第2单元 09 第12讲 对数与对数函数（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦对数与对数函数核心考点，通过16道题构建从概念运算到性质应用的逻辑体系，覆盖图像识别、比较大小等高频考法，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数概念与运算|1,7|定义互化、运算化简|从对数定义到运算性质的推导应用| |图像与性质|2,8,9|图像识别、定义域值域、奇偶性|函数性质（单调性、奇偶性）的判定与应用| |比较大小|3,11,16|不同底数对数大小比较|通过中间量或函数单调性构建大小关系| |实际应用|4|声强级公式应用|数学模型在现实问题中的解释与计算| |综合应用|5,10,12-15|不等式求解、复合函数、恒成立问题|概念、性质、运算的综合迁移与逻辑推理|

第12讲　对数与对数函数 1.已知a=log25,8=5b,则ab= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.2 D.5 2.函数f(x)=lo|x|+1的图象大致为 (　 ) A B C D 3.已知a=log721,b=log618,c=log515,则 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 4.[2025·广东广州二模] 声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).轻柔音乐的声强一般在[10-8,10-6]内,则轻柔音乐的声强级所在区间是 (　 ) A.[0,20] B.[20,40] C.[40,60] D.[60,80] 5.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)<0的解集是 (　 ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(0,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(1,+∞) 6.(多选题)[2025·河北保定二模] 若函数f(x)=lg+lg(2x2),则 (　 ) A.f(x)为减函数 B.若f(x)=1,则x=5 C.f(x)的值域为R D.若f(x)<2,则x<50 7.计算:+lg 5+log32×log49×lg 2=　　　　.  8.已知函数f(x)=ln(ax2+x+2),若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围为　　　　;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围为　　　　.  9.已知函数f(x)=ln . (1)证明:f(x)是奇函数; (2)若f(x)在区间(a,a+2)上单调递减,求a的取值范围. 10.[2026·福建莆田锦江中学月考] 函数f(x)=lo(x2+2ax+a2+1)在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是(　 ) A.a≥1 B.a≤-1 C.a≥2 D.a≤-2 11.[2026·辽宁丹东模拟] 设a=log0.34.3,b=log34.3,则 (　 ) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 12.(多选题)已知函数f(x)=lg,则下列说法正确的是 (　 ) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.当x>0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递减 C.函数f(x)的最小值是lg 2 D.函数f(x)的图象与直线x=2有四个交点 13.[2025·辽宁锦州模拟] 已知函数f(x)=log2(4x+1)-x-1,则f(2x-1)<f(x-3)的解集为　　　　.  14.已知函数f(x)=(log2x-2). (1)当x∈[2,4]时,求函数f(x)的取值范围; (2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立,求实数m的取值范围. 15.已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,若f(logm2)≤ln(m>0且m≠1),则m的取值范围为 (　 ) A.∪(1,2] B.∪(1,+∞) C.∪[2,+∞) D.(0,1)∪[2,+∞) 16.(多选题)若实数a,b,c满足2a+5=3b+2=5c+3,则a,b,c的大小关系可能是 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲　对数与对数函数 1.A　[解析] 由8=5b,得b=log58,所以ab=log25·log58=3log25·log52=3. 2.A　[解析] 当x>0时,f(x)=lox+1,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)的图象过点(1,1).故选A. 3.A　[解析] a=log721=1+log73,b=log618=1+log63,c=log515=1+log53,因为y=log3x为增函数,所以log37>log36>log35>0,所以log73<log63<log53,所以a<b<c.故选A. 4.C　[解析] 依题意可得10-8≤I≤10-6,所以104≤≤106,所以4≤lg≤6,所以40≤10lg≤60,即轻柔音乐的声强级所在区间是[40,60].故选C. 5.A　[解析] 由题可知f(x)的定义域为(-1+∞).当x≥0时, f(x)=log2(x+1)-x,令log2(x+1)-x<0,得log2(x+1)<x,即x+1<2x,画出y=x+1(x≥0)与y=2x(x≥0)的图象,如图所示,由图可知x+1<2x在x≥0时的解集为(1,+∞).当-1<x<0时, f(x)=log2(x+1)+x,由于y=log2(x+1)与y=x均在(-1,0)上单调递增,则f(x)在(-1,0)上单调递增,又f(0)=log21-0=0,所以当x∈(-1,0)时, f(x)<0.综上所述,不等式f(x)<0的解集是(-1,0)∪(1,+∞).故选A. 6.BC　[解析] 因为f(x)=lg+lg(2x2)=lg=lg(2x)=lg 2+lg x,x>0,所以f(x)为增函数,f(x)的值域为R,故选项A错误,选项C正确;由f(x)=1得lg(2x)=1,则2x=10,解得x=5,故选项B正确;由f(x)<2得lg(2x)<2,则0<2x<100,解得0<x<50,故选项D错误.故选BC. 7.7　[解析] +lg 5+log32×log49×lg 2=3×+lg 5+log32×lo32×lg 2=3×2+lg 5+log32×log23×lg 2=6+(lg 5+lg 2)=6+1=7. 8.　　[解析] 若f(x)的定义域为R,则ax2+x+2>0的解集为R,∴解得a>,∴a的取值范围为.若f(x)的值域为R,则a=0或解得a=0或0<a≤,即0≤a≤,∴a的取值范围为. 9.解:(1)证明:由题得f(x)= ln=ln,由>0,得f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称. 又因为f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x), 所以f(x)是奇函数. (2)f(x)=ln=ln, 当x∈(1,+∞)时,y=1+单调递减,又y=ln x在定义域上为增函数,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,同理可得f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减. 因为f(x)在区间(a,a+2)上单调递减,所以a+2≤-1或a≥1,解得a≤-3或a≥1,所以a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 10.D　[解析] 函数h(x)=lox是(0,+∞)上的减函数,欲使函数f(x)=lo(x2+2ax+a2+1)在区间[-1,2]上单调递增,则g(x)=x2+2ax+a2+1在区间[-1,2]上单调递减,且x2+2ax+a2+1>0在[-1,2]上恒成立,所以即解得a≤-2,所以a的取值范围是a≤-2.故选D. 11.D　[解析] 因为a=log0.34.3<log0.31=0,b=log34.3>log31=0,所以ab<0.a+b=log0.34.3+log34.3=+=lg 4.3=lg 4.3×=lg 4.3×,又lg 4.3>0,lg 0.9<0,lg 0.3<0,lg 3>0,所以a+b>0,所以ab<0<a+b.故选D. 12.AC　[解析] f(x)=lg的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;当x>0时,f(x)=lg=lg,由y=x+的性质可知其在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故B不正确;当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),所以f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(1)=lg 2,又f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故C正确;由函数的定义可得,函数f(x)的图象与直线x=2不可能有四个交点,故D不正确.故选AC. 13.　[解析] f(x)=log2(4x+1)-x-1=log2(4x+1)-log22x-1=log2-1=log2-1,函数f(x)的定义域为R,且满足f(-x)=log2-1=log2-1=f(x),则f(x)为偶函数.当x>0时,2x>1,则y=2x+在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(2x-1)<f(x-3)得f(|2x-1|)<f(|x-3|),可得|2x-1|<|x-3|,解得-2<x<,即f(2x-1)<f(x-3)的解集为. 14.解:(1)由题得f(x)=(2log4x-2),令t=log4x, 因为x∈[2,4],所以t∈, 所以y=(2t-2)=2t2-3t+1=2-, 又t∈,所以y∈,所以当x∈[2,4]时,函数f(x)的取值范围为. (2)由(1)及f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立,可得2t2-3t+1≥mt对任意t∈[1,2]恒成立, 所以m≤2t+-3对任意t∈[1,2]恒成立.由对勾函数的单调性可知,g(t)=2t+-3在[1,2]上单调递增,所以m≤g(1)=0, 故实数m的取值范围为(-∞,0]. 15.C　[解析] 易知f(x)=ln(e2x+1)-x的定义域为R,因为f(-x)=ln(e-2x+1)-(-x)=ln+x=ln(e2x+1)-2x+x=ln(e2x+1)-x=f(x),所以f(x)为偶函数,f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=ln=ln,令t=ex+,u=ex,u∈(0,+∞),则t=u+,且u=ex在R上单调递增.当x>0时,u>1,又t=u+在(1,+∞)上单调递增,所以t=ex+在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,0<u<1,又t=u+在(0,1)上单调递减,所以t=ex+在(-∞,0)上单调递减.又y=ln t在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=ln在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,又ln=ln=ln(e2+1)-1=f(1),f(x)为偶函数,所以f(logm2)≤ln等价于f(|logm2|)≤f(1),所以|logm2|≤1,故≤1,则|log2m|≥1,即log2m≤-1或log2m≥1,解得0<m≤或m≥2.综上,m的取值范围为∪[2,+∞).故选C. 16.ABD　[解析] 设2a+5=3b+2=5c+3=t>5,则a=log2(t-5),b=log3(t-2),c=log5(t-3).如图,作出函数y=log2(x-5),y=log3(x-2),y=log5(x-3)在(5,+∞)上的图象,则a,b,c的值分别是函数y=log2(x-5),y=log3(x-2),y=log5(x-3)在(5,+∞)上的图象与直线x=t(t>5)的交点的纵坐标.由图可知,随着t的变化,可能出现a>b>c,b>c>a,b>a>c.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $