第2单元 12 第15讲 函数模型及其应用（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦函数模型及其应用高考核心考点，涵盖三种函数模型性质比较、常见函数模型（一次、二次、指数、对数等）梳理，按“性质理解-模型识别-实际应用”逻辑架构知识体系。通过考点表格对比、题组（常识题+常错题）基础巩固、三类例题（图象刻画、已知模型应用、构建模型）分层突破，形成系统复习链条。 资料以数学眼光观察实际情境、数学思维分析变化规律、数学语言表达模型关系为特色，如例3构建分段函数模型解决注意力指数问题，培养模型意识与应用能力。融入高考真题（如2023新课标Ⅰ卷），设置变式题分层训练，助力学生高效掌握建模方法，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第15讲　函数模型及其应用 【课标要求】　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义. 1.三种函数模型的性质的比较 　　　函数 性质　　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的增减性 单调　　　  单调　　　  单调　　　  增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) (续表) 函数模型 函数解析式 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0) 题组一　常识题 1.[教材改编] 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的矩形花园(阴影部分),则其中x的取值范围是　　　　.  2.[教材改编] 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x(x>0)件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S与x的函数关系式是　　　　　　　　.  3.[教材改编] 大气压强p=,它的单位是“Pa”(1 Pa=1 N/m2),大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p=p0e-kh(k=0.000 126 m-1),p0是海平面大气压强.已知在某高山A1,A2两处测得的大气压强分别为p1,p2,且=,那么A1,A2两处的海拔高度的差约为　　　　.(参考数据:ln 2≈0.693)  题组二　常错题 4.[忽视实际应用中的限制条件] 一枚炮弹被发射后,其升空高度h与时间t的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域是　　　　.  5.[忽视实际问题中实际量的单位、含义等] 某物体一天中的温度T(单位:℃)是关于时间t(单位:h)的函数,且T=t3-3t+60,其中t=0表示中午12时,其后t的值为正,则上午8时该物体的温度是　　　　.  6.[分段函数模型的分界“点”把握不到位] 已知A,B两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地,则汽车与A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数表达式是　　　　　　　　　　.  　用函数图象刻画变化过程 例1 已知点A为某封闭图形边界上一定点,动点P从点A出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x,线段AP的长度为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图所示,则该封闭图形可能是 (　 ) 总结反思 判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时:首先要关注横轴与纵轴所表示的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案. 变式题 在股票交易过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况,一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x).如f(2)=3表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元,以下四个图中,实线表示y=f(x)的图象,虚线表示y=g(x)的图象,其中正确的是 (　 ) A B C D 　已知函数模型解决实际问题 例2 (1)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于90%时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位:小时)的变化而变化的规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60%,给氧1小时后,血氧饱和度为80%,若要使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1,参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时 (2)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0) 是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　 ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 总结反思 用已知函数模型解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,根据已知条件确定模型中的待定系数,合理地运用函数的基本性质解决问题. 变式题 [2025·重庆一检] 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量大于或者等于20 mg且小于80 mg认定为饮酒驾车,大于或者等于80 mg认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么至少经过　　　　个小时后他才能驾驶车辆.(结果取整数.参考数据:lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)  　构建函数模型解决实际问题 例3 注意力集中程度的研究,有助于大众提高自身办事效率.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度,注意力集中指数的值越大,注意力集中程度越高,越有利于学习.数据显示在一节40分钟的课中,高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响,开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高,随后学生的注意力集中指数开始降低.经过试验分析,得出某学生的注意力集中指数y与开始上课时间x(单位:分钟)的关系为:当0≤x≤8时,y是x的一次函数,其中开始上课1分钟时注意力集中指数为70,开始上课5分钟时注意力集中指数为78;当8≤x≤40时,y是x的二次函数,其中开始上课20分钟时注意力集中指数达到最大值,最大值为100. (1)求y关于x的函数解析式. (2)如果该学生的注意力集中指数不低于80,那么称该学生处于“理想听课状态”,则在一节40分钟的课中该学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到1分钟,参考数据:≈2.236)     总结反思 构建函数模型解决实际问题的步骤:(1)认真审题,分析理解实际问题的题意,为解题找出突破口;(2)依题意确定变量间的关系,构建函数模型,将实际问题转化为数学问题;(3)利用数学知识求解构建的函数模型,得出结论解决问题. 变式题1 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质,假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　 ) A.9 B.8 C.7 D.6 变式题2 甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪. (1)甲小组得出该种蔬菜在1~8月份的价格P(单位:元/千克)与月份t满足关系式P=8-|t-4|,月交易量Q(单位:吨)与月份t满足关系式Q=-300 t+9000,求月交易额y(单位:万元)与月份t的函数关系式,并求1~8月份中哪个月的月交易额最大. (2)乙小组通过追踪得到该种蔬菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模型模拟价格f(x)(单位:元/千克)与月份x(x∈[1,11],且x∈N*)之间的函数关系:①f(x)=kax(a>0,且a≠1);②f(x)=x2+bx+c;③f(x)=Acosx+B. (i)为准确研究其价格走势,应选哪种函数模型?并说明理由. (ii)若f(4)=8,f(8)=4,求出所选函数f(x)的解析式,并求该种蔬菜价格在5元/千克以下的月份有几个. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲　函数模型及其应用 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.递增　递增　递增 【对点演练】 1.[10,30]　[解析] 设矩形花园另一边的长为y m,由相似三角形的性质可得=(0<x<40),即y=40-x(0<x<40),∴矩形花园的面积S=x(40-x)m2.∵矩形花园的面积不小于300 m2,∴x(40-x)≥300,即(x-10)(x-30)≤0,解得10≤x≤30,故x的取值范围是[10,30]. 2.S=+(x>0)　[解析] 由题意知,每件产品的生产准备费用是 元,仓储费用是元,所以平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S=+(x>0). 3.5500 m　[解析] 设A1,A2两处的海拔高度分别为h1,h2,则====,故h1-h2=≈=5500(m). 4.[0,26]　[解析] 令h=130t-5t2≥0,解得0≤t≤26,故所求定义域为[0,26]. 5.8 ℃　[解析] 由题意知,上午8时即t=-4,因此所求温度T=(-4)3-3×(-4)+60=8(℃). 6.s= [解析] 当0≤t≤2.5时,s=60t;当2.5<t≤3.5时,s=150;当3.5<t≤6.5时,s=150-50(t-3.5)=325-50t.故s关于t的函数表达式为s= ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断. B　[解析] 根据函数图象可知函数图象具有对称性,故C错误;对于A,由等边三角形可知线段AP的长度先增大再减小,再增大,最后减小,故A错误;对于D,由图可知线段AP的长度不会是线性变化,故D错误;对于B,由正方形可知线段AP的长度先增大再减小,且一开始线性增大,符合题意,故B正确.故选B. 变式题　C　[解析] 刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,故A,D错误;开始交易后,平均价格应该跟随即时价格变动,即时价格与平均价格同增同减,故B错误.故选C. 例2　[思路点拨] (1)根据已知条件列方程得K的值,进而利用已知条件求得所需时间.(2)思路一:根据声压级公式,结合各选项中声压级的关系,通过求解对数不等式来判断实际声压p1,p2,p3之间的关系;思路二:利用作差法结合对数运算求解各个选项中实际声压的大小关系即可. (1)B　(2)ACD　[解析] (1)要使得血氧饱和度达到90%,设给氧时间至少还需要t-1小时.由题意可得60eK=80,60eKt=90,两边同时取自然对数并整理,得K=ln=ln=ln 4-ln 3=2ln 2-ln 3,Kt=ln=ln=ln 3-ln 2,则t=≈≈1.5,则给氧时间至少还需要t-1=0.5(小时).故选B. (2)方法一:由题意可得燃油汽车的声压级=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90]①.同理,=1,∈[50,60]②,=1=102=100③.对于A,由表知≥,可得p1≥p2,故A正确;对于B,②÷③得=1∈[1,10],所以p2≤10p3,故B错误;对于C,=100,即p3=100p0,故C正确;对于D,①÷②得=1∈[100,102],即∈[1,100],即p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 方法二:因为Lp=20×lg,所以-=20×lg-20×lg=20×lg,又因为-≥0,所以lg≥0,即≥1,所以p1≥p2,故A正确;同理,-=20×lg-20×lg=20×lg,因为-=20×lg∈[10,20],所以lg∈,即∈[,10],所以∈,则p2≤10p3,故B错误;因为=40,所以20×lg=40,则lg=2,即=100,所以p3=100p0,故C正确;因为-≤40,即20×lg≤40,所以lg≤2,即p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 变式题　4　[解析] 设经过n个小时后能驾驶车辆,则60×(1-30%)n<20,即0.7n<,两边同时取常用对数得lg 0.7n<lg,即nlg 0.7<lg,因为lg 0.7<0,所以n>==≈=3.2,所以n≥4,即至少经过4个小时后才能驾驶车辆. 例3　[思路点拨] (1)利用待定系数法求得y关于x的函数解析式;(2)根据已知条件列不等式组,通过解不等式组求解. 解:(1)当0≤x≤8时,设y=kx+t, 依题意得解得所以y=2x+68, 当x=8时,y=16+68=84. 当8≤x≤40时,设y=a(x-20)2+100(a<0),将(8,84)代入上式,得84=a×122+100,解得a=-,所以y=-(x-20)2+100.综上所述,y= (2)由解得6≤x≤8, 由 即 得所以8<x≤20+6≈33.因为33-6=27,所以一节40分钟的课中该学生处于“理想听课状态”所持续的时间是27分钟. 变式题1　A　[解析] 设经过n层PP棉滤芯过滤后水中的大颗粒杂质含量为y mg/L,则y=80×=80×.令80×≤2,解得≤,两边取常用对数得nlg≤lg,即nlg≥lg 40,即n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2,所以n≥≈8.9,又n∈N*,所以n的最小值为9.故选A. 变式题2　解:(1)由题意得y=1000(-300 t+9000)·(1≤t≤8,t∈N*),即y= 当1≤t<4,t∈N*时,根据二次函数的性质可得,t=3时y取得最大值5400,当4≤t≤8,t∈N*时,同理可得,t=4时y取得最大值6240,所以4月份的月交易额最大. (2)(i)①函数f(x)=kax是单调函数,不符合题意.②二次函数f(x)=x2+bx+c的图象不具备先上升,后下降,再上升的特点,不符合题意. ③当A<0时,函数f(x)=Acosx+B的图象在[1,4]上是上升的,在[4,8]上是下降的,在[8,11]上是上升的,符合题意.应选③. (ii)因为f(4)=8,f(8)=4, 所以所以 所以f(x)=-2cosx+6. 因为x∈[1,11],所以x∈,由-2cosx+6<5,得cosx>,所以≤x<或<x<,解得1≤x<或<x<,又x∈N*,所以x=1,7,8,9,即1月、7月、8月、9月该种蔬菜的价格在5元/千克以下,所以该种蔬菜的价格在5元/千克以下的月份有4个. 学科网（北京）股份有限公司 $