第2单元 02 第7讲 函数的单调性（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性核心考点，涵盖定义、判断、证明、单调区间及最值应用，按“概念梳理-结论归纳-应用突破”逻辑架构知识，通过考点清单（定义表格、常用结论）、方法指导（证明四步法、判断五技巧）、真题训练（分层例题、高考题组）帮助学生构建系统知识网络，突破理解与应用难点。 资料特色在于融合数学思维与数学语言培养，如用定义证明单调性时，通过“取值-作差变形-判断符号”规范步骤训练逻辑推理，解不等式时转化为函数值比较提升符号表达能力。设置常识题巩固基础、常错题警示误区，配合即时总结反思，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升应考能力。

第7讲　函数的单调性 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2) 2.减函数　单调性　单调区间 3.f(x)≤f(x0)　f(x)≥f(x0) 【对点演练】 1.(2,3]　[-3,2]　[解析] 由函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图象可得f(x)的单调递增区间是(2,3],单调递减区间是[-3,2]. 2.>　[解析] 因为对任意的x1,x2∈R,都有>0,所以函数f(x)在R上单调递增,又-3>-π,所以f(-3)>f(-π). 3.(-∞,2]　[解析] 函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2,故实数a的取值范围是(-∞,2]. 4.2　　[解析] 函数f(x)=在[2,6]上单调递减,所以f(x)在x=2处取到最大值2,在x=6处取到最小值. 5.[3,+∞)　[解析] 由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3,故f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,得f(x)的单调递增区间为[3,+∞). 6.　[解析] 由题知解得a≤,即实数a的取值范围为. 7.(1)(-∞,-3]　(2)-3 [解析] (1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a≥4,解得a≤-3,故实数a的取值范围是(-∞,-3]. (2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a=4,解得a=-3. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 通过图象法、函数单调性的性质、复合函数的单调性以及导数等判断函数的单调性. BD　[解析] 对于A,画出函数y=|x2-2x|的图象,如图所示,易知函数y=|x2-2x|在其定义域内不是增函数,故A错误;对于B,因为函数y=ex是R上的增函数,y=e-x是R上的减函数,所以y=ex-e-x是R上的增函数,故B正确;对于C,函数y=log0.5x在其定义域上是减函数,而y=x+1在其定义域上为增函数,所以函数y=log0.5(x+1)在定义域(-1,+∞)上为减函数,故C错误;对于D,y=x+cos x的定义域为R,y'=1-sin x≥0在R上恒成立,故y=x+cos x是R上的增函数,故D正确.故选BD. 例2　[思路点拨] 思路一:利用定义证明函数的单调性即可;思路二:利用导数判断. 解:方法一:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,易知f(x)==a, 则f(x1)-f(x2)=a-a=, 又x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 方法二:因为f'(x)=,所以当a>0时,f'(x)<0在(-1,1)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f'(x)>0在(-1,1)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 例3　[思路点拨] (2)作出函数f(x)=x2-4|x|+3的图象,根据图象即可得解;(3)对函数求导,利用导数的符号确定函数的单调区间. (1)A　(2)B　(3)A　[解析] (1)对于函数f(x)=,由x2-1≥0可得x≤-1或x≥1,所以函数f(x)=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞).因为函数u=x2-1在区间(-∞,-1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,函数y=为增函数,所以由复合函数的单调性可知,函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,-1].故选A. (2)函数f(x)=x2-4|x|+3=作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间为(-∞,-2)和(0,2).故选B. (3)由题得f'(x)=1+ln x,令f'(x)=0,解得x=,当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,故f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是.故选A. 变式题　(1)C　(2)[0,2) [解析] (1)由x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数y=ln(x2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).令u=x2-2x,则函数u=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,而函数y=ln u在(0,+∞)上为增函数,故由复合函数的单调性可得y=ln(x2-2x)的单调递减区间为(-∞,0).故选C. (2)由题意知g(x)=x2f(x-1)= 作出函数g(x)的图象,如图所示.由图可知,g(x)的单调递减区间是[0,2). 例4　[思路点拨] 利用导数判断函数的单调性,再利用单调性比较大小. A　[解析] 易知函数f(x)=sin x+cos x-2x的定义域为R,可得f'(x)=cos x-sin x-2=cos-2≤-2<0,所以函数f(x)在R上单调递减.又-π<0<ln 2<1<2e,所以f(-π)>f(ln 2)>f(2e),即a>c>b.故选A. 例5　[思路点拨] (1)先判断函数f(x)的单调性,再根据单调性解不等式即可.(2)利用已知等式结合赋值法可得f(1)=1,再利用函数f(x)的单调性求解. (1)(-∞,-2)∪(1,+∞)　(2)D [解析] (1)由函数f(x)=可得当x≥0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递增,且ln(0+1)=0=-2×02,故函数f(x)在R上单调递增,故不等式f(x+2)<f(x2+2x)等价于x+2<x2+2x,即x2+x-2>0,解得x>1或x<-2,故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞). (2)在f(xy)=f(x)+f(y)-1中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)-1,可得f(1)=1,所以f(log2x-1)>1即为f(log2x-1)>f(1).因为函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,所以解得2<x<4,故选D. 例6　[思路点拨] (1)利用换元法和复合函数的单调性进行判断,由内层函数t=ax+2单调递减并且在区间(1,2)上大于零恒成立联立求解即可;(2)根据分段函数在R上的单调性求解即可. (1)[-1,0)　(2)B　[解析] (1)令t=ax+2,则y=ln t,因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=ln t在定义域内单调递增,所以解得-1≤a<0. (2)因为f(x)在R上单调递增,所以-≥0,且-a≤e0+ln 1,解得-1≤a≤0,故选B. 【应用演练】 1.A　[解析] 由题可知,f(x)=x|x|=故f(x)在R上单调递增.由f(2x)>f(1-x),得2x>1-x,解得x>.故选A. 2.C　[解析] 因为函数y=2x与y=x3在R上均单调递增,所以f(x)=2x+x3在R上单调递增.由log30.3<log31=0,30.3>30=1,0.30.3∈(0.3,0.30)=(0.3,1),得log30.3<0.30.3<30.3,所以f(log30.3)<f(0.30.3)<f(30.3),即a<c<b.故选C. 3.D　[解析] 因为y=2u在R上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得u=x(x-a)=-在(0,1)上单调递减,故≥1,解得a≥2,故选D. 4.　