第6单元 01 第36讲 数列的概念与简单表示法（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦数列概念与表示法，以题构建从基础概念到综合应用的知识逻辑链，覆盖高考高频题型，强化数学思维与符号表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|题1|已知数列项判断项数|数列项与项数对应关系| |公式应用|题2、6|前n项和求通项、Sn与an关系|Sn与an互化原理推导| |递推分析|题3、11|周期性递推求指定项|递推关系中周期规律生成| |性质探究|题4、5、7、8、13|单调性判断、充要条件|数列单调性与函数性质关联| |综合应用|题14、15、16|函数结合、新定义问题|知识迁移与数学语言表达|

第六单元　数列 第36讲　数列的概念与简单表示法 1.B　[解析] 由该数列的前几项观察归纳,知根号内的被开方数是以6为首项,4为公差的等差数列,所以该数列的通项公式为an=,当n=12时,a12==5.故选B. 2.C　[解析] a5=S5-S4=(35-5)-(34-4)=238-77=161.故选C. 3.A　[解析] 由数列{an}满足a1=,an+1=,可得a2===3,a3===-2,a4==-,a5==,…,所以数列{an}是周期数列,且周期为4,所以a2025=a506×4+1=a1=.故选A. 4.B　[解析] 令an>0,则>0,解得n<2或n>.因为n∈N*,所以当n=1或n≥8时,an>0,当2≤n≤7时,an≤0,所以当n=7时,Sn取得最小值.故选B. 5.A　[解析] 令an+1>an,得(n+1)2+k(n+1)>n2+kn,即k>-(2n+1),若{an}为递增数列,则k>-3,所以k≥-2是{an}为递增数列的充分不必要条件.故选A. 6.BCD　[解析] 在2Sn=3an-1中,令n=1,得2S1=2a1=3a1-1,解得a1=1.当n≥2时,2Sn-1=3an-1-1,则2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-1),即an=3an-1,所以=3,所以{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,故A错误,B正确.an=3n-1,则Sn==,故C,D正确.故选BCD. 7.(-9,+∞)　[解析] 由数列{an}是递增数列,可得an+1-an=3(n+1)2+m(n+1)-3n2-mn>0,即6n+3+m>0,则m>-6n-3对任意n∈N*恒成立,故m>-9,故m的取值范围为(-9,+∞). 8.-6　[解析] an=2n2-11n+9=2+9=2-,n∈N*,而2<<3,当n=2时,a2=8-22+9=-5,当n=3时,a3=18-33+9=-6,所以{an}中最小项的值为-6. 9.5　[解析] 由题可得,a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+1=5,则b2=a4=5. 10.B　[解析] 由++=10,得++=10,两式相减得-=0,即(an+3-an)(an+3+an)=0.又an>0,所以an+3=an,所以a2026=a675×3+1=…=a1=1.故选B. 11.A　[解析] 因为a1=2,an+1=1-(n∈N*),所以a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1-(-1)=2=a1,所以数列{an}是以3为周期的周期数列.因为2026=3×675+1,所以S2026=×675+2=.故选A. 12.ACD　[解析] 因为an+1-an=-an=>0,所以an+1>an,所以数列{an}为递增数列,故a2027>a2026,选项A正确;因为数列{an}为递增数列,所以an≥a1>0,所以为递减数列,选项B错误;因为an+1=,所以2an+1-an=,两边平方整理得4-1=4an+1an,选项C正确;由4-1=4an+1an,整理得an=an+1-,两边平方得=+->-,则-<,所以-<,-<,…,-<,累加可得-<×(2026-1)=1012.5,即-1<1012.5,所以<1013.5<1014,故D正确.故选ACD. 13.(-3,+∞)　[解析] 由an=n2+λn得an+1=(n+1)2+λ(n+1),所以an+1-an=2n+1+λ.由题知数列{an}是递增数列,所以an+1-an>0,即2n+1+λ>0对任意n∈N*恒成立,所以λ>-(2n+1),即λ>[-(2n+1)]max.当n=1时,-(2n+1)取得最大值-3,所以λ>-3,故实数λ的取值范围是(-3,+∞). 14.解:(1)∵点(n,Sn)在函数y=-x2+14x的图象上, ∴Sn=-n2+14n. 当n=1时,a1=S1=13,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+14n-[-(n-1)2+14(n-1)]=-2n+15,又a1=13满足上式, ∴an=-2n+15. (2)∵点(n,bn)在函数y=2x的图象上,∴bn=2n,∴cn=(-2n+15)·2n,cn+1=(-2n+13)·2n+1, ∴cn+1-cn=(11-2n)2n. 令cn+1-cn>0,解得n<,∴当n≤5时,{cn}递增,当n≥6时,{cn}递减,又c5=(-2×5+15)×25=160,c6=(-2×6+15)×26=192, ∴数列{cn}的最大项为c6=192. 15.21　[解析] 因为数列{an}的各项都为正整数,且对任意k∈N*,(a3k-1-a3k-2)(a3k-1-a3k)=1,所以a3k-1-a3k-2=-1,a3k-a3k-1=1,或a3k-1-a3k-2=1,a3k-a3k-1=-1.当a3k-2=1时,a3k-2+a3k-1+a3k的最小值为4;当a3k-2≥2时,a3k-2+a3k-1+a3k的最小值为3a3k-2-1.由a1=3,可得a1+a2+a3的最小值为3+2+3=8;由a12=2,可得a10+a11+a12的最小值为2+1+2=5.又a4+a5+a6≥1+2+1=4,a7+a8+a9≥1+2+1=4,所以a1+a2+…+a12的最小值为8+4+4+5=21. 16.6　[解析] 当n=1时,S1=a1,因为S1∈{2,3,4},所以首项a1只能是2,3或4中的一个.当n=2时,S2=a1+a2,且S2∈{2,3,4},所以a2=S2-a1.若a1=2,则a2可能为0,1,2;若a1=3,则a2可能为-1,0,1;若a1=4,则a2可能为-2,-1,0.综上,a2的可能取值为-2,-1,0,1,2.当n=3时,S3=S2+a3,S3∈{2,3,4},所以a3=S3-S2.因为S2∈{2,3,4},所以a3的可能取值同样为-2,-1,0,1,2.显然当n>3时,an的可能取值仍为-2,-1,0,1,2.构造数列{an},取a1=4,a2=0,a3=-2,a4=0,a5=1,a6=-1,a7=2,a8=-2,a9=0,a10=1,a11=-1,a12=2,…,此时数列{an}包含的不同数字为4,-2,0,1,-1,2,共6个;取a1=3,a2=1,a3=-2,a4=0,a5=1,a6=-1,a7=2,a8=-2,a9=0,a10=1,a11=-1,a12=2,…,此时数列{an}包含的不同数字为3,-2,0,1,-1,2,共6个.其他情况数列{an}包含的不同数字的个数均不超过6.故整数k的最大值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元　数列 第36讲　数列的概念与简单表示法 1.已知数列,,,3,,…,则5是这个数列的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n-n,则a5= (　 ) A.77 B.153 C.161 D.238 3.已知数列{an}满足a1=,an+1=,则a2025= (　 ) A. B.-2 C.- D.3 4.[2026·浙江绍兴期末] 已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值是 (　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 5.[2025·惠州模拟] 数列{an}的通项公式为an=n2+kn,那么“k≥-2”是“{an}为递增数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(多选题)[2025·郑州期末] 已知Sn是数列{an}的前n项和,2Sn=3an-1,则下列结论正确的是 (　 ) A.数列{an}是等差数列 B.数列{an}是递增数列 C.an=3n-1 D.Sn= 7.[2026·山东菏泽期末] 已知递增数列{an}的通项公式为an=3n2+mn,则m的取值范围为　　　　.  8.[2025·安徽黄山期末] 已知数列{an}的通项公式为an=2n2-11n+9,则{an}中最小项的值为　　　　 .  9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=若bn=a2n,则b2=　　　　 .  10.[2025·陕西安康模拟] 在数列{an}中,an>0,a1=1,a2=,若对任意的n∈N*,++=10恒成立,则a2026= (　 ) A. B.1 C. D. 11.[2026·福建宁德期中] 在数列{an}中,若a1=2,an+1=1-(n∈N+).Sn是数列{an}的前n项和,则S2026= (　 ) A. B.1015 C.2029 D.2030 12.(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则下列说法正确的是 (　 ) A.a2027>a2026 B.为递增数列 C.4-1=4an+1an D.<1014 13.数列{an}中,an=n2+λn(n∈N*),且满足a1<a2<a3<…<an,则实数λ的取值范围是　　　　.  14.在数列{an}和{bn}中,数列{an}的前n项和为Sn,若点(n,Sn)在函数y=-x2+14x的图象上,点(n,bn)在函数y=2x的图象上.设cn=an·bn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{cn}的最大项. 15.[2025·扬州模拟] 已知数列{an}的各项都为正整数,且a1=3,a12=2,若对任意k∈N*,(a3k-1-a3k-2)(a3k-1-a3k)=1,则a1+a2+…+a12的最小值为　　　　.  16.[2025·湖北黄石模拟] 无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3,4},则整数k的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $