第6单元 05 第39讲 数列求和（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦数列求和核心方法，通过分层题型训练运算能力与推理意识，覆盖高考高频考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分组转化|8、10题|含(-1)^n或周期性项|等差等比分组→求和公式应用| |裂项相消|4题|分式通项可拆分|通项分解→前后项抵消| |绝对值求和|3题|等差数列正负项分离|分段讨论→绝对值性质应用| |递推求和|7、15题|已知和式求通项|作差法求a_n→错位相减| |并项求和|2、13题|相邻项代数和为定值|奇偶项分类→周期性归纳|

第39讲　数列求和 1.[2026·四川眉山期末] 已知数列{an}的通项公式为an=则数列{an}的前10项和S10= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.107 B.1409 C.1414 D.112 2.[2026·河南三门峡期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且满足an+1+(-1)nan=3·(-2)n,则S11= (　 ) A.4093 B.4094 C.4095 D.4096 3.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a25|= (　 ) A.630 B.648 C.660 D.675 4.[2026·河北承德模拟] 已知数列{an},{bn}满足anbn=2,bn=4n2+8n+3,则数列{an}的前30项和S30= (　 ) A. B. C. D. 5.已知数列{an}的通项公式为an=log2,则使{an}的前n项和Sn<-成立的n的(参考数据:≈1.59)(　 ) A.最小值为7 B.最大值为7 C.最小值为8 D.最大值为8 6.已知数列{an}满足an=(n∈N*),且数列{an}的前n项和为Sn=9,那么n=　　　　.  7.[2025·昆明期末] 若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列的前n项和为 　　　　.  8.[2026·黑龙江绥化二中期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1+an=2n,则S11= 　　　　(用数字作答).  9.[2026·辽宁东北育才学校联考] 等差数列{an}的首项a1∈N*,公差d∈,前n项和Sn满足S5=S12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn. 10.[2025·河北石家庄模拟] 设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项和,则S7= (　 ) A.110 B.120 C.288 D.306 11.(多选题)已知数列{an}满足a1=0,an+1=设bn=a2n,记数列{an}的前2n项和为S2n,数列{bn}的前n项和为Tn,则下列结论正确的是 (　 ) A.a3=9 B.bn=n·3n C.Tn= D.S2n=(n-1)·3n+1+3 12.(多选题)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,则 (　 ) A.an=2n+2 B.{an}的前n项和为n(n+3) C.{(-1)nan}的前100项和为-100 D.{|an-10|}的前20项和为284 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,an=cos nπ,则S2025=　　　　.  14.已知公差不为0的等差数列{an}中,存在m≥2,m∈N*,满足a1am=2,++…+=1013,则m=　　　　.  15.已知{an}是各项均为正数的数列,Sn为{}的前n项和,且,Sn,an-2成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求证:+++…+<; (3)已知bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 16.[2026·辽宁大连二十四中期中] 已知在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n∈N+,n≥2). (1)求证:数列{an}是等比数列. (2)设数列{an}的公比为f(t),数列{bn}满足b1=,bn=f(n∈N+,n≥2). ①若用[x]表示不大于x的最大整数,试求的值; ②设数列的前n项和为Tn,若存在正整数m,k(m<k),使得T1,Tm,Tk成等比数列,试求出所有的m,k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第39讲　数列求和 1.B　[解析] 因为an= 所以S10=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=+=1409.故选B. 2.A　[解析] 当n为偶数时,an+an+1=3·2n,所以S11=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+(a8+a9)+(a10+a11)=1+3·(22+24+26+28+210)=1+=4093.故选A. 3.C　[解析] 依题意,由an+1=an+3,得an+1-an=3,所以数列{an}是首项为a1=-60,公差d=3的等差数列,则an=a1+(n-1)d=3n-63,则当n≤21时,an≤0,当n>21时,an>0,所以|a1|+|a2|+…+|a25|=-(a1+a2+…+a21)+a22+…+a25=-×(a1+a21)+(a22+a25)=-×(-60+0)+2×(3+12)=660.故选C. 4.D　[解析] 将bn=4n2+8n+3代入anbn=2整理得an===-,故S30=a1+a2+…+a30=++…+=-=.故选D. 5.C　[解析] an=log2=log2(3n-1)-log2(3n+2),故Sn=a1+a2+…+an=log22-log25+log25-log28+…+log2(3n-1)-log2(3n+2)=1-log2(3n+2).令Sn<-,得log2(3n+2)>,则3n+2>=16×=16×≈16×1.59=25.44,解得n>7.8,故满足题意的正整数n的最小值为8.故选C. 6.99　[解析] 因为an=== -,所以Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1,由Sn=9,得-1=9,解得n=99. 7.　[解析] 由a1+2a2+3a3+…+nan=n,得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n-1(n≥2),两式相减得nan=1(n≥2),所以an=(n≥2),又a1=1满足上式,所以an=,所以==-.设数列的前n项和为Tn,则Tn=1-+-+…+-=1-=. 8.1365　[解析] 因为a2+a3=22,a4+a5=24,a6+a7=26,a8+a9=28,a10+a11=210,所以S11=1+22+24+26+28+210=1+=1+=1365. 9.解:(1)∵S5=S12,∴5a1+10d=12a1+66d,得a1=-8d, ∵-<d<-,∴<a1<, 又∵a1∈N*,∴a1=2,d=-, ∴an=. (2)∵bn=an=,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=+++…++①, Tn=+++…++②,①-②,得Tn=—-=4--=+,∴Tn=7+. 10.A　[解析] 由题意,得S7=(a1+b1)+(a2+a3+b2+b3)+(a4+a5+b4+b5)+(a6+a7+b6+b7)=2+(2×2+22)+(2×4+24)+(2×6+26)=2+8+24+76=110.故选A. 11.ABD　[解析] 对于A,由a1=0,因为an+1=所以a2=a1+3=3,a3=3a2=9,故A正确;对于B,当n≥2,n∈N*时,a2n=a(2n-1)+1=a2n-1+=a2n-1+3n=a(2n-2)+1+3n=3a2n-2+3n(*),因为bn=a2n,所以bn-1=a2(n-1),故由(*)可得bn=3bn-1+3n,则=+1,即数列是公差为1的等差数列,则=b1+n-1=+n-1=n,可得bn=n·3n,故B正确;对于C,由Tn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n,可得3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1,上面两式相减可得-2Tn=3+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1,可得Tn=,故C错误;对于D,由a2n=n·3n,a2n=a2n-1+3n,可得a2n-1=a2n-3n,则S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)=2(a2+a4+…+a2n)-(3+32+…+3n)=2Tn-=(n-1)·3n+1+3,故D正确.故选ABD. 12.ABD　[解析] ∵a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,∴当n=1时,a1=4,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n,两式相减得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)·2n,则an=2(n+1),又a1=4满足上式,∴an=2(n+1),故A正确;∵an=2(n+1),∴数列{an}是首项为4,公差为2的等差数列,∴{an}的前n项和Sn=4n+×2=n2+3n,故B正确;{(-1)nan}的前100项和为-4+6-8+10+…-200+202=2+2+…+2=2×50=100,故C错误;{|an-10|}的前20项和为|a1-10|+|a2-10|+|a3-10|+…+|a20-10|=(10-a1)+(10-a2)+(10-a3)+(10-a4)+(a5-10)+(a6-10)+(a7-10)+…+(a20-10)=S20-2S4-12×10=460-2×28-120=284,故D正确.故选ABD. 13.-　[解析] 由题意得an=(-1)n,所以S2025=a1+a2+a3+…+a2024+a2025=+++…++=-1-=-. 14.2027　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,由=,可得++…+==×=×==1013,因为a1am=2,所以m=2027. 15.解:(1)由,Sn,an-2成等差数列,得2Sn=+an-2①. 当n=1时,2=+a1-2, ∴a1--2=0,得=2(=-1舍去); 当n≥2时,2Sn-1=+an-1-2②,①-②得,2=-+an-an-1, ∴+=an-an-1=(+)(-). 又+≠0,∴-=1,∴{}是首项为2,公差为1的等差数列,∴=2+n-1=n+1,∴an=(n+1)2. (2)证明:=<=, 故+++…+< ==-<. (3)由(1)知bn=(-1)n(n+1)2. 当n是奇数时,Tn=-22+32-42+52-62+72-…-(n-1)2+n2-(n+1)2=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+…+[n-(n-1)](n+n-1)-(n+1)2=2+3+4+5+…+n-1+n-(n+1)2=-(n+1)2=; 当n是偶数时,Tn=-22+32-42+52-62+72-…-n2+(n+1)2=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+…+[(n+1)-n](n+n+1)=2+3+4+…+n+(n+1)==. 综上,Tn= 16.解:(1)证明:因为3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n∈N+,n≥2), 所以3tSn+1-(2t+3)Sn=3t(t>0,n∈N+),两式相减,得3tan+1=(2t+3)an,即=(n≥2), 在3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n∈N+,n≥2)中,令n=2,得3tS2-(2t+3)S1=3t,即3t(a2+a1)-(2t+3)a1=3t,得a2=, 显然=, 所以数列{an}是等比数列. (2)由(1)可知f(t)=,所以bn=f=(n≥2),整理得bn-bn-1=(n≥2), 所以数列{bn}是公差为的等差数列,又b1=,故bn=+(n-1)·=. ①(-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+b100b101)=[(-b1b2+b2b3)+(-b3b4+b4b5)+…+(b100b101-b99b100)]==×(b2+b4+…+b100)=××==, 所以=22. ②因为===,所以Tn===, 当T1,Tm,Tk成等比数列时,=3×,可得k=>0,则-2m2+4m+1>0,解得<m<, 因为m∈N+,2<<3,所以m=1或2,当m=1时,k=1,舍去,所以m=2,k==12, 所以存在正整数m=2,k=12,使得T1,Tm,Tk成等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $