第1单元 06 第5讲 第2课时 一元二次方程、不等式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义围绕一元二次方程、不等式核心考点，按课标要求构建“定义-关系-应用”知识体系，通过知识点梳理、方法总结、题组训练等环节，帮助学生突破含参求解、恒成立问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层突破策略，将不等式求解分为不含参、含参、复合三类角度，结合常错题警示与微点训练，培养学生数学思维与模型意识。设置基础到综合的练习梯度，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第2课时　一元二次方程、不等式 【课标要求】　1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实 数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1= x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 　　　  　　　  　　　  ax2+bx+c<0(a>0)的解集 　　　  　　　  　　　  3.分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0; <0⇔f(x)·g(x)<0. (2)≥0⇔ ≤0⇔ 常用结论 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),绝对值不等式|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形; (2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀. 题组一　常识题 1.[教材改编] 不等式13-4x2>0的解集为　　　　.  2.[教材改编] 若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞),则a+b=　　　　.  3.[教材改编] 若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.  题组二　常错题 4.[忽视口诀“大于取两边,小于取中间”的使用条件] 不等式(5-x)(2x-7)>0的解集是　　　　　　.  5.[忽视分式不等式中分母不能为零] 不等式≤1的解集是　　　　.  6.[忽视两根大小] 对于给定的实数a,关于x的一元二次不等式(x-a)(x-2)<0的解集可能为　　　　.  ①(-∞,2)∪(a,+∞); ②(-∞,a)∪(2,+∞); ③(a,2); ④⌀. 7.[忽视一元二次不等式中二次项系数是否能为零] 若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解,则a的取值范围是　　　　.  　一元二次不等式的求解 角度1　不含参的不等式　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.不等式0<x2-x-2≤4的解集为[-2,-1)∪(2,3] 总结反思 解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集. 角度2　含参的不等式 例2 解关于x的不等式ax2-(a+2)x+2<0(a∈R).     总结反思 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类; (2)根据判别式Δ与0的关系判断对应一元二次方程根的个数; (3)对应的一元二次方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 变式题 解关于x的不等式ax2+2x+1>0,a∈R.     角度3　二次复合含参不等式 例3 已知函数f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,求关于x的不等式f(x)<0的解集.     总结反思 对于复合指数(对数)不等式,可通过换元法,转化为一元二次不等式后求解.需要注意的是换元前后对未知数取值范围的影响. 　三个二次之间的关系 例4 (1)(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则 (　 ) A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪ (2)[2026·江苏南京期中] 关于x的方程x2-2mx+m2-1=0的一根在(1,2)内,另一根在(3,4)内,则实数m的取值范围是　　　　.  总结反思 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 变式题 (多选题)已知关于x的不等式a(x-2)(x+1)+1>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论中正确的是 (　 ) A.x1+x2=1 B.x1x2+2<0 C.x1<-1<x2<2 D.|x1-x2|>3 　一元二次不等式恒(能)成立 问题 微点1　在R上恒成立问题 例5 (1)[2026·江西临川联考] 当x∈R时,一元二次不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是 (　 ) A.0<k<4 B.k<4 C.0≤k<4 D.k<0或k>4 (2)[2026·辽宁辽阳期末] 函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(0,8) B.(-∞,0]∪(8,+∞) C.[0,8) D.(8,+∞) 微点2　在给定区间上的恒成立问题 例6 (1)[2025·福建三明期末] 已知f(x)=log3·log3,当x∈时,f(x)≥mlog3x恒成立,则m的取值范围是 (　 ) A. B.[-6,-3+2] C.[-3-2,-3+2] D.(-∞,-3+2] (2)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),且f(x)<0的解集为(1,3),求函数f(x)在区间[t,t+2](t∈R)上的最小值g(t).     