第3单元 09 第21讲 双变量不等式的证明（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦双变量不等式证明，通过函数与导数综合题，系统训练构造函数、转化单变量等推理方法，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双变量不等式证明|4道综合题|函数背景下双变量关系证明，含零点、恒成立求参后证明|导数应用（单调性、最值）与不等式证明结合，双变量转化为单变量的推理链条|

草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第21讲双变量不等式的证明 1解，()当0时山xx,则-1，又因为)文+1，所以切线的斜率 1)=2, 故所求切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)证明：当c二2时，x)月nx+x2+x(>0).由x十fx)十xx0,得nx1+x+x+nx+ xx:txx:-O. 即G+46r广iw0.冷c0.o0=h则o0=l是，易知o0 在(0,1)上单调递减，在(1，+oo)上单调递增，所以p(0≥p(1)=1,所以(x十x)+(x+x)≥1， 5-1 又x10,x20,所以x1+x≥ 2 2解：()函数y的定义域为0，+0)，1-mx X ①当≤0时，fx)>0在(0，+oo)上恒成立，所以x在(0，+o)上单调递增. ②当m>0时，令f心)1-mx>0,得0<L,所以在0，上单调递增， m m 令l0有日所以后+上阔达诚 m 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 综上，当m心0时，在(0，+o)止单调递增，当0时，y在0,1上单调递增，在 m 上单调递减 (2)易得1)=0，由(1)知，当≤0时，不满足题意， 故心0，则在0,1上单调递增，在1，+∞上单调递减， m m 所以)a才1一ln-l+,故只需-ln-l+≤0即可. 令gm-hm-1+7m,则g0m1-1m-1,所以当m∈(0,1）时，g0m0,当m∈(1，+o） mm 时，g(m)>0,所以gm在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，所以gm)≥g(1)=0, 即-1n-1+心0.又因为-ln-1+1≤0， 所以-ln-1+0,解得=1. 6 ③)证明fb)上f(@）_nb-na-1-2。a1,因为a0所以21由2)得，当 b-ab-a a b -1 x∈(0，+o)时血Sx1(当且仅当1时，等号成立，令。1，则n1, In 因为>1，所以血t t1即只1因为0所以a b-1 a b a1<1,即fbf@1 -1a b-a a a Q 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 3.解：(1)由x)=x-ae+b(a0,b∈R)得fx)=1-ae, 由f0得nL,由f0得nL,所以o在o,n上单调递增，在 0 a n上，+∞上单调递减，所以的最大值为n马L-1+h-l血a-l+b,无最小值 a a (2)证明：由题知七-ae+b=0, x2-ae+b=0, 两式相减得x--a(ee,即a光-，故要证xtx<-2lna,只需证+<-2h exi-ex2 X1-X2, ex-ex2 即证e*x ex-e2 X1-X2 即证(x1-x2)2<e--2+e,-, 不妨设x1<x2,令xx=>0,则只需证f<e-2+e 设g(tt-e+2-e,t0, 则g(t)2什et-e,t>0, 设(t)F2t什et-e,t>0, 则2oee+0在0，L加成立 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以()在(0，+oo)上单调递减， 所以h(h(0)0,所以g()在(0，+o)上单调递减，所以g()水g(0)=O,故原不等式得证. 4.解：(1)令x)=0,若1nx-0,则x=1是一个零点，但不是题设区间内的零点，所以x2- x+10的两个根分别在区间(0,1)和(1，+o)内，故只需12+1=2-<0，所以k>2 @由题可得)Q血+X,结合0脚f)2-h所以曲线 在点(x1,0)处的切线方程为y-(2x1-)n1(x-x),0<x1<1. 令0，则y-(2x1-)ln(-x=(-2xnx1,又1=x+1,所以y(1-xnx1,所以S (1xn,易知t1,则xL,且0<1<， 2 X1 心 (-1)In x1 1 1 2血x4xm. -X1 X1 令eo,1则 xx0-44血6则h(0-4(1+Hn 当0-时价-0，当1时0所以40，上单选城，包，止年 调递减，所以h(h1=1, e 4e 所以3的最大准为 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 k 1 (3)证明：方法一记f的导函数为，则f3+2nxx产，显然f在0，+0） 上单调递增，又"(1)=2-<0，当x→+o时f"()→+0，所以存在0∈(1，+o),使得" (x0)—0, 当0<≤时"(x)<0,则fx)在(0，xo)上单调递减， 当x>x时，f"(w)>0,则fx)在(，+o)上单调递增 又fx)f(1)=2-k0,当x→0或x+0时fx)→+o, 所以存在m∈(0，xo),n∈(o,+o),使得f(m)=f(n)-0, 当0<<m或x心n时，f(x)0,则x在(0，m,(n,十oo)上单调递增， 当K<n时，fx)<0,则)在(，m上单调递减， 结合题设，可知ti,而，2依次在区间(0，m,(m,n),(n,十o)上，如图， 设曲线y孔)在点(1,0)处的切线1的方程为y=(w),则1(x)=fx)(x-x1),设 g(x)-l4()=x)fx)(x-x1),0<x≤，则g1x)月fx)fx),记g'1(w)的导函数为 g"(x),则g"(xf"(x)<0,故g'1(x)在(0，m)上单调递减，又g1()=0,所以当0<x<x时， g1(x)0,当x1<x<m时，g1(x)<0,所以g1(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1,m上单调递减，则 g1(x)上g1()0, 所以g()t)4(4上0. 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 若直线y=a与直线的交点横坐标为x1,则1()≥)=(x'1)厂a,由 >2,0<<1<x2,x+x2=k,得1的斜率fx)=(2x1-n(-xlnx10,故t≥x1.设曲线 y一式x在点x2,0)处的切线2的方程为=(x), 则12(x)=fx)(x-x, 设g)=)-1(x)式x)f)(x-x),且x>n,则g2(w)ffx),记gx)的导函数为 g"(w),则g"(x∫"(x)>0,故g(w)在(n,+0)上单调递增， 又g(x)=0,所以当K<x时g(x)0,当x>x时g'(x)0, 所以g(x)在(，x)上单调递减，在(x,+oo)上单调递增， 则g(x)≥g(x）-0,所以g2(t)=t)-1(t)≥0. 若直线y=a与直线2的交点横坐标为x'2,则12()S)=x)=a,由>2，x1,2是关于 x的方程x2-+10的根，满足+x=和xx2=1,则12的斜率fx)=(2x-nx2-( x1)nx20,故t≤x2,综上，t-ti≤x'2-x'1. 由上知f)=xnx)(cxn又xw-1,所以xx,所以f)f 所以1∥2，则x'2-x'1x2-1,故t-t≤x2-,得证， 草学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 方法二对2血x:+1设则m6)2h+是因为无2，所 k 1 以m'(x)在(0，+oo)上单调递增，注意到m'(1)=2-<0,m'(>0,所以存在唯一的 xo∈(1，)，使m'(x)=0,所以当0<≤o时，m'x)<0,当x>x时，m'(x)>0,所以fx)在(0，o) 上单调递减，在(xo,十oo)上单调递增， 所以f)至多有两个零点，且当x>0,x→0时f(x)→+0，f1)=2-<0,当x→+o时， fx)→+o,∴fx在(0,1)和(1，+o)内各有一个零点x1,x,且x)在(0，x1)上单调递增， 在(x1,x'2)上单调递减，在(x,+o)上单调递增，1)=0，作出x的大致图象如图，当 x>0且x→0时x)→-00， 由(2)知曲线y-式x)在(1,0)处的切线为1y=(2x1-)1nx1(x-),在(2,0)处的切线为 12y=(2x2-lnxx-x2), 设直线y=a与直线1，分别交于点(x3,),(4,,结合图象，得t-t≤x4-x3x+ a (2x2-k)nX2 x*(2x-k)In x 又tk,1,所以li(x,-X)lnX,(X-XlnX,-t,放-S. 第21讲　双变量不等式的证明 1.已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R. (1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+x2≥. 2.已知函数f(x)=ln x-mx+m(m∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求实数m的值; (3)在(2)的条件下(提示:可以用第(2)问的结论),对任意的0<a<b,证明:<-1. 3.[2025·重庆期末] 已知函数f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R). (1)求f(x)的最值; (2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2<-2ln a. 4.[2026·武汉9月调考] 已知函数f(x)=(x2-kx+1)ln x在区间(0,1)和(1,+∞)内各恰有一个零点,分别记为x1和x2. (1)求实数k的取值范围; (2)记曲线y=f(x)在点(x1,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S,求的最大值; (3)若函数g(x)=f(x)-a有三个零点t1,t0,t2,其中t1<t0<t2,证明:t2-t1≤x2-x1. 学科网（北京）股份有限公司 $