[解析] f(x)=ln x+2x的定义域为(0,+∞),因为y=ln x和y=2x在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=ln 1+21=2,所以f(2t)<2等价于f(2t)<f(1),可得0<2t<1,解得0<t<. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲　函数的单调性 【课标要求】　1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值,理解它们的作用和实际意义. 2.理解函数单调性的概念,能运用函数图象理解和研究函数的单调性. 3.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性. 4.会求一些具体函数的单调区间. 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且区间I⊆D,如果对任意x1,x2∈I 当x1<x2时,都有　　　　,则称y=f(x)在区间I上是增函数  当x1<x2时,都有　　　　,则称y=f(x)在区间I上是减函数  图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或　　　　,那么都称函数y=f(x)在区间I上具有　　　　(区间I称为函数y=f(x)的　　　　,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).  3.函数的最值 前提 一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D 条件 对任意x∈D,都有　　　  对任意x∈D,都有　　　  结论 f(x)的最大值为f(x0) f(x)的最小值为f(x0) 常用结论 1.∀x1,x2∈I,且x1≠x2,有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0),则f(x)在区间I上单调递增(减). 2.在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数. 3.若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反. 4.若f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),且f(x)≠0,则在区间(a,b)上单调递减(增). 5.函数最值存在的相关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. (3)连续函数在区间上存在的唯一的极值就是它的最大值或最小值. 题组一　常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  2.[教材改编] 设函数y=f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有>0,比较大小:f(-3) 　　　　f(-π).(填“>”或“<”)  3.[教材改编] 函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  4.[教材改编] 已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则函数f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  题组二　常错题 5.[忽视函数在区间上单调的前提条件是函数在该区间上有意义] 函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.  6.[忽视分段函数在定义域各段分界点附近的单调性] 已知函数f(x)= 是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　.  7.[混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念] (1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  (2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为　　　　.  　确定函数的单调性 角度1　函数单调性的判断 例1 (多选题)下列函数在其定义域内是增函数的为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=|x2-2x| B.y=ex-e-x C.y=log0.5(x+1) D.y=x+cos x 角度2　利用定义证明函数的单调性 例2 讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.     总结反思 1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符号、得出结论. 2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)直接利用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增+增”为增,“增-减”为增,“减+减”为减,“减-增”为减;(4)导数法;(5)利用“同增异减”的规则判断复合函数y=f[g(x)]的单调性. 　求函数的单调区间 例3 (1)[2026·江苏苏州期末] 函数f(x)=的单调递减区间为 (　 ) A.(-∞,-1] B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.[1,+∞) (2)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2) C.(-2,2) D.(-2,0)和(2,+∞) (3)函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是 (　 ) A. B.(0,e) C. D.(e,+∞) 总结反思 (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接. 变式题 (1)函数y=ln(x2-2x)的单调递减区间是 (　 ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) (2)已知函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　.   　函数单调性的应用 微点1　比较大小 例4 [2025·襄阳三模] 函数f(x)=sin x+cos x-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a 总结反思 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解. 微点2　解不等式 例5 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是　　　　.  (2)定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足:对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则不等式f(log2x-1)>1的解集是 (　 ) A.(0,4) B.(4,+∞) C.(1,4) D.(2,4) 总结反思 利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)将不等式转化成f(x1)>f(x2)(或f(x1)<f(x2))的形式;(2)确定函数f(x)的单调性;(3)根据函数f(x)的单调性去掉符号“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解. 微点3　由单调性求参数的取值范围 例6 (1)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  (2)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 总结反思 利用函数的单调性求参数的取值范围(或值)的注意点:(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的. 1.已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1-x)的解集为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.[2025·辽宁沈阳模拟] 已知函数f(x)=2x+x3,a=f(log30.3),b=f(30.3),c=f(0.30.3),则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 3.[2023·新课标Ⅰ卷] 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 4.[2025·山东烟台三模] 已知函数f(x)=ln x+2x,若f(2t)<2,则实数t的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $