重点强化练（4）利用导数研究函数的图象和性质（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦导数研究函数性质，以题构建从基础到综合的逻辑链条，覆盖单调性、极值、最值及综合应用，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3题（1-3题）|直接判断单调区间、极值点，导函数图象分析|从导数与单调性关系，到极值点判定，构建“导数→单调→极值”推理链| |综合应用|4题（4-7题）|实际问题最值、双变量等式、比较大小|结合建模思想，将几何（棱锥体积）、代数（双变量）问题转化为导数求最值，发展数学应用意识| |创新拓展|4题（8-11题）|零点综合、函数性质判断、参数范围|融合函数零点、对称性、不等式证明，深化导数工具性，培养逻辑推理与抽象能力|

重点强化练(四)　利用导数研究函数的图象和性质 一、选择题:本题共7小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.函数f(x)=x-5ln x的单调递增区间为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-∞,5) B.(5,+∞) C.(0,5) D.(0,+∞) 2.[2025·河南开封模拟] 若函数f(x)=x3-ax2+1在x=-4处取得极大值,则实数a= (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则 (　 ) A.-3是函数y=f(x)的一个零点 B.-1是函数y=f(x)的极小值点 C.-2是函数y=f(x)的极大值点 D.函数y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 4.已知正四棱锥的侧棱长为3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (　 ) A.1 B. C.2 D.3 5.[2025·苏北七市二调] 若函数f(x)=有最大值,则k的最大值为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2026·重庆八中月考] 若a=,b=,c=,则 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 7.若存在两个正实数x,y使得等式x(1+ln x)=xln y-ay成立(其中ln x,ln y是以e为底的对数),则实数a的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 8.已知函数f(x)=(x+1)2(x-2),则 (　 ) A.f(x)有三个零点 B.x=1是f(x)的极小值点 C.f(x)的图象关于点(0,-2)中心对称 D.当0<x<1时,f(x)>f(x2) 9.已知a>0,记函数f(x)=ex+x-a与g(x)=ln x+x-a的零点分别为x1,x2,则 (　 ) A.x1+x2=0 B.x1x2≥- C.当a∈(1,2)时,x1ln x2+x2ln x1>0 D.+>2 三、填空题:本题共2小题. 10.[2025·江苏苏州三模] 若f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,则实数a的取值范围是　　　　.  11.[2025·十堰5月模拟] 若函数f(x)=ln x+ax在定义域(0,+∞)上的最大值为b,则当ab取得最小值时,a=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(四)　利用导数研究函数的图象和性质 1.B　[解析] 由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1-=,令f'(x)>0,得>0,解得x>5,所以函数f(x)=x-5ln x的单调递增区间为(5,+∞).故选B. 2.A　[解析] 由题得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),因为函数f(x)在x=-4处取得极大值,所以f'(-4)=4(4+2a)=0,解得a=-2.当a=-2时,f'(x)=x(x+4).令f'(x)>0,得x>0或x<-4;令f'(x)<0,得-4<x<0.所以函数f(x)在(-∞,-4),(0,+∞)上单调递增,在(-4,0)上单调递减,所以f(x)在x=-4处取得极大值,满足题意.故选A. 3.D　[解析] 根据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,则-3是函数y=f(x)的极值点,但-3不一定是函数y=f(x)的零点.因为函数y=f(x)在(-3,-1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点.故选D. 4.D　[解析] 设正四棱锥的底面边长为a(a>0),则正四棱锥的高h==,由h>0,得0<a<3,所以正四棱锥的体积V=a2h=.设f(a)=27a4-a6,a∈(0,3),则f'(a)=108a3-3a5=3a3(6+a)(6-a).当0<a<6时,f'(a)>0,所以f(a)在(0,6)上单调递增;当6<a<3时,f'(a)<0,所以f(a)在(6,3)上单调递减.所以当a=6时,f(a)取得极大值,即最大值,此时正四棱锥的体积最大,它的高h==3. 5.C　[解析] 当x≥2时,f(x)=,则f'(x)=.当2≤x<e时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.则函数f(x)在x=e处取得极大值,且极大值为f(e)=.因为函数f(x)=有最大值,所以解得0≤k≤,所以实数k的最大值为.故选C. 6.B　[解析] 因为a==>0,b=>0,c=>0,所以ln a=,ln b=,ln c=.设函数f(x)=,则f'(x)=.当x∈[e,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,所以f(4)<f(3)<f(e),所以ln a<ln c<ln b,所以a<c<b.故选B. 7.C　[解析] x(1+ln x)=xln y-ay可化为a=--ln.令t=,则t>0.令f(t)=-t-tln t,则f'(t)=-2-ln t,令f'(t)=0,可得t=.当0<t<时,f'(t)>0,当t>时,f'(t)<0.所以函数f(t)在上单调递增,在上单调递减,则f(t)≤f=-+=,所以实数a的取值范围为.故选C. 8.BC　[解析] 对于A,令f(x)=(x+1)2(x-2)=0,解得x=-1或x=2,所以f(x)有两个零点,故A错误;对于B,由题得f'(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1)2=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,解得x=-1或x=1,当x<-1或x>1时,f'(x)>0,即f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,当-1<x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(-1,1)上单调递减,所以x=1是f(x)的极小值点,故B正确;对于C,因为f(-x)+f(x)=(-x+1)2(-x-2)+(x+1)2(x-2)=-4,所以f(x)的图象关于点(0,-2)中心对称,故C正确;对于D,当x∈(-1,1)时,f(x)单调递减,则当0<x<1时,f(x)单调递减,又当0<x<1时,x>x2,所以f(x)<f(x2),故D错误.故选BC. 9.BD　[解析] 因为x1,x2分别是函数f(x),g(x)的零点,所以+x1-a=0,ln x2+x2-a=0,所以+ln x2-a=0,所以f(x1)=f(ln x2),易知f(x)为增函数,所以x1=ln x2,所以x1+x2=x2+ln x2=a>0,故A错误;因为x1=ln x2,所以x1x2=x2ln x2,令h(x)=xln x,x>0,则h'(x)=ln x+1,令h'(x)=ln x+1<0,得0<x<,令h'(x)=ln x+1>0,得x>,则h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以h(x)≥h=-,所以x1x2≥-,故B正确;当a∈(1,2)时,由g(1)=1-a<0知ln x2>0,又x1=ln x2<x2,所以x1ln x2+x2ln x1<x2ln x2+x2ln x1=x2ln(x1x2)<x2ln=2x2ln<0,故C错误;由基本不等式得+>2·=2=2aa,结合B选项得aa=ealn a≥,所以+>2,故D正确.故选BD. 10.(-2,-1)　[解析] 由f(x)=x(ln x+a),可得f'(x)=ln x+a+1,因为f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,所以f'(x)=0在(1,e)上有解,即存在x∈(1,e),使得a=-ln x-1,因为y=-ln x-1在(1,e)上单调递减,所以-2<a<-1,所以实数a的取值范围是(-2,-1). 11.-　[解析] 由题得f'(x)=+a.当a≥0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在定义域上单调递增,则f(x)不存在最大值.当a<0时,由f'(x)>0得0<x<-,由f'(x)<0得x>-,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)在x=-处取得最大值,即f(x)max=f=ln-1=b,所以ab=aln-a(a<0).令g(x)=xln-x(x<0),则g'(x)=ln-2.令g'(x)>0,得-<x<0;令g'(x)<0,得x<-.所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以g(x)在x=-处取得最小值.综上可得,a=-. 学科网（北京）股份有限公司 $