重点强化练（9）等差数列与等比数列（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦等差与等比数列核心素养，通过基础计算、性质应用及实际建模，系统覆盖定义、通项、求和及综合判定，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|3题|等差等比基本量运算|从定义出发，通过通项公式、求和公式建立方程| |性质应用|4题|中项性质、前n项和比、前n项积最值|结合等差中项、等比中项及求和公式推导性质| |综合判定|3题|数列类型判定、单调性及最值分析|从递推关系到数列属性，构建概念间逻辑链条| |实际应用|1题|增长率问题建模|将实际问题抽象为等比数列求和，体现数学语言表达| |递推与证明|2题|对数转化求通项、不等式证明|通过转化思想连接等差与等比，培养推理能力|

重点强化练(九)　等差数列与等比数列 1.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 解得所以S5=5a1+d=25.故选C. 2.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,则S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q(1-q3)=a1q(1-q)(1+q+q2)=42,∴q(1-q)=,即4q2-4q+1=0,则q=,∴a1=168×=96,∴a6=a1·q5=96×=3,故选C. 3.D　[解析] 设等比数列的公比为q,由等比数列的通项公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.当q=1时,==2;当q=-2时,===q4+1=17.所以的值为2或17.故选D. 4.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为2a3+a9=12且2S3,S6,S9成等差数列,所以2a1q2+a1q8=12,3S6=S9+2S3,所以2S6-2S3=S9-S6,所以2(a4+a5+a6)=a7+a8+a9,可得q3=2,所以2a1q2+a1q8=a1q5+2a1q5=3a6=12,所以a6=4.故选C. 5.D　[解析] 由题意知P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,即P,B,C共线,则由=a3+a16,可得a3+a16=1,故S18===9.故选D. 6.C　[解析] 设该公司从第1年到第10年(2024年到2033年)的销售额(单位:万元)分别为a1,a2,…,a10,则当n∈N*,n≤9时,an+1=1.3an-3,即an+1-10=1.3(an-10),因此数列{an-10}是首项为90,公比为1.3的等比数列,所以an-10=90×1.3n-1,即an=90×1.3n-1+10,则a1+a2+…+a10=+10×10≈300×(13.8-1)+100=3940,所以该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元.故选C. 7.B　[解析] ∵Sn=(2Sn+1)Sn+1,∴Sn=Sn+1+2Sn·Sn+1,即-=2,又a1=1,∴==1,∴是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,∴Sn=,∴S11=,a5=S5-S4=-=-,∴=-×21=-.故选B. 8.BD　[解析] 因为Sn=3n+r,所以an=当r=3时,a1=a2=6,所以数列{an}不是递增数列;若数列{an}是等比数列,则3+r=2,所以r=-1;因为a2n=2·32n-1,所以数列{a2n}一定是等比数列;当r≠-1时,数列{a2n-1}不是等比数列.故选BD. 9.AD　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,q≠0.由题可知 化简得(3q-1)(q-3)=0,解得q=或q=3,所以a1=3,q=或a1=,q=3.对于选项A,a2=a1q=1,故A正确;对于选项B,当时,数列{an}为递减数列,当时,数列{an}为递增数列,故B错误;对于选项C,若a1<a4,则q3>1,所以q>1,所以则an=×3n-1=3n-2,所以Tn=3-1×30×31×…×3n-2=,当n=1或n=2时,Tn取得最小值,最小值为,故C错误;对于选项D,若a1>a4,则q3<1,所以q<1,所以则an=3×=32-n,所以Sn==,因为n∈N*,所以0<32-n≤3,所以3≤Sn<,故D正确.故选AD. 10.　[解析] 因为=,所以设Sn=kn(5n+2),Tn=kn(n+3),k≠0,则== =. 11.8　[解析] 由a1=4,q=可得,an=4·=,则Tn=a1a2a3…an-1an=××…×= =,所以当n=2或3时,Tn取得最大值8. 12.解:(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9, 得log2(9-1)=log2(3-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)·×1=n,可得an=2n+1,故数列{an}的通项公式为an=2n+1. (2)证明:因为==,所以++…+=+++…+==1-<1,即++…+<1. 13.解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d. 由S3=a4,得1+2+(1+d)=2q,即4+d=2q, 又a3+a5=2+a4,所以1+d+1+2d=2+2q,即3d=2q,解得d=2,q=3,对于k∈N*,a2k-1=1+(k-1)·2=2k-1,a2k=2×3k-1. 故an=k∈N*. (2)S2k=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k)=[1+3+…+(2k-1)]+2(1+3+32+…+3k-1)=+=k2-1+3k. (3)在数列{an}中,仅存在连续的三项a1,a2,a3,按原来的顺序成等差数列,此时正整数m的值为1.理由如下: 若am=a2k,则由am+am+2=2am+1,得2×3k-1+2×3k=2(2k+1), 化简得4·3k-1=2k+1,此等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立. 若am=a2k-1,则由am+am+2=2am+1,得(2k-1)+(2k+1)=2×2×3k-1,化简得k=3k-1. 令Tk=(k∈N*),则Tk+1-Tk=-=<0, 因此1=T1>T2>T3>…,故只有T1=1,此时k=1,m=2×1-1=1. 综上,在数列{an}中,仅存在连续的三项a1,a2,a3,按原来的顺序成等差数列,此时正整数m的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(九)　等差数列与等比数列 一、选择题:本题共7小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,a5+a6=20,则S5= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.16 C.25 D.36 2.[2025·江苏南京一模] 已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　 ) A.7 B.6 C.3 D.2 3.[2025·辽宁三校联考] 在等比数列{an}中,记其前n项和为Sn,已知a3=-a2+2a1,则的值为 (　 ) A.2 B.17 C.2或8 D.2或17 4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若2a3+a9=12且2S3,S6,S9成等差数列,则 (　 ) A.a5=4 B.a5=6 C.a6=4 D.a6=6 5.[2025·德州二中质检] 已知点P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,Sn是等差数列{an}的前n项和,若向量=a3+a16,则S18= (　 ) A.1 B.100 C.50 D.9 6.某农村合作社引进先进技术提高某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第1年(2024年)该公司该产品的销售额为100万元,则按照此计划,该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为 (　 ) (参考数据:1.39≈10.6,1.310≈13.8,1.311≈17.9) A.964万元 B.2980万元 C.3940万元 D.5170万元 7.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,Sn=(2Sn+1)Sn+1,则= (　 ) A.- B.- C.-2 D.- 二、选择题:本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n+r,则下列说法正确的是 (　 ) A.当r=3时,数列{an}是递增数列 B.若数列{an}是等比数列,则r=-1 C.数列{a2n-1}一定是等比数列 D.数列{a2n}一定是等比数列 9.记Sn,Tn分别为等比数列{an}的前n项和与前n项积.已知S3=,T3=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.a2=1 B.数列{an}为递增数列 C.若a1<a4,则Tn取得最小值时n=3 D.若a1>a4,则3≤Sn< 三、填空题:本题共2小题. 10.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则的值为　　　　.  11.[2025·辽宁沈阳一模] 已知等比数列{an}的前n项积为Tn,即Tn=a1a2a3…an-1an,若a1=4,{an}的公比q=,则Tn的最大值为　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:++…+<1. 13.已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an}的前n项和为Sn,且满足S3=a4,a3+a5=2+a4. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{an}的前2k项和S2k. (3)在数列{an}中,是否存在连续的三项am,am+1,am+2,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数m的值;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $