第5单元 04 第33讲 平面向量的数量积（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的定义应用与几何转化，通过分层题型构建从基础计算到综合应用的逻辑训练体系，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8题|数量积计算、模长与夹角、垂直平行判定|从数量积定义（坐标/几何法）出发，推导模长公式、夹角公式及垂直平行充要条件| |几何综合|4题|三角形中线、网格向量、梯形动点问题|结合几何图形，通过向量线性运算实现数量积的几何转化，体现几何直观| |综合拓展|5题|最值范围、多向量关系、正六边形应用|综合应用数量积性质解决动态问题，发展推理意识与创新意识|

第33讲　平面向量的数量积 1.已知向量=(1,1),=(-1,2),则·= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.[2026·广东惠州第一次调研] 已知向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a与b的夹角为,则|a-b|= (　 ) A.2 B.4 C.2 D.2 3.[2025·山东德州三模] 平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且(3a-2b)·(a+b)=9,则向量a,b的夹角为 (　 ) A. B. C. D. 4.[2025·广东汕头二模] 在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=3,AC=2,则·的值为 (　 ) A. B.- C. D.- 5.[2025·辽宁辽南协作体三模] 已知向量b=(1,),向量a在向量b上的投影的数量为-2.若(λa+b)⊥b,则实数λ的值为 (　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.(多选题)[2026·山东聊城期中] 已知向量a=(1,2),b=(-3,-1),c=(4,λ),则下列说法正确的是 (　 ) A.若a∥c,则λ=-2 B.向量a与b的夹角为π C.若a⊥(b+c),则λ= D.|a+2b|=25 7.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　.  8.[2025·北京东城区一模] 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则cos<b,c>=　　　　,(a-b)·c=　　　　.  9.已知向量a=(-4,8),b=(x,-4). (1)若a∥(a+b),求实数x的值及|a+b|; (2)若a⊥,求向量a与b的夹角的余弦值. 10.[2025·安徽皖江名校联盟联考] 已知平面向量a,b满足a=(1,),|a-b|=4,则|b|的取值范围是 (　 ) A.[2,6] B.[2,2] C.[2,6] D.[1,2] 11.设圆O的半径为2,A,B,D为圆O上的动点,且圆心O到弦AB的距离为,则·的最大值为 (　 ) A.3 B.5 C.6 D.9 12.(多选题)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则 (　 ) A.当a·b=-1时,a与b的夹角为 B.当|a-b|=2时,a在b上的投影的数量为 C.|a+b|+|a-b|的最大值为2 D.|a+b|+|a-b|的最小值为4 13.[2026·大同一调] 已知a,b是单位向量,且a·b=.若平面向量p满足p·a=p·b=2,则|p|的值为　　　　.  14.在Rt△ABC中,AC=BC=4,D为AB的中点,P为线段CD上的一个动点,则(+)·的最小值为　　　　.  15.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,点F是BC边的中点. (1)若点E满足=2,且=λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P是线段AF(含端点)上的动点,求·的取值范围. 16.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点,则·的取值范围是 (　 ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 17.(多选题)已知向量a,b,c满足|a|=2|b-a|=2|b-c|=2|c|=2,则下列结论可能成立的有 (　 ) A.|b|= B.|b|= C.b·c= D.b·c= 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲　平面向量的数量积 1.A　[解析] 因为向量=(1,1),=(-1,2),所以||=,·=1,所以·=·(-)=·-=-1.故选A. 2.C　[解析] 方法一:|a-b|2=a2+b2-2a·b=16+4-2×4×2×=12,则|a-b|=2. 方法二:如图,设a=,b=,则AC=4,AB=2,∠CAB=,a-b=,故|a-b|=||=BC=2.故选C. 3.B　[解析] 因为|a|=2,|b|=1,且(3a-2b)·(a+b)=9,所以3a2+a·b-2b2=9,则12+a·b-2=9,所以a·b=-1.设向量a,b的夹角为θ,则2×1×cos θ=-1,所以cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=.故选B. 4.D　[解析] 如图,因为AD为BC边上的中线,所以=(+),又=-,所以·=(+)·(-)=(||2-||2)=-.故选D. 5.A　[解析] 因为向量a在向量b上的投影的数量为-2,所以=-2,即a·b=-2|b|,又(λa+b)⊥b,所以λa·b+b2=0,又b=(1,),所以|b|==2,所以-4λ+4=0,解得λ=1.故选A. 6.BC　[解析] 对于选项A,若a∥c,则1×λ-2×4=0,解得λ=8,故A错误;对于选项B,由cos<a,b>===-,可得<a,b>=,故B正确;对于选项C,b+c=(1,λ-1),若a⊥(b+c),则1×1+2×(λ-1)=0,解得λ=,故C正确;对于选项D,由a+2b=(-5,0),可得|a+2b|=5,故D错误.故选BC. 7.-2　[解析] 由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2. 8.　0　[解析] 平移向量c与b共起点,易看出b,c的夹角为45°,所以cos<b,c>=cos 45°=.由图可得|a|=,|b|=,|c|=1,cos<a,c>==,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos<a,c>-|b||c|cos<b,c>=×1×-×1×=0. 9.解:(1)向量a=(-4,8),b=(x,-4),则a+b=(x-4,4), 由a∥(a+b),得8(x-4)=-4×4,解得x=2, 所以a+b=(-2,4),故|a+b|=2. (2)a-b=(-2-x,8),由a⊥,得a·=-4(-2-x)+8×8=0,解得x=-18,则b=(-18,-4),所以cos< a,b>== = ,即向量a与b的夹角的余弦值为. 10.A　[解析] 设b=(x,y),因为a=(1,),所以a-b=(1-x,-y),又|a-b|=4,所以(x-1)2+(y-)2=42,所以点(x,y)在以C(1,)为圆心,4为半径的圆上,又|OC|=2(其中O为坐标原点),所以|b|=∈[4-2,4+2],即|b|∈[2,6].故选A. 11.C　[解析] 如图,令直径EF∥AB,过F作FC垂直于AB的延长线,垂足为C,连接OA,OB,易知△AOB是等边三角形.因为·=||||cos∠BAD,所以·可看作在上的投影向量的模与||的乘积.由图可知当D与F重合时,在上的投影向量的模最大,所以·的最大值为||·||.设M为AB的中点,则AM=AB=1,MC=OF=2,所以AC=3,故·的最大值为||·||=3×2=6.故选C. 12.BCD　[解析] 当a·b=-1时,cos<a,b>===-,又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=,故A错误;由|a-b|=2,可得a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,|b|=2,所以12-2a·b+22=4,所以a·b=,所以a在b上的投影的数量为==,故B正确;设a,b的夹角为θ,因为|a+b|==,|a-b|==,所以|a+b|+|a-b|=+,设y=+,所以y2=5+4cos θ+2+5-4cos θ=10+2,因为0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,所以0≤cos2θ≤1,当cos2θ=0时,=10+10=20,所以ymax=2,故C正确;当cos2θ=1时,=10+6=16,所以ymin=4,故D正确.故选BCD. 13.　[解析] 由题意,得|a|=|b|=1,设向量a,b的夹角为θ,因为a·b=,所以cos θ=,故θ=.以O为原点,a的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系,使b的起点与O重合,终点在第一象限,则a=(1,0),b=.设p=(x,y),则故 所以p=,故|p|==. 14.-4　[解析] 在Rt△ABC中,AC=BC=4,所以AB=4,因为D为AB的中点,所以CD=AB=2,又因为P为线段CD上的一个动点,所以+=2,所以(+)·=2·=-2||||≥-=-=-4,当且仅当||=||,即P为线段CD的中点时取等号,所以(+)·的最小值为-4. 15.解:(1)如图所示,由=2可得=,所以=+=+=+=-, 又=λ+μ,所以λ=,μ=-,所以λ+μ=-. (2)方法一:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),F(3,1).由点P是线段AF(含端点)上的动点,可令=t,t∈[0,1],所以=t=(3t,t),又=(0,2),所以=-=(3t,t-2),所以·=10t2-2t,t∈[0,1].由二次函数的性质可得,当t=时,·取得最小值-;当t=1时,·取得最大值8.综上可得,·的取值范围是. 方法二:取AD的中点M,作MG⊥AF,垂足为G,如图所示,连接PM,则·=·=(+)·(+)=+·(+)+·=-=-1,显然当点P与点F重合时,PM取得最大值3,当点P与点G重合时,PM取得最小值,所以·的取值范围是. 16.A　[解析] 方法一:以A为原点,的方向为x轴的正方向,建立如图①所示的平面直角坐标系,设P(x,y),则=(2,0),=(x,y),∵-1<x<3,∴·=2x∈(-2,6). 方法二:如图②,以{,}为基底,则<,>=,且||=2,||=2.∵P为正六边形内(不包括边界)的一点,∴=x+y,-<x<,则·=(x+y)·=x=4x.∵-<x<,∴-2<·<6. 方法三:作出正六边形ABCDEF,如图③所示,·=||||cos<,>,||=2.由图可得,当P位于C处时,||cos<,>最大,又AC=2,∠CAB=,故此时||cos<,>=2×=3,则·=||||cos<,>=2×3=6;当P位于F处时,||cos<,>最小,又AF=2,∠FAB=,故此时||cos<,>=2×=-1,则·=||||cos<,>=2×(-1)=-2.∵P是正六边形内(不包括边界)的一点,∴·的取值范围为(-2,6).故选A. 17.BCD [解析] 由题意知|a|=2,|c|=1,|a-b|=|b-c|=1,设=a,=b,=c,不妨设C(1,0),如图,动点A在以O为圆心,2为半径的圆上,动点B在以C为圆心,1为半径的圆上,且满足||=1,圆C的方程是(x-1)2+y2=1.当点B在圆C上运动时,由|AB|+|OB|≥|OA|,得|OB|≥1,当且仅当O,A,B三点共线且B在O,A之间时取等号.由图易知|OB|≤2,即1≤|b|≤2,故选项A不可能成立,选项B可能成立.设B(x,y),则b·c=(x,y)·(1,0)=x,由解得∴x≥,又x≤2,∴≤x≤2,∴b·c∈,故选项C,D均可能成立.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $