-,故D错误.故选AC. (2)原式=sin(-3×360°+9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(270°-9°)+tan(360°+225°)= sin 9°cos 9°+sin 9°(-cos 9°)+tan(180°+45°)=tan 45°=1. 例5　[思路点拨] (1)利用诱导公式和tan α=化简即可;(2)由(1)得到tan α的值,结合 tan α=,将sin2α-3sin αcos α=化为关于tan α的式子代入求解即可;(3)由(1)得到tan的值,令α-=θ,则α=θ+,则tan=tan,由诱导公式可得 tan θ=-,再利用同角三角函数的基本关系求出sin θ,进而得解. 解:(1)由题意知f(α)====tan α. (2)由(1)得tan α=2,所以sin2α-3sin αcos α====-. (3)由(1)得tan=3,令α-=θ,则α=θ+,则tan=tan===-=3,所以tan θ=-.因为tan θ==-, 所以cos θ=-3sin θ,代入sin2θ+cos2θ=1,得sin θ=±,故sin的值为或-. 变式题　(1)B　(2)B　[解析] (1)因为sin=,所以cos=cos=sin=,则sin=±=±,所以tan==±2. (2)==, 因为2∈,所以sin 2>sin=,cos 2>cos=-,可得sin 2+cos 2>-=0,所以= =sin 2+cos 2.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $