重点强化练（17）随机变量及其分布（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦随机变量分布列、数字特征及概率模型，通过分层题型构建知识网络，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分布列与数字特征|选择1-3题|分布列性质、方差计算、次品数概率|从离散型随机变量概念到期望方差推导| |概率模型应用|选择4-6题、填空10-11题|条件概率、二项分布最值、全概率公式|实际情境中概率模型构建与计算| |正态分布与综合|选择7题、解答12-14题|正态分布图像、分布列与期望综合应用|从单一分布到多模型综合，体现数学语言表达|

重点强化练(十七)　随机变量及其分布 1.A　[解析] 根据题意,由分布列的性质可得解得b=.故选A. 2.D　[解析] 由题意知E(X)=1×+0×=,所以D(X)=×+×=.故选D. 3.C　[解析] 由题意知P(X=0)==,P(X=1)==,所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=.故选C. 4.D　[解析] 由题可得P(X≥1)=1-P(0<X<1)=0.6,P(1≤X<3)=0.9-0.4=0.5,故P(Y≤4|X≥1)=P(X<3|X≥1)===.故选D. 5.A　[解析] 抛掷一枚质地均匀的硬币8次,设正面朝上X次,则X~B,则正面朝上k次的概率为P(X=k)==,当k=4时,取得最大值.故选A. 6.C　[解析] 设事件A=“恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖”,事件B=“恰好中奖2次且均为甲奖券中奖”,则P(A)=0.4×0.4×0.5+×0.4×0.6×0.5=0.32,P(B)=0.42×0.5=0.08,又A∩B=B,所以所求概率为P(B|A)====0.25.故选C. 7.B　[解析] F(x)=P(|Y-2x|<1)=P(2x-1<Y<2x+1),因为Y=1-,所以F(x)=P,即F(x)=P(-4x<X<4-4x),则F(1-x)=P[-4(1-x)<X<4-4(1-x)]=P(4x-4<X<4x),因为X~N(0,1),所以根据对称性可知F(x)=F(1-x),所以函数F(x)的图象关于直线x=对称,排除A,C;当x=时,F=P(-2<X<2)=P(-2σ<X<2σ)≈0.954,排除D.故选B. 8.BD　[解析] 对于A,因为A={1,2},B={1,3},所以A∩B={1}≠⌀,故A错误;对于B,因为B∩C={1},所以P(BC)=,又P(B)=P(C)=,所以P(BC)=P(B)P(C),所以B与C相互独立,故B正确;对于C,因为A∩B∩C={1},所以P(ABC)=,又P(A)=P(B)=P(C)=,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),故C错误;对于D,因为P(A)=P(C)=,A∩C={1},所以P(AC)=,所以P(A|C)===,P(C|A)===,故D正确.故选BD. 9.ACD　[解析] 由题得,随机变量XA~B(5,PA),XB~B(5,PB).对于A,E(XA)=5PA,E(XB)=5PB,若E(XA)<E(XB),则PA<PB,故A正确;对于B,假设P(XA=XB=3)=P(XA∶XB=2∶3),则(1-PA)2(1-PB)2=(1-PA)3(1-PB)2,化简整理得PA=1-PA,即PA=,所以当且仅当PA=时,P(XA=XB=3)=P(XA∶XB=2∶3),故B错误;对于C,由题意得,D(XA)=5PA(1-PA),D(XB)=5PB(1-PB),所以D(XA)-D(XB)=5(PA-PB)[1-(PA+PB)],若0<PA<PB<,则PA-PB<0,1-(PA+PB)>0,所以D(XA)-D(XB)<0,即D(XA)<D(XB),故C正确;对于D,由题意得,P(XA=k)=(1-PA)5-k,若当且仅当k=2时,P(XA=k)(k=0,1,2,3,4,5)取得最大值,则解得<PA<,故D正确.故选ACD. 10.　[解析] 设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”,事件B1表示“从1号罐子中取出的球是红球”,事件B2表示“从1号罐子中取出的球是黑球”,则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=. 11.0.6　3.2　[解析] 设小桐一周跑11圈为事件A,第一次跑5圈为事件B,第二次跑5圈为事件C,则P(A)=P(B)P(|B)+P()P(C|)=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6.设小桐跑一周,运动量达标为事件D,则P(D)=P(A)+P()P(|)=0.6+0.5×0.4=0.8,所以X~B(4,0.8),所以E(X)=4×0.8=3.2. 12.解:(1)记“标有数字2和4的小球不相邻”为事件A, 则P(A)==, 所以标有数字2和4的小球不相邻的概率为. (2)X的所有可能取值为0,1,2, P(X=2)==, P(X=1)==, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)=0×+1×+2×=1. 13.解:(1)由题得Z的所有可能取值为0,1,2. P(Z=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.9×0.8=0.72, P(Z=1)=0.1×(1-0.2)+(1-0.1)×0.2=0.1×0.8+0.9×0.2=0.08+0.18=0.26, P(Z=2)=0.1×0.2=0.02, 所以Z的分布列为 Z 0 1 2 P 0.72 0.26 0.02 (2)对于甲机器,已知甲生产出的零件内径X~N(10,1),则μ1=10,σ1=1,P(X<8)=P(X<10-2×1)≈=0.023, P(X>10)==0.5, P(8≤X≤10)≈0.954÷2=0.477,则甲机器每天生产出的零件的平均利润约为1000×[0.023×(-2)+0.5×(-8)+0.477×20]=1000×(-0.046-4+9.54)=1000×5.494=5494(元). 对于乙机器,已知乙生产出的零件内径Y~N(8,4),则μ2=8,σ2=2, P(Y<8)==0.5, P(Y>10)=P(Y>8+1×2)≈=0.158 5, P(8≤Y≤10)≈0.683÷2=0.341 5,则乙机器每天生产出的零件的平均利润约为1000×[0.5×(-2)+0.158 5×(-8)+0.341 5×20]=1000×(-1-1.268+6.83)=1000×4.562=4562(元). 因为5494>4562,所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 14.解:(1)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)(i)设甲答对的题数为X1,则X1~B(2,p1);设乙答对的题数为X2,则X2~B(2,p2). 设A=“甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜”, 则P=P(A)=P(X1=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X1=2)P(X2=2)=p1(1-p1)+p2(1-p2)+=2p1(1-p1)+2p2(1-p2)+=-3+2p1+2p2. (ii)因为p1+p2=,所以P=P(A)=-3+p1p2. 因为0≤p1≤1,0≤p2≤1,且p1+p2=,所以≤p1≤1,则p1p2=p1=p1-,又≤p1≤1,所以p1p2∈. 设t=p1p2,则t∈, 所以P=-3t2+t=-3+,t∈, 由二次函数的性质可知,当t=时,P取得最大值, 故P的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十七)　随机变量及其分布 一、选择题:本题共7小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·福建部分优质高中4月模拟] 随机变量X的分布列如表格所示,其中2b=a+c,则b等于 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 X -1 0 1 P a b c A. B. C. D. 2.一批产品根据质量指标分为正品和次品,且次品率为,随机抽取1件产品,定义X=则随机变量X的方差D(X)= (　 ) A. B. C. D. 3.有10件产品,其中3件是次品,从中不放回地任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)= (　 ) A. B. C. D.1 4.某机场进行数据分析,发现航班延误小时数Y与航班起飞前雷暴雨发生时间X(单位:小时)存在一定关系,具体数据如下表: X 0<X<1 1≤X<2 2≤X<3 X≥3 Y 1 3 4 4.5 根据机场多年数据统计,X小于1,2,3的概率分别为0.4,0.7,0.9,若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨,则其延误时间不超过4小时的概率为 (　 ) A. B. C. D. 5.抛掷一枚质地均匀的硬币8次,若正面朝上k次的概率最大,则k= (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.[2025·江西红色十校联考] 某百货商场为促销举办抽奖活动,设有两种奖券:甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4,每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5,每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券,再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次,且其中有1张甲奖券中奖,则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为 (　 ) A.0.12 B.0.2 C.0.25 D.0.32 7.[2026·安徽皖南八校联考] 已知随机变量X服从正态分布N(0,1),且X+2Y=2,设函数F(x)=P(|Y-2x|<1),则F(x)的图象大致为 (　 ) A B C D 二、选择题:本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 8.[2026·南通9月调研] 设样本空间Ω={1,2,3,4},已知事件A={1,2},B={1,3},C={1,4},则 (　 ) A.A与B互斥 B.B与C相互独立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(A|C)=P(C|A) 9.[2025·浙江北斗星盟三模] 在足球训练课上,A,B两位同学进行“点球”比赛,规则为:比赛共进行5轮,在每轮比赛中,两人各罚点球一次,射中得1分,射不中得0分.已知A,B每次点球射中的概率分别为PA,PB,(PA,PB∈(0,1)),若5轮比赛后A,B的总得分分别为XA,XB,则下列结论正确的是 (　 ) A.若E(XA)<E(XB),则PA<PB B.P(XA=XB=3)≠P(XA∶XB=2∶3) C.若0<PA<PB<,则D(XA)<D(XB) D.若当且仅当k=2时,P(XA=k)(k=0,1,2,3,4,5)取得最大值,则<PA< 三、填空题:本题共2小题. 10.[2025·福州高级中学模拟] 现有两个罐子,1号罐子中装有3个红球、2个黑球,2号罐子中装有2个红球、3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子,再从2号罐子中取出一个球,则从2号罐子中取出的球是红球的概率为　　　　.  11.[2025·天津卷] 小桐在操场跑圈,一周2次,一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为　　　　;若一周至少跑11圈为运动量达标,小桐连续跑4周,记运动量达标的周数为X,则X的数学期望E(X)=　　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.[2026·济南模拟] 有四个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,将这些小球随机排成一列. (1)求标有数字2和4的小球不相邻的概率; (2)一个排列中,若两个相邻小球上的数字之和为5,则称这两个小球为一组“友好球”,设X表示排列中“友好球”的组数,求X的分布列和数学期望. 13.[2025·苏州三模] 现有甲、乙两台机器生产一批零件,甲生产出的零件内径X(单位:mm)服从正态分布N(10,1),乙生产出的零件内径Y(单位:mm)服从正态分布N(8,4). (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2,且两台机器工作状态相互独立.设一天内发生故障的机器台数为Z,求Z的分布列. (2)若生产出的零件内径小于8 mm,则每件亏损2元;若内径大于10 mm,则每件亏损8元;其余尺寸的零件,则每件获利20元.已知每天每台机器生产1000件零件,试比较哪一台机器每天生产出的零件的平均利润更大. 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954. 14.某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动. (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自A中学,从这7名中学生中选取3名中学生,求选取的中学生中来自A中学的人数X的分布列和数学期望. (2)在夏令营活动中,物理学科夏令营举行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两道题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为p1,p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响. (i)求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率P; (ii)当p1+p2=时,求P的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $