重点强化练（16）直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线综合应用，通过选择、填空、解答题系统覆盖位置关系、性质应用及创新题型，强化逻辑推理与数学运算。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆锥曲线|单选5题、多选2题、解答1题|位置关系（弦长、中点、切线）、性质应用（离心率、焦点）|圆锥曲线定义→标准方程→几何性质→直线综合应用| |圆与圆锥曲线|填空1题、解答1题|对称点、切线最值、面积问题|圆的性质→与圆锥曲线交汇→动态问题转化与计算|

重点强化练(十六)　直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线 一、选择题:本题共7小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.过点Q(1,4)且斜率为1的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,若|AB|=2,则p的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.7 2.已知椭圆C:+=1的一个焦点为F,过点F且垂直于椭圆C长轴的直线l与C的一个交点为A,则|AF|= (　 ) A. B. C.4 D.2 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±6x C.y=±x D.y=±x 4.[2025·内蒙古包头模拟] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P为C上的动点,点A(1,-1),则取得最小值时,直线PA的斜率为 (　 ) A. B. C.1 D.-1 5.[2025·天津河西区模拟] 若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则p的取值范围是 (　 ) A. B. C. D.(-∞,0)∪ 6.[2025·湖北襄阳三模] 过双曲线C:-y2=1(a>0)右支上的点P作C的切线l,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,N为切线l上的一点,且ON∥F1P,其中O为坐标原点.若|ON|=2,则双曲线的离心率为 (　 ) A. B. C.2 D. 7.[2025·黑龙江大庆模拟] 已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,1),B(-2,2),动点P满足=,点Q为抛物线C:y2=4x上一动点且Q在抛物线准线上的射影为R,则|PB|+|PQ|+|QR|的最小值为 (　 ) A. B.2 C.2+ D.2 二、选择题:本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 8.以下四个关于圆锥曲线的说法中,正确的是 (　 ) A.在平面直角坐标系内,到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线 B.设A,B为两个定点,若|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹为双曲线 C.方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为2 9.[2025·山东泰安模拟] 已知F1,F2分别为双曲线x2-y2=2的左、右焦点,P为双曲线右支上一点且满足|PF2|=|F1F2|,直线PF1与圆x2+y2=r2(r>0)有公共点,则下列说法正确的是 (　 ) A.双曲线的虚轴长为2 B.·=12 C.r的取值范围为 D.过点(,1)且与双曲线有一个公共点的直线有3条 三、填空题:本题共2小题. 10.若直线x+ky+3=0与双曲线-=1有且只有一个交点,则实数k的值是　　　　.  11.过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-3)2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.[2025·河北邯郸模拟] 已知双曲线C的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(,2),B(1,0)两点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点,且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为,求直线l的方程. 13.若椭圆C:+=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1),B(x2,y2)满足+=0,则称A,B为该椭圆的一个“共轭点对”,记作[A,B].已知椭圆C的离心率为,且椭圆C过点A(2,1). (1)求椭圆C的方程; (2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程; (3)设O为坐标原点,点P,Q在椭圆C上,PQ∥OA,(2)中的直线l与椭圆C交于B1,B2两点,且B1点的纵坐标大于0,设四点B1,P,B2,Q在椭圆C上逆时针排列,证明:四边形B1PB2Q的面积小于8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十六)　直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线 1.D　[解析] 由题得直线方程为y=x+3.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py+6p=0,令Δ=4p2-24p>0,则p>6,所以y1+y2=2p,y1·y2=6p.由|AB|=,得2=×,可得p=7.故选D. 2.B　[解析] 不妨设F(c,0),则c==1,由解得故|AF|=.故选B. 3.A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×(2×1+1)=6,=2.因为A,B两点均在双曲线C上,所以所以-=0,则===2×=6,即=,故双曲线C的渐近线方程是y=±x.故选A. 4.B　[解析] 由题知抛物线C的准线方程为y=-1.过点P作准线的垂线,垂足为H,如图.由抛物线的定义知|PF|=|PH|, 则==sin∠PAH.由图可知,当直线PA与抛物线相切且直线PA的斜率为负值时,取得最小值.设直线PA:y+1=k(x-1),由得x2-4kx+4k+4=0,所以Δ=16k2-16(k+1)=0,可得k2-k-1=0,解得k=或k=(舍).故选B. 5.C　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px上关于直线x+y-1=0对称的两点,则=2px1①,=2px2②,由①-②得-=2p(x1-x2),整理得=,又kAB=1,所以=1,所以y1+y2=2p.设AB的中点为M(x0,y0),则y0===p,又M在直线x+y-1=0上,所以x0=1-y0=1-p,则M(1-p,p).因为M在抛物线内部,所以-2px0<0,即p2-2p(1-p)<0,解得0<p<,所以p的取值范围是.故选C. 6.B　[解析] 设切线l与x轴的交点为B,如图所示.设P(x0,y0),x0>a,则过点P的切线方程为-yy0=1,令y=0,得x=,则B,所以|OB|=,|BF1|=+c=+,|PF1|== =x0+a.因为ON∥F1P,所以=,即=, 整理得a(a-2)(a2+x0)=0,因为a2+x0>0,a>0,所以a=2,则c==,所以e==.故选B. 7.B　[解析] 设P(x,y),则==,整理得(x+2)2+y2=2,所以点P的轨迹是以(-2,0)为圆心,半径r=的圆.由抛物线C:y2=4x,可得其准线方程为x=-1,因为抛物线上的点到焦点F(1,0)的距离与到准线x=-1的距离相等,所以|QR|=|QF|,所以|PB|+|PQ|+|QR|=|PA|+|PQ|+|QF|=(|PA|+|PQ|+|QF|),显然当且仅当A,P,Q,F四点共线(P,Q在A,F中间)时,|PA|+|PQ|+|QF|取得最小值,又|AF|==,所以|PB|+|PQ|+|QR|≥×=2,即|PB|+|PQ|+|QR|的最小值为2.故选B. 8.CD　[解析] 对于A,点(-1,2)在直线2x+3y-4=0上,所以到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是过点(-1,2)且与直线2x+3y-4=0垂直的直线,故A不正确;对于B,A,B为两个定点,只有当||PA|-|PB||=2>|AB|时,动点P的轨迹才是以A,B为焦点的双曲线,故B不正确;对于C,由2x2-5x+2=0,解得x1=∈(0,1),x2=2∈(1,+∞),所以两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,故C正确;对于D,若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则圆心到直线的距离d=>2,则m2+n2<4,所以+<+=1-<1,则点P(m,n)在椭圆的内部,所以过点P(m,n)的直线与椭圆+=1相交,所以直线与椭圆的交点个数为2,故D正确.故选CD. 9.BC　[解析] 对于A,双曲线的标准方程为-=1,则b2=2,所以b=,则双曲线的虚轴长为2,故A错误;对于B,设P(m,n),由题得F1(-2,0),F2(2,0),由|PF2|=|F1F2|,可得=4,两边平方可得m2+n2-4m-4=0①,因为点P在双曲线上,所以m2-n2=2②,由①②可得m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1(舍去),则n2=7,所以·=(-2-m,-n)·(2-m,-n)=m2-4+n2=9-4+7=12,故B正确;对于C,由B知,P的坐标为(3,)或(3,-),由对称性不妨取P(3,),则直线PF1的方程为y=(x+2),即x-y+=0,故圆心(0,0)到直线PF1的距离d==≤r,即r≥,故C正确;对于D,若直线的斜率不存在,显然满足题意,若直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-),联立直线方程与双曲线方程,消去y得(1-k2)x2+(2k2-2k)x-2k2+2k-3=0,当1-k2=0,即k=±1时,满足题意,当1-k2≠0时,由Δ=0,解得k=,综上可得,过点(,1)且与双曲线有一个公共点的直线有4条,故D错误.故选BC. 10.±　[解析] 易知直线x+ky+3=0恒过定点(-3,0),则直线不可能与双曲线相切.要满足有且只有一个交点,则直线必平行于双曲线的渐近线,因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以-=±,解得k=±. 11.4　[解析] 由题意知圆C:(x-3)2+y2=4的圆心为C(3,0),半径为2,如图,由题知PA⊥AC,PB⊥BC,则S四边形PACB=2×|PA|·|CA|=2|PA|,又|PA|==,所以当|PC|最小时,|PA|最小,则S四边形PACB最小.P在抛物线y2=4x上,设P(t2,2t),则|PC|= ==,当t2=1时,(t2-1)2+8取得最小值8,即|PC|取得最小值2,则|PA|=取得最小值2,故S四边形PACB=2|PA|的最小值为4. 12.解:(1)由题意知该双曲线的焦点在x轴上,设其方程为-=1(a>0,b>0).根据双曲线C过B(1,0)知a=1,又双曲线C过A(,2), 所以2-=1,解得b2=4,所以双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)直线l与双曲线C有且只有一个公共点,且l与坐标轴正半轴围成三角形,分两种情况: 当直线l与双曲线的一条渐近线y=-2x平行时,设直线l的方程为y=-2x+t,t>0, 此时三角形的面积S=××t=,可得t=,所以直线l的方程为2x+y-=0; 当直线l与双曲线相切时,直线l的斜率显然存在且小于0,设其方程为y=kx+m(k<0,且m>0), 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4=0, 所以k2≠4且Δ=-16(k2-m2-4)=0,即k2=m2+4,则三角形的面积S=m·=m×=,可得m=2, 所以k2=12+4=16,可得k=-4,所以直线l的方程为4x+y-2=0. 综上,直线l的方程为2x+y-=0或4x+y-2=0. 13.解:(1)因为椭圆C的离心率为,且椭圆C过点A(2,1), 所以 可得 故椭圆C的方程为+=1. (2)因为A(2,1),B(x2,y2), 所以+=0, 整理得x2+2y2=0,则点B所在直线l的方程为x+2y=0. (3)证明:由(2)知,直线l的方程为x+2y=0.由 解得或 因为B1点的纵坐标大于0, 所以B1(-2,1),B2(2,-1). 设P(xP,yP),Q(xQ,yQ), 因为P,Q两点均在椭圆C上, 所以 两式相减得+=0. 因为PQ∥OA,所以=, 则+ =0, 则+2×=0, 所以线段PQ的中点在直线l上, 所以线段PQ被直线l平分. 设点P到直线x+2y=0的距离为d, 则=2=2××|B1B2|×d.因为|B1B2|==2, 所以=2d. 设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为x+2y=m, 易知当l1与C相切时,d取得最大值. 由消去y并整理得2x2-2mx+m2-8=0, 令Δ=4m2-8(m2-8)=0, 解得m=±4. 当m=±4时,2x2±8x+8=0, 解得x=±2, 此时点P,Q必有一个和点A(2,1)重合,不符合条件, 所以直线l1与C不可能相切, 即点P到直线x+2y=0的距离小于平行直线x+2y=0和x+2y=4(或x+2y=-4)之间的距离=. 故<2×=8. 学科网（北京）股份有限公司 $