第4单元 10 培优专训（四）解三角形中多变量消元策略（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦解三角形多变量消元，通过14道分层题训练，系统培养利用正弦定理、余弦定理进行边角互化的推理能力与运算能力，渗透模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|11题|含边角关系、角倍关系、等差数列等条件，求边长、比值或范围|以正弦定理、余弦定理为桥梁，将多变量通过边角互化、三角恒等变换消元，建立方程求解| |解答题|3题|结合三角恒等变换、锐角三角形条件求角或范围|从已知等式出发，利用定理转化边角关系，通过消元减少变量，体现“化繁为简”的推理过程|

培优专训(四)　解三角形中多变量消元策略 1.A　[解析] 因为sin A=2sin B,所以由正弦定理得a=2b,又C=,所以由余弦定理得c===b,则==.故选A. 2.D　[解析] 由正弦定理得=,因为BC=3,B=2A,所以=,化简得AC=6cos A①,又AB=5,所以由余弦定理得cos A==②,将①与②联立消去cos A,可得AC=2.故选D. 3.D　[解析] 由bsin C=ccos B及正弦定理得sin Bsin C=sin Ccos B,又sin C≠0,所以sin B=cos B,则tan B=,由B∈(0,π)得B=.由S△ABC=acsin B=b×1得b=ac,则ac=b,根据余弦定理得b2=a2+c2-ac=(a-c)2+ac=1+b,整理得3b2-2b-3=0,解得b=(负值舍去).故选D. 4.D　[解析] 在△ABC中,由余弦定理结合a2=,得cos A===+≥2=,当且仅当=,即c=b时等号成立,由此可知A为锐角,而y=cos x在上单调递减,所以0<A≤,所以A的最大值为.故选D. 5.D　[解析] 因为a2,b2,2c2成等差数列,所以a2+2c2=2b2,则cos B==,cos C==,所以===,所以tan B=3tan C,且tan C>0,所以tan(C-B)===-≥-=-,当且仅当tan C=时,等号成立.故选D. 6.ABD　[解析] 对于A,因为bsin A=(3b-c)sin B,所以由正弦定理得ba=(3b-c)b,又b≠0,所以a=3b-c,即a+c=3b,故A正确;对于B,由cos A=,A∈(0,π),可得sin A==,则tan A==2,故B正确;对于C,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,又a=3b-c,cos A=,所以(3b-c)2=b2+c2-2bc·,整理得3b=2c,所以△ABC的周长为a+b+c=4b=c,故C错误;对于D,由上分析知,a=3b-c,3b=2c,所以a=c,b=a,则△ABC的面积为bcsin A=×a×a×=a2,故D正确.故选ABD. 7.BCD　[解析] 对于A,由==, 得sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,即sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,因为sin A≠0,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=,故A错误;对于B,由正弦定理得===2,则a=2sin A,又△ABC存在且唯一,所以0<a≤b=2或A=,则0<a≤2或a=2,故B正确;对于C,由sin C=sin A,得sin=sin A,即cos A+sin A=sin A,所以sin A=cos A,即tan A=1,又A为三角形的内角,所以A=,则A=B=,所以b=a,故C正确;对于D,若b=2,则由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即a2+c2-ac=4,所以a2+c2=ac+4≥2ac,即ac≤4+2,当且仅当a=c=时取等号,所以△ABC的面积为acsin B=ac≤×(4+2)=1+,故D正确.故选BCD. 8.BCD　[解析] 对于A选项,因为(a+b)(sin B-sin A)=c(sin B-sin C),所以由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(b-c),整理可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A==,又A∈(0,π),所以A=,故A错误;对于B选项,因为a=,所以由余弦定理和基本不等式可得a2=3=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=,所以b+c≤2,当且仅当b=c=时,等号成立,故△ABC的周长为a+b+c≤3,即△ABC的周长的最大值为3,故B正确;对于C选项,由正弦定理可得===2,则b=2sin B≤2,当且仅当B=时,b取最大值,此时c===1,S△ABC=ac=,故C正确;对于D选项,由正弦定理可得====2,则b=2sin B,c=2sin C,所以b-c=2sin B-2sin C=2sin B-2sin(B+A)=2sin B-2=sin B-cos B=2sin,因为0<B<,所以-<B-<,则b-c=2sin∈(-,),故D正确.故选BCD. 9.　[解析] 由题意可得sin Acos C+sin Csin A=sin B+sin C,∴sin Acos C+sin Csin A=sin(A+C)+sin C,可得sin Csin A=sin C(cos A+1),∵C∈,∴sin C≠0,∴sin A-cos A=1=2sin,可得sin=.∵A∈,∴A-∈,∴A-=,可得A=. 10.　[解析] 由正弦定理得=,因为AC=BC,所以sin B=sin A①.由sin A=2cos B,得cos B=sin A②.将①②代入sin2B+cos2B=1,得sin2A+sin2A=1,得sin2A=,所以cos2A=,则cos A=或cos A=-.因为AC=BC>BC,所以由大边对大角得B>A,所以A为锐角,所以cos A=. 11.　[解析] 设B=2θ,则∠ABD=∠DBC=θ,因为AD=BD,所以A=θ,则C=π-3θ,又A,B,C∈(0,π),所以θ∈.在△ABC中,由正弦定理可得==,则==,因为sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcos θ+cos 2θsin θ=2sin θcos2θ+(1-2sin2θ)sin θ,所以== = ==.因为θ∈,所以cos θ∈,故2cos θ+1∈(2,3),所以∈,所以的取值范围是. 12.解:(1)由2sin=,可得=cos C+sin C,由正弦定理可得=cos C+sin C,所以sin B+sin C=sin Acos C+sin Asin C,又sin B=sin(A+C),所以sin Acos C+cos Asin C+sin C=sin Acos C+sin Asin C, 所以cos Asin C+sin C=sin Asin C, 又sin C≠0,所以cos A+1=sin A,所以sin=.因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,则A=. (2)由(1)知A=,由正弦定理得=,所以c====·+, 因为所以<B<,所以tan B>, 所以0<<,所以<·+<2, 则c的取值范围为. 13.解: (1)由=及正弦定理得=,整理得b2+c2-a2=bc, 所以cos A===,又0°<A<180°,所以A=60°. (2)因为=2,BC=CD,所以AD=c,DC=a, 在△ADC中,由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·ACcos A, 即a2=+b2-bc. 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A, 即a2=c2+b2-bc,所以+b2-bc=c2+b2-bc,得c=0,所以b=c,所以a2=c2,可得a=c.在△ABC中,由余弦定理得cos B===. 14.解:(1)因为asin=bsin A, 所以由正弦定理得sin Asin=sin Bsin A, 故sin Acos=2sincossin A,又0<A<π,0<B<π,所以sin A>0,0<<, 则cos>0,可得sin=,所以=,所以B=. (2)由正弦定理可得2R=====2(R为△ABC外接圆的半径), 所以a=2sin A,c=2sin C,因为B=,所以A+C=, 则C=-A,所以2a-c=4sin A-2sin=3sin A-cos A=2sin. 因为△ABC为锐角三角形,所以解得<A<,则A-∈, 所以sin∈, 故2a-c∈(0,3),即2a-c的取值范围是(0,3). 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专训(四)　解三角形中多变量消元策略 一、单选题 1.[2026·河北衡水枣强中学等校9月质检] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin A=2sin B且C=,则的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.[2026·江苏常州高级中学期初检测] 在△ABC中,已知AB=5,BC=3,B=2A,则边AC的长为 (　 ) A.3 B.2 C.3 D.2 3.[2026·湖南名校联考联合体一联] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin C=ccos B,a-c=1,且边AC上的高为1,则b= (　 ) A. B.1 C. D. 4.[2026·山西大同平城区9月质监] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=,则A的最大值为 (　 ) A. B. C. D. 5.[2025·福建漳州第二次质检] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2,b2,2c2成等差数列,则tan(C-B)的最小值为 (　 ) A. B. C.- D.- 二、多选题 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A=(3b-c)sin B,且cos A=,则下列结论正确的是 (　 ) A.a+c=3b B.tan A=2 C.△ABC的周长为4c D.△ABC的面积为a2 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=,则下列说法正确的是 (　 ) A.B= B.若b=2且△ABC存在且唯一,则0<a≤2或a=2 C.若sin C=sin A,则b=a D.若b=2,则△ABC面积的最大值为1+ 8.[2025·贵州毕节二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,(a+b)(sin B-sin A)=c(sin B-sin C),则 (　 ) A.A= B.△ABC的周长的最大值为3 C.当b最大时,△ABC的面积为 D.b-c的取值范围为(-,) 三、填空题 9.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C=b+c-asin C,则A=　　　　.  10.[2026·河北衡水第二次调研] 在△ABC中,若AC=BC,sin A=2cos B,则cos A=　　　　.  11.[2025·河南部分高中四模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,内角B的平分线与AC交于点D,若AD=BD,则的取值范围是　　　　.  四、解答题 12.[2026·广东深圳中学摸底] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sin=. (1)求角A的大小; (2)若b=1,△ABC为锐角三角形,求c的取值范围. 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)求A; (2)若=2,BC=CD,求cos B. 14.[2025·安徽安庆重点中学最后一卷] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,b=,求2a-c的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $