第6单元 03 第37讲 等差数列及其前n项和（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦等差数列核心概念与性质，通过基础到创新的题型梯度，系统覆盖通项、前n项和及应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-5题|基本量计算、定义辨析|从通项公式、前n项和公式到概念应用| |性质应用|6-8题|中项性质、Sn性质|性质推导与应用（如S_k成等差）| |综合拔高|9-13、16题|最值、充要条件、Sn与an关系|公式与性质综合，体现推理意识| |实际与创新|14、17题|实际情境、新定义|数学模型构建，体现模型意识|

第37讲　等差数列及其前n项和 1.B　[解析] 方法一:设数列{an}的公差为d,因为a3=3,a4+a6=2,所以3+d+3+3d=2,解得d=-1,所以a7=a3+4d=-1.故选B. 方法二:在等差数列{an}中,a4+a6=2a5=2,又a7+a3=2a5,所以a7=2a5-a3=2-3=-1.故选B. 2.D　[解析] 设{an}的公差为d,则a1+3d=4①,S5=5a1+10d=15②,由①②可得d=1.故选D. 3.B　[解析] 若a2+a6=2a4,则数列{an}不一定是等差数列,如数列1,2,1,4,1,6,1,1,…;若数列{an}为等差数列,则由等差中项可知a2+a6=2a4.所以“a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.故选B. 4.D　[解析] 由题意可得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+S12-S8,因为S4=12,S8=40,所以56=12+S12-40,解得S12=84.故选D. 5.C　[解析] 方法一:由题意得am+1=Sm+1-Sm=3,am+2=Sm+2-Sm+1=4,则等差数列{an}的公差d=am+2-am+1=1,则a1=3-m,Sm=m(3-m)+=-3,所以m=6.故选C. 方法二:由等差数列的性质得为等差数列,则+=,得+=0,解得m=6.故选C. 6.B　[解析] 因为{an},{bn}均为等差数列,且Sn,Tn满足=,所以可设Sn=(2n+4)kn,则Tn=(3n+1)kn,k为常数,则==×=×=,故选B. 7.　[解析] 因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn且=,所以======. 8.6　[解析] 项数为2m+1的{an}中奇数项共有(m+1)项,其和为== (m+1)am+1=140,项数为2m+1的{an}中偶数项共有m项,其和为==mam+1=120,所以==,解得m=6. 9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14. (2)方法一:由d=3知{an}是递增数列. 当n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0. 所以S1>S2>S3>S4<S5<…, 所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26. 方法二:Sn=na1+d=n2-n=-, 又n∈N*,所以当n=4时,Sn最小,最小值为-26. 10.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为S5=4a4-1,所以5a1+d=4(a1+3d)-1,即a1=2d-1,因为是以1为公差的等差数列,所以-=1,即-2=1,即a1=d,又a1=2d-1,所以a1=d=1,所以an=1+n-1=n.对于A,a5=5,故A错误;对于B,S5=5+=15,故B正确;对于C,a10=10,故C错误;对于D,S10=10+=55,故D错误.故选B. 11.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则S10==4a4=4(a1+3d),化简得2a1+11d=0,即d=-a1,则an+Sn=a1+(n-1)d+na1+=(n+1)a1+d=(n+1)a1+×=·a1=-·[(n-5)2-38],由a1>0,得当n=5时,an+Sn取得最大值.故选B. 12.ABD　[解析] 由a7<0,a7+a8>0可知a1<0,d>0,a8>0.对于选项A,由a1<0,d>0,a7<0,a8>0,可知a1,a2,…,a7为负,a8,a9,…为正,所以S7最小,故A正确.对于选项B,C,S13==13a7<0,S14==7(a7+a8)>0,则满足Sn>0的n的最小值为14,满足Sn<0的n的最大值为13,故B正确,C错误.对于选项D,由上述分析可得a1,a2,…,a7为负,a8,a9,…为正,S1,S2,…,S13为负,S14,S15,…为正,所以,,…,为负,又|S8|>|S9|>…>|S13|,|a8|<|a9|<…<|a13|,所以最大,即最小,故D正确.故选ABD. 13.A　[解析] 由S2025<S2024<S2026,得a2025=S2025-S2024<0,a2026=S2026-S2025>0,a2025+a2026=S2026-S2024>0,所以等差数列{an}为递增数列,因为S4049==4049a2025<0,S4050==2025(a2025+a2026)>0,所以当n≤2025时,an<0,Sn<0,则>0,当n≥2026时,an>0,要使最小,则Sn<0,此时2026≤n≤4049.数列{Sn}为递增数列,随着n的增大,an增大,减小,Sn增大,但>0,Sn<0,则增大,所以当n=2026时,最小.故选A. 14.B　[解析] 方法一:根据题意,出生年月在1965年1月-4月的人的法定退休年龄记为a1,出生年月在1965年5月-8月的人的法定退休年龄记为a2,出生年月在1965年9月-12月的人的法定退休年龄记为a3,…,则{an}构成等差数列,首项a1=60岁+1个月,公差d为1个月,可得an=60岁+n个月.依此规律,1970年5月出生的男职工,他的退休年龄应该是{an}的第17项,即他的退休年龄为a17=60岁+17个月=61岁+5个月. 方法二:(利用枚举法)出生年龄每延后一年,退休年龄延后三个月. 出生年龄 退休年龄 1965.5 60岁+2个月 1966.5 60岁+5个月 1967.5 60岁+8个月 1968.5 60岁+11个月 1969.5 61岁+2个月 1970.5 61岁+5个月 故选B. 15.解:(1)由题意,设等差数列的公差为d,又=8,=5, ∴3d=5-8=-3,∴d=-1, ∴=8+(n-1)×(-1)=9-n, ∴Sn=-n2+9n,则Sn-1=-(n-1)2+9(n-1)=-n2+11n-10,n≥2,∴an=Sn-Sn-1=-2n+10,n≥2,又a1=8符合上式, ∴an=-2n+10. (2)由(1)得,a1>a2>…>a5=0>a6>…,当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an==-n2+9n, 当n≥6时,Tn=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+5×9)-(-n2+9n)=n2-9n+40,∴Tn= 16.A　[解析] 设{an}的公差为d,d>0,由4Sn=-2an+1+1,可得4a1=(a2-1)2=(a1+d-1)2,4(2a1+d)=(a3-1)2=(a1+2d-1)2,解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.由题可得cn=(2n-1)(2n+1),则==-,所以=1-+-+…+-=1-=.故选A. 17.(1)3　(2)210　[解析] (1)由题可知,an=2n<10,又因为n∈N*,所以n≤3,所以b10=3. (2)由题可知a1≥1,所以B1=⌀,所以b1=0.若a1=m≥2,则B2=⌀,Bm+1={1},所以b2=0,bm+1=1,与{bn}是等差数列矛盾,所以a1=1.设dn=an+1-an(n∈N*),因为{an}是各项均为正整数的递增数列,所以dn∈N*.假设存在k∈N*使得dk≥2,设ak=t,由ak+1-ak≥2得ak+1≥t+2.由ak=t<t+1<t+2≤ak+1,得bt<k,bt+1=bt+2=k,与{bn}为等差数列矛盾.所以对任意n∈N*都有dn=1,所以数列{an}是等差数列,an=1+(n-1)=n,所以数列{an}的前20项和S20==210. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲　等差数列及其前n项和 1.在等差数列{an}中,a3=3,a4+a6=2,则a7= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.[2026·广西南宁二中月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=4,S5=15,则{an}的公差为 (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.[2025·石家庄二中一模] “a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4=12,S8=40,则S12= (　 ) A.44 B.52 C.68 D.84 5.[2025·湖北黄冈模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4,则m= (　 ) A.8 B.7 C.6 D.5 6.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,且=,则= (　 ) A. B. C. D. 7.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=　　　　.  8.[2025·河南信阳模拟] 已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈N*),其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则m=　　　　.  9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值. 10.[2025·山西太原一模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4a4-1,是以1为公差的等差数列,则下列结论正确的是 (　 ) A.a5=10 B. S5=15 C.a10=20 D. S10=30 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,S10=4a4,则an+Sn取最大值时n的值是(　 ) A.4 B.5 C.6 D.10 12.(多选题)[2026·重庆南开中学期末] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知a7<0,a7+a8>0,则下列说法正确的是 (　 ) A.Sn的最小值为S7 B.满足Sn>0的n的最小值为14 C.满足Sn<0的n的最大值为14 D.数列的最小项为第8项 13.[2026·浙江名校协作体联考] 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2025<S2024<S2026,则数列的最小项的项数为 (　 ) A.2026 B.2027 C.4048 D.4049 14.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工,新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月,逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示: 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 … 新方案 法定退休 年龄 60岁+ 1个月 60岁+ 2个月 60岁+ 3个月 60岁+ 4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为 (　 ) A.61岁+4个月 B.61岁+5个月 C.61岁+6个月 D.61岁+7个月 15.已知数列{an}的前n项和为Sn.若为等差数列,且满足S1=8,=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn. 16.[2025·安徽部分示范性高中联考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,an>0,4Sn=-2an+1+1,将数列{an}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列得到新数列{cn},则= (　 ) A. B. C. D. 17.已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列,对于k∈N*,定义集合Bk={i∈N*|ai<k},设bk为集合Bk中元素的个数,若Bk=⌀时,规定bk=0. (1)若an=2n,则b10=　　　　;  (2)若数列{bn}是等差数列,则数列{an}的前20项和为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $