第2单元 01 第6讲 函数的概念及其表示（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义围绕函数概念及其表示这一高考核心考点，依据课标要求从函数基本概念、三要素、表示法到分段函数逻辑递进，通过考点梳理填空、方法总结反思、真题题组训练等环节，帮助学生构建知识体系并突破定义域、解析式等难点。 资料以数学思维培养为核心，设计抽象函数定义域三层递进讲解和分段函数分类讨论策略，结合常识题夯实基础、常错题警示误区、变式题提升能力，训练学生用数学语言表达函数关系，助力教师把控复习节奏，提升学生高考实战能力。

第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 【课标要求】　1.用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数的基本概念 给定两个非空　　　　　A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的　　　　　,在集合B中都有　　　　　　的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.  2.函数的三要素 (1)函数的三要素:　　　　　　、　　　　和对应关系.  (2)如果两个函数表达式表示的函数　　　　相同,　　　　　　也相同,则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.  3.函数的表示法 函数的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　.  4.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的　　　　　　,则称其为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.  常用结论 1.常见函数的定义域 (1)分式中分母不等于0. (2)偶次根式的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R. (6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)y=tan x的定义域为. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为. (3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R. 题组一　常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=的定义域是　　　　　　.  2.[教材改编] 函数y=的值域为　　　　　　　　　　.  3.[教材改编] 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是　　　　.(填序号)  题组二　常错题 4.[忽略端点位置] 函数y=f(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是　　　　,值域是　　　　,其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是　　　　.  5.[求函数解析式时忽视定义域] 已知f(ex)=ex-1,则f(x)=　　　　.  6.[忽视分段函数自变量的取值范围] 已知函数f(x)=则使f(x)≥2成立的x的取值范围为　　　　　　.  7.[混淆“函数f(x)在某区间有意义”与“函数f(x)的定义域为某区间”] 已知函数f(x)=ln(a·3-2x+2·3-x+1)的定义域为(1,+∞),则实数a的值为　　　　.  　函数的定义域 例1 (1)函数f(x)=的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(3,4) B.(3,+∞) C.(4,+∞) D.(3,4)∪(4,+∞) (2)求符合下列要求的函数的定义域. ①已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x+1)的定义域; ②已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数f(x)的定义域; ③已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x-1)的定义域.     总结反思 (1)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合,如分式的分母不等于0、对数的真数大于0等,所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组),不等式(组)的解集即为定义域. (2)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域. 变式题 (1)函数f(x)=+log3x的定义域为　　　　.  (2)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),则函数y=f(1-x)的定义域为　　　　.  (3)已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,3],则函数y=f(log3x)的定义域为　　　　.  　函数的解析式 例2 (1)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)的解析式为　　　　　　.  (2)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的解析式为　　　　　　.  (3)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)的解析式为　　　　　　.  (4)已知f=x2+,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.  总结反思 1.