微点3　给定参数范围的恒成立问题 例7 [2026·湖北武汉武钢三中检测] 已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是 (　 ) A. B.∪ C. D. 微点4　不等式能成立问题 例8 若存在x∈R,mx2+2(m-3)x+4≤0,则实数m的取值范围为 (　 ) A.(1,9) B.(-∞,0) C.(-∞,1)∪(9,+∞) D.(-∞,1]∪[9,+∞) 总结反思 1.一元二次不等式在R上恒成立的情况: ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 2.(1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立转化为最大(小)值问题,即若f(x)的图象连续不断,则f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]). (2)用分离参数法可避免分类讨论,直接求出参数的取值范围. 1.[2026·重庆期末] 若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪[2,+∞) C.(-2,2) D.(-2,2] 2.对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立,则实数m的取值范围是 (　 ) A.m≥ B.m≤ C.m≤ D.m≤ 3.“m<2”是“x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.[2026·河北廊坊期末] 函数f(x)=-x2+ax,则f(x)≥1在(0,1]上有解的一个充分不必要条件是 (　 ) A.a≥2 B.a≥3 C.a≤-1 D.a≤-2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　一元二次方程、不等式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 2.{x|x<x1或x>x2} 　R　{x|x1<x<x2} ⌀　⌀ 【对点演练】 1.　[解析] 原不等式等价于x2<,即<0,解得-<x<,所以原不等式的解集是. 2.-1　[解析] 由题意可得-a=-2+1,b=(-2)×1,可得a=1,b=-2,故a+b=-1. 3.(-3,0)　[解析] 由题意知解得-3<k<0. 4.　[解析] 由(5-x)(2x-7)>0,得(x-5)(2x-7)<0,解得<x<5,所以原不等式的解集为. 5.{x|x<-1或x≥1}　[解析] 由≤1得-1≤0,得≤0,得≥0,得x-1=0或(x-1)(x+1)>0,得x=1或x<-1或x>1,得x<-1或x≥1,所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}. 6.③④　[解析] 当a<2时,解集为(a,2);当a=2时,解集为⌀;当a>2时,解集为(2,a).故填③④. 7.(-∞,1)　[解析] 当a=0时,不等式为2x+1<0,有实数解,满足题意;当a<0时,不等式对应的二次函数的图象开口向下,Δ=4-4a>0,所以不等式有实数解,满足题意;当a>0时,若不等式有实数解,则Δ=4-4a>0,解得a<1,所以0<a<1.综上,a的取值范围是(-∞,1). ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 对于A,首先解一元二次方程x2+x-2=0,再结合不等式对应的二次函数图象写出其解集.对于B,先等价变形,转化为与其同解的一元二次不等式(组),再求解.对于C,思路一:借助绝对值的意义求解;思路二:将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.对于D,分别求出不等式x2-x-2>0和x2-x-2≤4的解集,然后求交集. ABD　[解析] 对于A,因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确.对于B,因为-1≤0,所以≤0,可得(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确. 对于C,方法一:由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误. 方法二:由|x-2|≥1,可得(x-2)2≥1,即(x-2)2-1≥0,所以(x-1)(x-3)≥0,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误.对于D,由题得即即 即故原不等式的解集为[-2,-1)∪(2,3],故D正确.故选ABD. 例2　[思路点拨] 对a进行分类讨论,分别解出不等式即可. 解:若a=0,则不等式化为-2x+2<0,解得x>1,不等式的解集为{x|x>1}. 若a≠0,则不等式化为(ax-2)(x-1)<0,一元二次方程(ax-2)(x-1)=0的解为x1=,x2=1. 当0<a<2时,>1,则原不等式的解集为;当a=2时,=1,则原不等式的解集为⌀; 当a>2时,<1,则原不等式的解集为; 当a<0时,<1,不等式化为(-ax+2)(x-1)>0,解得x>1或x<,故原不等式的解集为. 综上所述,当a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};当0<a<2时,不等式的解集为;当a=2时,不等式的解集为⌀;当a>2时,不等式的解集为. 变式题　解:当a=0时,原不等式为2x+1>0,解得x>-,则不等式的解集为. 当a<0时,Δ=4-4a>0,ax2+2x+1=0的两个根分别为,,且<, 此时不等式的解集为. 当a>0时,若Δ=4-4a<0,即a>1,则不等式的解集为R; 若Δ=4-4a=0,即a=1,则不等式的解集为{x|x≠-1}; 若Δ=4-4a>0,即0<a<1,则ax2+2x+1=0的两个根分别为,,>,则不等式的解集为. 综上可知,当a=0时,不等式的解集为;当a<0时,不等式的解集为; 当a>1时,不等式的解集为R;当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1}; 当0<a<1时,不等式的解集为. 例3　[思路点拨] 设ex=t>0,通过换元,将不等式化为(at-1)(2t+1)<0,再对a进行讨论,进而求解. 解:设ex=t>0,则不等式f(x)<0可化为(at-1)(2t+1)<0. 当a≤0时,∵t>0,∴不等式(at-1)(2t+1)<0恒成立,此时不等式的解集为R; 当a>0时,∵t>0,∴由(at-1)(2t+1)<0得0<t<, ∴0<ex<,解得x<-ln a,此时不等式的解集为(-∞,-ln a). 综上所述,当a≤0时,不等式的解集为R;当a>0时,不等式的解集为(-∞,-ln a). 例4　[思路点拨] (1)对于A,结合不等式及其解集判断a的符号;对于B,易知-2,3是方程ax2+bx+c=0的根,利用根与系数的关系用a表示b,c,进而可判断a+b+c的符号;对于C,D,将b,c替换成a,解一元一次不等式与一元二次不等式即可. (1)ACD　(2)(2,3) [解析] (1)∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),∴a>0,故A正确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得则∴a+b+c=-6a<0,故B错误;不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,得x<-6,故C正确;不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,故D正确.故选ACD. (2)设f(x)=x2-2mx+m2-1,其图象开口向上,由题意得解不等式组得2<m<3,故实数m的取值范围是(2,3). 变式题　ABD　[解析] 由题意可得a<0,且a(x-x1)(x-x2)=a(x-2)(x+1)+1=ax2-ax-2a+1,则x1+x2=-=1,x1x2==-2,即x1x2+2=<0,故A,B正确;由x1+x2=1,x1x2+2<0,得x1(1-x1)+2<0,x2(1-x2)+2<0,即-x1-2=(x1-2)(x1+1)>0,-x2-2=(x2-2)(x2+1)>0,又x1<x2,x1+x2=1,所以x1<-1,x2>2,故C错误;|x1-x2|= == >3,故D正确.故选ABD. 例5　(1)A　(2)C　[解析] (1)由一元二次不等式kx2-kx+1>0恒成立,可得解得0<k<4.故选A. (2)由题得ax2-ax+2>0恒成立.当a=0时,f(x)=1,符合题意;当a≠0时,需满足解得0<a<8.综上,a的取值范围是[0,8).故选C. 例6　(1)B　[解析] 依题意,f(x)=(log3x-2)(log3x-1)=-3log3x+2.令t=log3x,当x∈时,t∈,不等式f(x)≥mlog3x可化为t2-3t+2≥mt,则对任意的t∈,mt≤t2-3t+2恒成立.当t=0时,0≤2恒成立,此时m∈R;当-1≤t<0时,m≥t+-3,函数y=t+-3在[-1,0)上单调递减,当t=-1时,=-6,因此m≥-6;当0<t≤时,m≤t+-3,而t+-3≥2-3=2-3,当且仅当t=时取等号,因此m≤-3+2.所以m的取值范围是[-6,-3+2].故选B. (2)解:因为f(x)<0的解集为(1,3),所以1,3为关于x的方程x2+ax+b=0的两根, 所以解得所以f(x)=x2-4x+3. 因为f(x)=x2-4x+3图象的对称轴为直线x=2,所以f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.当t>2时,f(x)在区间[t,t+2]上单调递增,此时f(x)min=f(t)=t2-4t+3; 当t≤2≤t+2,即0≤t≤2时,f(x)在区间[t,2]上单调递减,在区间(2,t+2]上单调递增,此时f(x)min=f(2)=-1; 当t+2<2,即t<0时,f(x)在区间[t,t+2]上单调递减, 此时f(x)min=f(t+2)=t2-1. 综上所述,g(t)= 例7　D　[解析] 对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<==2,所以x2-x-1<0,解得<x<,故实数x的取值范围是.故选D. 例8　D　[解析] 当m=0时,不等式为-3x+2≤0,即x≥,显然-3x+2≤0在R上有解,符合题意;当m<0时,抛物线y=mx2+2(m-3)x+4开口向下,显然mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解,符合题意;当m>0时,抛物线y=mx2+2(m-3)x+4开口向上,若存在x∈R,mx2+2(m-3)x+4≤0,则只需Δ=[2(m-3)]2-4×4×m≥0,解得m≤1或m≥9,又m>0,所以0<m≤1或m≥9.综上,实数m的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).故选D. 【应用演练】 1.D　[解析] 当a=2时,-4<0恒成立,则a=2满足题意;当a≠2时,由题可得 解得-2<a<2.综上,实数a的取值范围为(-2,2].故选D. 2.B　[解析] 因为对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立,所以≥m,x∈[-1,1], 设y=x2-x+,x∈[-1,1],因为y=x2-x+=+,所以当x=时,函数y=x2-x+,x∈[-1,1]取得最小值,最小值为,所以m≤,故选B. 3.A　[解析] 若x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立,则m≤x+在[2,+∞)上恒成立.由对勾函数的性质可知,函数y=x+在[2,+∞)上单调递增,所以当x≥2时,ymin=2+=,所以m≤,所以“x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立”的充要条件是“m≤”.因为{m|m<2}⫋,所以“m<2”是“x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立”的充分不必要条件.故选A. 4.B　[解析] f(x)≥1在(0,1]上有解,即a≥+x在(0,1]上有解,又当x>0时,+x≥2=2,当且仅当=x,即x=1时取等号,所以a≥2.因为[3,+∞)⫋[2,+∞),所以f(x)≥1在(0,1]上有解的一个充分不必要条件是a≥3.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $