重点强化练（14）焦点三角形与离心率（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线焦点三角形与离心率的深度融合，通过11道分层题目构建从定义到综合应用的逻辑训练链，强化几何直观与代数推理的转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆焦点三角形|3题（第3/5/7题）|角度范围/内切圆/动态四边形|从定义出发，结合三角形性质推导离心率取值范围，渗透数形结合思想| |双曲线焦点三角形|6题（第1/2/4/6/9/10题）|渐近线/面积计算/等边三角形/内切圆轨迹|以定义为基础，通过焦点三角形边角关系、面积公式建立a,b,c的代数联系| |离心率综合应用|2题（第8/11题）|多选型判断/轨迹方程推导|整合椭圆与双曲线核心性质，训练分类讨论与模型构建能力，体现数学表达的严谨性|

重点强化练(十四)　焦点三角形与离心率 一、选择题:本题共7小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.若双曲线-=1(a>b>0)一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的离心率e为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C. D. 2.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若C上一点A到y轴的距离为,则△AF1F2的面积为 (　 ) A.4 B.2 C.2 D. 3.[2025·北京石景山区期末] 已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,满足∠F1MF2=的点M总在椭圆C的内部,则椭圆C的离心率的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B. C. D. 4.已知F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,过点F1与x轴垂直的直线与双曲线C交于A,B两点,若△ABF2是等边三角形,则双曲线C的离心率为 (　 ) A. B.+1 C. D. 5.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P在椭圆C上,若△PF1F2的内切圆的半径为,则|PO|=(　 ) A.2 B. C. D. 6.[2026·江苏如皋调研] 双曲线C:-=1的右支上一点P在第一象限,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,M为△PF1F2的内心,若内切圆M的半径为1,则直线PF1的斜率为 (　 ) A. B. C. D. 7.[2025·山东泰安模拟] 已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点,M,N是椭圆C上的点,O为坐标原点.若四边形OPMN满足=+,∠PON∈,则椭圆C的离心率的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 8.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=2,则下列说法中正确的是 (　 ) A.|PF1|=5,|PF2|=3 B.离心率为 C.△PF1F2的面积为12 D.△PF1F2的外接圆面积为 9.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,若∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则下列说法正确的是 (　 ) A.若S=4,则|PF2|=2 B.若θ=60°,则S=4 C.若△PF1F2为锐角三角形,则S∈(4,8) D.若△PF1F2的重心为G,随着点P的运动,点G的轨迹方程为9x2-=1 三、填空题:本题共2小题. 10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且满足PF1⊥F1F2,∠F1PF2=60°,则双曲线的离心率为　　　　.  11.[2026·湖南长沙雅礼中学月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,P是双曲线C的上支上的任意一点(不在y轴上),PF2与x轴交于点A,△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B,若|AB|>2b,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十四)　焦点三角形与离心率 1.C　[解析] 由双曲线方程可知,该双曲线的渐近线方程为y=±x,因为双曲线一条渐近线的倾斜角为30°,a>b>0,所以=tan 30°=,即a=b,所以a2=3b2,即a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,所以e2=,所以e=.故选C. 2.B　[解析] 由题意知,点A的横坐标为xA=±,代入x2-=1得yA=±,又|F1F2|=2=4,所以△AF1F2的面积为×4×=2.故选B. 3.C　[解析] 由∠F1MF2=,可知MF1⊥MF2,故点M在以F1F2为直径的圆上,则圆在椭圆内部,所以c<b,所以e2==<,所以e∈.故选C. 4.D　[解析] 因为△ABF2是等边三角形,所以|F1F2|=|BF1|,因为|AB|=,所以|BF1|=|AB|=,所以·=2c,即c2-2ac-a2=0,所以·e2-2e-=0,即(e-)(e+1)=0,所以e=.故选D. 5.C　[解析] 由+=1得a2=4,b2=3,则a=2,c==1,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2=6.设P(x0,y0),△PF1F2的内切圆的半径为r,则=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=|F1F2|·|y0|,所以|y0|=·r=×=,则x0=0,所以|PO|=.故选C. 6.D　[解析] 由-=1可得a=3,F1(-5,0),F2(5,0),设圆M与△PF1F2三边PF1,F1F2,PF2分别相切于点R,N,Q,则|PF1|-|PF2|=|PR|+|RF1|-|QF2|-|PQ|=|RF1|-|QF2|=|NF1|-|NF2|=2a=6,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=10,所以|NF1|=8,|NF2|=2,所以|ON|=|OF2|-|NF2|=3,所以N(3,0).因为MN⊥x轴,所以M(3,1),则tan∠MF1N==,所以直线PF1的斜率=tan 2∠MF1N===.故选D. 7.B　[解析] 由题意知P(-a,0),由=+可知四边形OPMN为平行四边形,则M,N关于y轴对称,设M,N(不妨设t>0),将点N的坐标代入椭圆方程可得t=b,因为∠PON∈,设α为直线ON的倾斜角,则α∈,所以tan α===∈,所以∈,所以e==∈,所以椭圆C的离心率的取值范围为.故选B. 8.ABD　[解析] 由题可得,a=4,b=2,c==2,则|PF1|+|PF2|=2a=8,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,故A正确;离心率e==,故B正确;因为=25=+,所以PF2⊥F1F2,所以=×3×4=6,故C错误;因为△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的外接圆直径为线段PF1,则该圆的半径为,面积为,故D正确.故选ABD. 9.BD　[解析] 焦点△PF1F2的面积公式S==.对于A,由x2-=1,得a2=1,b2=4,则a=1,b=2,c=,当S=4时,θ=90°,由可得|PF2|=2,故A不正确;对于B,当θ=60°时,S=4,故B正确;对于C,当∠F1PF2=90°时,S=4,当∠PF2F1=90°时,S=4,因为△PF1F2为锐角三角形,所以S∈(4,4),故C不正确;对于D,设G(x,y),P(x0,y0)(x0>1),则-=1(x0>1),由题设知F1(-,0),F2(,0),则所以点G的轨迹方程为9x2-=1,故D正确.故选BD. 10.　[解析] 设F1(-c,0),F2(c,0),由题意可得xP=-c,代入双曲线方程,得yP=±b=±.在Rt△F1PF2中,tan∠F1PF2=tan 60°==,所以=,即c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-=0,可得e=. 11.　[解析] 设该内切圆在PF1,PA上的切点分别为D,E,由切线长定理可得|AB|=|AE|,|PD|=|PE|,|F1B|=|F1D|,又|PF2|-|PF1|=2a,|AF1|=|AF2|,所以|PA|+|AF1|-|PF1|=2a,所以|AE|+|PE|+|AB|+|BF1|-|PF1|=2a,所以|AB|+|PD|+|AB|+|F1D|-|PF1|=2a,所以2|AB|=2a,所以|AB|=a,因为|AB|>2b,所以a>2b,所以<,又>0,所以e===∈. 学科网（北京）股份有限公司 $