求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)构造法:已知f(x)与f或f(b-x)(a,b为常数)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). (4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. 2.求解函数解析式后一定要注意定义域问题. 变式题 (1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.  (2)已知函数f(+1)=x-4,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  (3)[2026·辽宁大连期末] 已知函数f(x)满足f(x)+f=1+x,则f(x)=　　　　　　　　　.  　以分段函数为背景的问题 微点1　分段函数求值 例3 (1)[2025·广西柳州三模] 已知函数f(x)=则f= (　 ) A. B. C.4 D.16 (2)[2025·江西鹰潭一模] 已知函数f(x)=则f(4)=　　　　.  总结反思 分段函数求值的基本原则是分段进行,即自变量的取值属于哪一段范围,就代入这一段的解析式求值,对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值. 微点2　分段函数与方程、不等式 例4 (1)[2026·南通9月调考] 已知函数f(x)=若f[f(a)]=-1,则a的值为　　　　.  (2)已知f(x)=则不等式f(x)<2的解集是　　　　.  总结反思 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;若是求自变量的值,则需要结合分段区间对自变量进行分类讨论,再求值. (2)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解. 1.已知函数f(x)=若f(-2)=3,则f(-5)= (　 ) A.6 B.-6 C.2 D.-2 2.[2026·辽宁实验中学二模] 设函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集是 (　 ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 3.[2025·福建厦门质检] 已知函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a=　　　　.  4.设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.实数集　每一个实数x　唯一确定 2.(1)定义域　值域 (2)定义域　对应关系 3.解析法　列表法　图象法 4.对应关系 【对点演练】 1.(-∞,-3)∪(-3,8]　[解析] 要使函数f(x)有意义,只需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,故f(x)的定义域是(-∞,-3)∪(-3,8]. 2.∪　[解析] 函数的定义域为,y===-=-,因为≠0,所以y=-≠,故函数y=的值域为∪. 3.②　[解析] 对于①,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数;对于③,在集合N中可以找到两个元素与1对应,故不是从集合M到集合N的函数;对于④,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数.故填②. 4.[-3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]　[解析] 由函数图象可知,函数的定义域是[-3,0]∪[2,3],函数的值域是[1,5],其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]. 5.x-1(x>0)　[解析] 令t=ex,则t>0,所以f(t)=t-1(t>0),则f(x)=x-1(x>0). 6.(-∞,-1]∪(0,1]　[解析] 当x≤0时,f(x)≥2即为x2+1≥2,解得x≤-1或x≥1,所以x≤-1;当x>0时,f(x)≥2即为-x+3≥2,解得x≤1,所以0<x≤1.综上所述,x的取值范围为(-∞,-1]∪(0,1]. 7.-15　[解析] ∵函数f(x)的定义域为(1,+∞),∴(1,+∞)是不等式a·3-2x+2·3-x+1>0的解集,令m=3x,得不等式m2+2m+a>0(m>0)的解集为(3,+∞),所以3是关于m的方程m2+2m+a=0的根,将m=3代入方程可得a=-15.经检验知当a=-15时,不等式a·3-2x+2·3-x+1>0的解集是(1,+∞),故实数a的值为-15. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)利用对数、分式、根式的性质列不等式组,求x的取值范围,即得函数f(x)的定义域.(2)①由f(x)的定义域可得1≤2x+1≤2,解不等式可得y=f(2x+1)的定义域;②由y=f(2x+1)的定义域可得3≤2x+1≤5,即可得f(x)的定义域;③由函数y=f(2x+1)的定义域求出y=f(x)的定义域,再求出y=f(2x-1)的定义域. (1)D　[解析] 要使函数f(x)=有意义,需满足解得x>3且x≠4,故函数f(x)的定义域为(3,4)∪(4,+∞).故选D. (2)解:①由1≤2x+1≤2,得0≤x≤,所以函数y=f(2x+1)的定义域为. ②因为y=f(2x+1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5,故函数f(x)的定义域为[3,5]. ③因为函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],所以3≤2x+1≤5. 由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3,所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3]. 变式题　(1)(0,1)　(2)(-2,2] (3)[1,9]　[解析] (1)对于函数f(x)=+log3x,有 解得0<x<1,故函数f(x)=+log3x的定义域为(0,1). (2)因为函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),所以-1≤2x+1<3,所以函数f(x)的定义域为[-1,3),由-1≤1-x<3,解得-2<x≤2,所以函数y=f(1-x)的定义域为(-2,2]. (3)由x∈[1,3],得x-1∈[0,2],所以log3x∈[0,2],可得x∈[1,9],所以y=f(log3x)的定义域为[1,9]. 例2　[思路点拨] (1)思路一:利用换元法求解析式;思路二:利用配凑法求解析式.(2)设出二次函数f(x)的解析式,然后利用待定系数法求解即可.(3)用-x替换x,构造方程组即可求出f(x).(4)由f的定义域得到f(x)的定义域,通过对f的解析式变形、配凑,可得f(x)的解析式. (1)f(x)=x2-5x+9　(2)f(x)=x2-x+1　(3)f(x)=3x (4)f(x)=x2-2(x∈(-∞,-2]∪[2,+∞))　[解析] (1)方法一(换元法):令2x+1=t(t∈R),则x=,所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x+9. 方法二(配凑法):因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9. (2)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.在f(x+1)-f(x)=2x中,令x=0,则f(1)-f(0)=0,∴f(1)=1,即a+b+1=1,故a+b=0①;令x=1,则f(2)-f(1)=2,∴f(2)=3,即4a+2b+1=3,故2a+b=1②.由①②得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1. (3)(方程思想)因为2f(x)+f(-x)=3x①,所以将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x②,由①②解得f(x)=3x. (4)因为当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,当x<0时,x+≤-2,当且仅当x=-1时等号成立,所以f(x)的定义域为(-∞,-2]∪[2,+∞).因为f=x2+=-2=-2,所以f(x)=x2-2(x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)). 变式题　(1)f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1　(2)f(x)=x2-2x-3(x≥1) (3)--+1 [解析] (1)设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,所以解得或故f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1. (2)令t=+1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),即f(x)=x2-2x-3(x≥1). (3)对于f(x)+f=1+x①, 将①中x替换成,可得f+f=1+②,再将①中x替换成,可得f+f(x)=1+③.①②相减可得f(x)-f=x-④,③④相加可得2f(x)=x-+1+,所以f(x)=-+1-. 例3　[思路点拨] (1)利用函数f(x)的解析式由内到外逐层计算可得f的值;(2)先根据当x>0时,f(x)=f(x-3),得f(4)=f(1)=f(-2),再根据当x≤0时,f(x)=2x2+1求得f(-2)的值,即得f(4)的值. (1)C　(2)9　[解析] (1)由解析式可得f=log2=-2,则f=f(-2)==4.故选C. (2)f(4)=f(4-3)=f(1)=f(1-3)=f(-2)=2×(-2)2+1=9. 例4　[思路点拨] (1)根据分段函数的定义,分情况讨论f(a)的取值范围,再进一步求出a的值;(2)分x<0和x≥0两种情况求解即可. (1)或-1或　(2)(-∞,3) [解析] (1)设t=f(a),则f[f(a)]=f(t)=-1,当t>0时,f(t)=log3t,由log3t=-1,可得t=3-1=.当t≤0时,f(t)=,由=-1,两边同时立方可得t=(-1)3=-1.当f(a)=时,若a>0,则f(a)=log3a=,可得a=;若a≤0,则f(a)==,无解,舍去.当f(a)=-1时,若a>0,则f(a)=log3a=-1,可得a=;若a≤0,则f(a)==-1,可得a=-1.综上,a=或a=-1或a=. (2)当x<0时,不等式f(x)<2即为-x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x<0;当x≥0时,不等式f(x)<2即为log2(x+1)<2,所以x+1<4,且x+1>0,可得0≤x<3.综上,不等式f(x)<2的解集是(-∞,3). 【应用演练】 1.A　[解析] 因为当x<0时,f(x)=f(1+x)+m,所以f(-2)=f(-1)+m=f(0)+2m=3,又当x≥0时,f(x)=ex,所以f(0)=1,所以1+2m=3,解得m=1,所以f(-5)=f(-4)+m=f(-3)+2m=f(-2)+3m=3+3=6.故选A. 2.A　[解析] 当x<0时,由x+6>3,可得-3<x<0;当x≥0时,由x2-4x+6>3,即x2-4x+3>0,可得x>3或0≤x<1.综上,不等式f(x)>3的解集是(-3,1)∪(3,+∞).故选A. 3.8　[解析] f(-1)=-(-1)2=-1,所以f(a)=3,因为x≤0时,f(x)=-x2≤0,所以a>0,所以f(a)=log2a=3,解得a=8. 4.　[解析] 当x>时,不等式可化为2x+>1,易知2x+>1恒成立,即x>符合题意;当0<x≤时,不等式可化为2x+x-+1>1,易知2x+x-+1>1恒成立,即0<x≤符合题意;当x≤0时,不等式可化为x+1+x-+1>1,解得x>-,即-<x≤0.综上,x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $