第2单元 08 第11讲 指数与指数函数（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖根式、分数指数幂的概念及运算，指数函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、定点），并按“概念-运算-性质-应用”逻辑递进组织知识，通过考点梳理、易错警示、典例精讲、真题演练环节，帮助学生构建系统知识网络，突破运算误区与性质应用难点。 资料采用分层题组设计，常识题巩固基础运算，常错题警示根式化简、底数讨论等易错点，如例1结合图象高低判断底数大小培养数学眼光，例4通过复合函数性质探究发展数学思维。设置总结反思提炼解题策略，配合高考真题训练，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第11讲　指数与指数函数 【课标要求】　1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n∈Z,且n≠0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.根式 (1)一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则　　　　称为a的n次方根.  (2)当有意义的时候,称为　　　　,n称为根指数,a称为被开方数.  (3)()n=　　　　.  当n为奇数时,=　　　　;  当n为偶数时,=|a|= 2.分数指数幂(即有理数指数幂)的分类 正数的正分数指数幂:=　　　 . 正数的负分数指数幂:=　　　　=(a>0,m,n∈N+,n>1).  0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂没有意义.  3.分数指数幂(即有理数指数幂)的运算法则 ①aras=　　　　(a>0,r,s∈Q);   ②(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈Q);   ③(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈Q).  4.指数函数的图象与性质 y=ax(a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　　　  性质 过定点　　　  当x>0时,　　　　　　　;  当x<0时,　　　　　　  当x>0时, 　　　　　　;  当x<0时, 　　　　　  在R上是　　　　　　  在R上是　　　　　　  常用结论 在第一象限内,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大. 题组一　常识题 1.[教材改编] 化简:4÷=　　　　　　 (a>0,b>0).  2.[教材改编] 已知+=3,则a+a-1=　　　　,a2+a-2=　　　　.  3.[教材改编] 函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  题组二　常错题 4.[忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错] 计算:+=　　　　.  5.[指数函数的概念理解错误] 若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=　　　　.  6.[忽略对指数函数的底数进行讨论] 若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　.  7.[忽视指数函数的“渐近线”] 若关于x的方程|3x-1|=k有两个解,则实数k的取值范围为　　　　.  　指数幂的运算 1.+-2×(-2)-1++=　　　　.  2.若+=3(x>0),则=　　　　.  3.(多选题)已知a>0,b>0,则下列运算正确的是 (　 ) A.=π-3 B.=1 C.= D.()×(-3)÷=-9a 4.化简:÷(a>0).     总结反思 指数幂运算的一般原则: (1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底数是带分数,则先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 　指数函数的图象及应用 例1 (1)函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图所示,a,b,c,d分别是,,,中的一个,则a,b,c,d的值分别是 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, (2)(多选题)已知函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　 ) A.ab>1 B.a+b>1 C.ba>1 D.2b-a<1 (3)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　.  总结反思 (1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),. (2)对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,数形结合求解. 变式题 (1)(多选题)已知实数a,b满足等式=,则下列结论不可能成立的有(　 ) A.a=b B.0>b>a C.b>a>0 D.0>a>b (2)当a>0且a≠1时,若函数y=ax+m+n的图象过定点(-2,2),则m-n=　　　　.  　解决指数函数性质有关的问题 微点1　利用单调性比较大小 例2 (1)已知a=,b=,c=,则 (　 ) A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a (2)若p:0<a<b;q:4a-4b<-,则p是q的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 总结反思 比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞).若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间量比较. 微点2　解简单的指数方程或不等式 例3 (1)不等式<的解集为　　　　.  (2)若关于x的方程2×-(a+1)×+a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是　　　　.  总结反思 (1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)⇔f(x)=g(x). (2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x). (3)有些含参数的指数不等式(方程)需要用换元法求解. 微点3　探究指数型函数的性质(含复合函数单 调性的结论) 例4 已知函数f(x)=(a∈R)为偶函数,g(x)=mf(2x)+2f(x)+m(m∈R). (1)求a的值及函数f(x)的值域; (2)若命题“∃x∈R,g(x)≥0”为假命题,求实数m的取值范围.     总结反思 指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应结合题目条件合理利用这些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化. 1.[2023·天津卷] 若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 2.若当0<x<时,方程ax=(a>0,且a≠1)有解,则实数a的取值范围是　　　　.  3.不等式10x-6x-3x≥1的解集为　　　　.  4.函数y=-8×+17的单调递增区间为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　指数与指数函数 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)x　(2)根式　(3)a　a 2.　　0 3.①ar+s　②ars　③arbr 4.(0,+∞)　(0,1)　y>1　0<y<1 0<y<1　y>1　增函数　减函数 【对点演练】 1.-6a　[解析] 4÷ = 4×=-6a. 2.7　47　[解析] 由+=3,得=9,即a+a-1+2=9,因此a+a-1=7,所以(a+a-1)2=49,即a2+a-2+2=49,于是a2+a-2=47. 3.(1,3)　[解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a0+2=3,所以函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,3). 4.2　[解析] +=1++|1-|=2. 5.2　[解析] 由指数函数的定义可得解得a=2. 6.2或　[解析] 若a>1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,所以f(1)=a=2;若0<a<1,则f(x)在[-1,1]上单调递减,所以f(-1)=a-1=2,解得a=.故a的值为2或. 7.(0,1)　[解析] 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,如图所示.易知当0<k<1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,即关于x的方程有两个解. ● 课堂考点探究 探究点一 1.1　[解析] +-2×(-2)-1++=+-2×+1+(62=+-(+2)+1+=1. 2.　[解析] 由+=3两边平方,得x+x-1=7,两边再平方得x2+x-2=47,∴x2+x-2-2=45.又+=()3+()3=(+)(x-1+x-1)=3×(7-1)=18, ∴==. 3.ABD　[解析] 对于A选项,由π-3>0,得=π-3,A选项正确;对于B选项,==a0b0=1,B选项正确;对于C选项,=,C选项错误;对于D选项,()×(-3)÷=-9=-9a,D选项正确.故选ABD. 4.解:原式=÷=(a3÷(a2=a÷a=1. 例1　[思路点拨] (1)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点的纵坐标进行判断.(2)根据所给函数图象得到a,b的取值范围,进而结合指数函数的单调性及不等式的性质判断各选项即可.(3)对a进行分类讨论,画出图象,数形结合求参数范围. (1)C　(2)ABD　(3) [解析] (1)由题图得,直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从大到小依次为c,d,a,b,而>>>,故选C. (2)由题图可知,函数y=ax-b(a>0,且a≠1)在R上单调递增,所以a>1,又当x=0时,y=1-b∈(0,1),所以0<b<1.对于A选项,ab>a0=1,故A正确;对于B选项,a+b>a>1,故B正确;对于C选项,ba<b0=1,故C错误;对于D选项,因为0<b<1<a,所以b-a<0,所以2b-a<20=1,故D正确.故选ABD. (3)当0<a<1时,y=|ax-1|的图象如图①,因为直线y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点,所以0<2a<1,所以0<a<;当a>1时,y=|ax-1|的图象如图②,此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图象有两个交点.综上,a的取值范围是. 变式题　(1)CD　(2)1 [解析] (1)在同一坐标系中作出函数y=和y=的大致图象,如图所示.设==m,m>0.当m>1时,由图可知a<b<0;当m=1时,由图可知a=b=0;当0<m<1时,由图可知a>b>0.故选CD. (2)依题意得解得 于是m-n=1. 例2　[思路点拨] (1)根据指数函数、幂函数的单调性即可判定b<a,c<a,再利用指数函数的单调性判定c<b,即得结果.(2)首先把4a-4b<5-a-5-b化为4a-5-a<4b-5-b,然后构造函数f(x)=4x-5-x,再利用函数f(x)=4x-5-x的单调性得出a,b的大小关系,进而得到结论. (1)D　(2)A　[解析] (1)由a==,b==,c=,可得b=<<=a,显然c<a.又b=,c==,而>,所以c<b,所以c<b<a.故选D. (2)由4a-4b<5-a-5-b,得4a-5-a<4b-5-b.设f(x)=4x-5-x,则函数f(x)为增函数,所以a<b,所以“0<a<b”是“4a-4b<5-a-5-b”的充分不必要条件.故选A. 例3　[思路点拨] (1)根据给定条件,转化为同底的指数不等式,再利用指数函数的单调性得到一元二次不等式,求解可得解集.(2)令=t(t>0),把原问题转化为关于t的一元二次方程2t2-(a+1)t+a=0有两个不等的正实数根问题,从而求得a的取值范围. (1)(-3,2)　(2)(0,3-2)∪(3+2,+∞)　[解析] (1)由<,得<2-3(x-1),因为函数y=2x在R上单调递增,所以x2-2x-3<-3(x-1),即x2+x-6<0,解得-3<x<2,所以原不等式的解集为(-3,2). (2)令=t(t>0),则方程化为2t2-(a+1)t+a=0,依题意知方程2t2-(a+1)t+a=0有两个不相等的正实数根,因此 解得a>3+2或0<a<3-2,故实数a的取值范围是(0,3-2)∪(3+2,+∞). 例4　[思路点拨] (1)先根据函数是偶函数求出参数,再结合均值不等式求出值域;(2)先根据不等式恒成立化简不等式,再用换元法结合(1)求出新自变量的范围,再应用导数求出最值即可求参数的取值范围. 解:(1)∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(-x), 即==, ∴9x+a=1+a·9x,即(a-1)·9x=a-1,∴a=1,∴f(x)=3x+≥2=2,当且仅当x=0时取等号, 故函数f(x)的值域为[2,+∞). (2)因为命题“∃x∈R,g(x)≥0”为假命题,所以命题“∀x∈R,g(x)<0”为真命题. g(x)=mf(2x)+2f(x)+m=m(32x+3-2x)+2(3x+3-x)+m,令t=3x+3-x=3x+≥2=2,当且仅当x=0时等号成立, 则32x+3-2x=(3x+3-x)2-2=t2-2,∴φ(t)=m(t2-2)+2t+m<0对任意t≥2恒成立,即m(t2-1)+2t<0对任意t≥2恒成立. ∵t2-1>0,∴m<-对任意t≥2恒成立. 令h(t)=-(t≥2),则h'(t)=>0,∴h(t)在[2,+∞)上单调递增, 故h(t)min=h(2)=-,∴m<-,故m的取值范围为. 【应用演练】 1.D　[解析] 因为函数y=1.01x在R上单调递增,且0.5<0.6,所以1.010.5<1.010.6,即a<b.因为y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,且0.6<1.01,所以0.60.5<1.010.5,即c<a.所以b>a>c. 2.a>4　[解析] 依题意知,当x∈时,y=ax与y=的图象有交点.因为y=在上单调递减,所以y=在上的取值范围是(2,+∞),当0<a<1时,y=ax在上的取值范围是(,1),即ax<,不满足题意,故a>1.当a>1时,作出y=ax,y=在(0,+∞)上的图象,如图所示,由图可知解得a>4. 3.[1,+∞)　[解析] 由10x-6x-3x≥1,可得++≤1.令f(x)=++,因为y=,y=,y=均为R上的减函数,所以f(x)在R上单调递减,且f(1)=1,所以f(x)≤f(1),所以x≥1,故不等式10x-6x-3x≥1的解集为[1,+∞). 4.[-2,+∞)　[解析] 设t=>0,则y=t2-8t+17=(t-4)2+1在(0,4]上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.由≤4,得x≥-2,由>4,得x<-2,而函数t=在R上单调递减,所以函数y=-8×+17的单调递增区间为[-2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $