重点强化练（15）焦点弦（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线焦点弦问题，通过11道分层试题系统覆盖椭圆、抛物线、双曲线的焦点弦计算、性质应用及综合探究，以题载理构建知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|3题（1,3,10）|焦点弦长求解，涉及直线倾斜角、曲线方程|从曲线标准方程到焦点坐标，结合弦长公式推导| |性质应用|5题（2,4,5,7,9）|抛物线准线性质、垂直焦点弦、焦点三角形角度与离心率|从特殊性质（如抛物线定义）到一般关系（如离心率公式）| |综合探究|3题（6,8,11）|类比推理、多选项判断、取值范围问题|从单一曲线到跨曲线类比，从定性分析到定量计算|

重点强化练(十五)　焦点弦 1.A　[解析] 由题可知a2=2,b2=1,∴c==1,∴F(1,0),∴直线l的方程为y=(x-1).由消去y整理得7x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=|x1-x2|= = =.故选A. 2.C　[解析] 由抛物线的性质,可得|PF|=|PQ|,又∠PQF=30°,所以PF的倾斜角为120°,则|PF|+|PQ|=|PF|+|PF|=p=2,可得|PF|=.故选C. 3.D　[解析] 由2x2-y2=2,可得x2-=1,当直线l的斜率不存在时,|AB|===4,此时有1条直线符合要求;当直线l的斜率存在时,若A,B两点都在右支上,因为|AB|>=4,所以不符合要求;若A,B在左、右两支上,因为|AB|=4>2a=2,根据双曲线的对称性知,有2条直线符合要求.综上,这样的直线共有3条.故选D. 4.D　[解析] 该抛物线的焦点F的坐标为(1,0),因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直,所以两直线的斜率存在且不等于零.设AB的斜率为k,则CD的斜率为-,直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则|AB|=x1+x2+p=+2=,同理可得|CD|=4(k2+1),所以+=+==.故选D. 5.C　[解析] 如图, 由题意,设|AF1|=5m,则|AB|=12m,|BF1|=13m,设|AF2|=n,则|BF2|=12m-n,因为A,B都在双曲线上,所以|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,即5m-n=13m-(12m-n)=2a,解得m=,n=,又|F1F2|=2c== =a,所以c=a,则离心率e==.故选C. 6.B　[解析] 由题意可知F2(1,0),且当直线l的斜率为0时,|AF2|+|BF2|=2a=4,|AF2||BF2|=(a+c)(a-c)=a2-c2=b2=3,则λ==;当直线l的斜率不为0时,可设直线l的方程为x=my+1,由消去x整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,由得x1+x2=m(y1+y2)+2=-+2=,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=--+1=-,又|AF2|=2-x1,|BF2|=2-x2,|AF2|+|BF2|=λ|AF2||BF2|,所以4-(x1+x2)=λ,即4-=λ,则λ=.故选B. 7.A　[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,点K(-1,0).由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,将其代入抛物线方程,得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则Δ=(2k2+4)2-4k2×k2=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1,线段BF的中点坐标为,垂直平分线的斜率为-.线段BF的垂直平分线方程为y-=-,即y-=-,代入K(-1,0)的坐标,化简得-k2(x2-1)=x2+3,则x2=,结合x1+x2=,x1x2=1,得+=,则k4-6k2-3=0,可得k2=3+2,则x1+x2==-2,则|AB|=x1+x2+p=-2+2=.故选A. 8.ABD　[解析] 对于A,由题可知|F1F2|=2=10,可得a=1,又b=2,所以双曲线E的渐近线方程为y=±x=±2x,故A正确;对于B,因为点P在右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=2①,因为∠F1PF2=,所以+==100②,由①②可得|PF1|=8,|PF2|=6,所以3|PF1|=4|PF2|,故B正确;对于C,若点P在第一象限,则直线l的斜率为tan∠PF1F2===,若点P在第四象限,由对称性可知,直线l的斜率为-,综上所述,直线l的斜率为±,故C错误;对于D,设P(x,y),则x≥1,且x2-=1,可得y2=24x2-24,所以|PF1|=== =5x+1=8,解得x=,则y2=24×-24=,可得y=±,所以P,故D正确.故选ABD. 9.ABD　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2). 对于A,由抛物线定义知,|AF|=x1+1,线段AF中点的横坐标x0==|AF|,即线段AF的中点到y轴的距离是|AF|,所以以线段AF为直径的圆与y轴相切,故A正确;对于B,由题意知,F(1,0),显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+1,易知P(-1,y1),Q(-1,y2),由得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,因为kPF==-,kQF==-,所以kPFkQF==-1,所以PF⊥QF,故B正确;对于C,因为|PQ|2=|y1-y2|2=(y1+y2)2-4y1y2=16m2+16,|AF||BF|=|x1+1||x2+1|=(my1+2)·(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2+4,所以|PQ|2=4|AF||BF|,故C错误;对于D,当=2时,1-x1=2(x2-1),即x1+2x2=3,又x1x2=·=1,所以x1=2,x2=,所以|AB|=x1+x2+p=+2=,故D正确.故选ABD. 10.8　[解析] 由x2-y2=4,得a=b=2,c=2,则F(2,0),直线AB的倾斜角θ=30°. 方法一:直线AB的斜率k=,则直线AB的方程为x=y+2.由消去x得y2+2y+2=0,由根与系数的关系知则|AB|= |y1-y2|=2=2=8. 方法二:|AB|===8. 11.　[解析] 由题意可知F1(-5,0),F2(5,0),A(5,yA),将点A坐标代入双曲线方程得=b2,则yA=±,又△AF1F2的面积为,所以=×2c×|yA|,得得a2=16,b2=9,所以双曲线方程为-=1.设P(x0,y0),则-=1(x0≥4),则|PF1|===x0+4,同理|PF2|=x0-4.因为x0≥4,所以-==∈. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十五)　焦点弦 一、选择题:本题共7小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·湖南邵阳一联] 经过椭圆+y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则|AB|= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.[2025·北京海淀区模拟] 设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上的一点P作l的垂线,垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= (　 ) A. B. C. D. 3.[2025·河南南阳模拟] 过双曲线2x2-y2=2的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有 (　 ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4.已知抛物线y2=4x的焦点是F,直线AB,CD均过焦点F且互相垂直,则+的值是 (　 ) A. B. C. D. 5.已知双曲线方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线的右支相交于A,B两点,且∠F1AB=,tan∠ABF1=,则双曲线的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2025·吉林长春一模] 抛物线有一个性质:“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB满足|AF|+|BF|=|AF||BF|.”那么类比抛物线,对于椭圆+=1,若存在实数λ,使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2||BF2|成立,则实数λ= (　 ) A. B. C. D. 7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),其准线与x轴交于点K,若线段BF的垂直平分线恰好过K,则|AB|= (　 ) A. B. C. D.2 二、选择题:本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 8.[2025·河南信阳一模] 已知双曲线E:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=10,过F1的直线l与双曲线E的右支交于点P,若∠F1PF2=,则 (　 ) A.双曲线E的渐近线方程为y=±2x B.3|PF1|=4|PF2| C.直线l的斜率为± D.点P的坐标为或 9.抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,过A,B分别作C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,则下列说法正确的是 (　 ) A.以线段AF为直径的圆与y轴相切 B.PF⊥QF C.|PQ|2=|AF||BF| D.当=2时,|AB|= 三、填空题:本题共2小题. 10.[2025·湖南长沙一模] 过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为30°的直线,交双曲线于A,B两点,则|AB|=　　　　.  11.[2026·福建晋江期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为10,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上且AF2⊥x轴,△AF1F2的面积为,点P为双曲线右支上的任意一点,则-的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $