精品解析：北京市八一学校教育集团2025-2026学年第二学期期中练习高一数学

北京市八一学校教育集团2025-2026学年第二学期期中练习 高一数学 2026.04 本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，且为第三象限的角，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ）. A. B. C. 1 D. 3 6. 已知角是的内角，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数．若，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）. A. B. C. D. 9. 在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合： ① ② ③ ④ 其中所有“好集合”的序号是（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. __________． 12. 若等腰三角形的底边长为，则______. 13. 设函数，已知，则的最小值为________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________. 15. 已知函数（其中，，）的图象如图1所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程.则质点运动的圆形轨道的半径为________米；图2中，质点首次出现在直线上的时刻________秒. 16. 已知函数，其中，且.给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，； ③，使得在内至少有2026个零点： ④，，都有. 其中，所有正确结论的序号是________. 三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 平面向量，． （1）若，求； （2）若，求与所成夹角的余弦值． 18. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调递增区间. 19. 已知函数，其中.请从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，使为确定的函数，并完成下列两个问题. （1）求的值； （2）若，都有恒成立，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分 20. 已知由维向量组成的集合，.对于任意的， ，记， （1）当时，若，，求，； （2）当时，若集合，且 ，为奇数；对任意两个不同的元素，都有 ，记集合中的元素个数为，求的最大值； （3），证明： ，并说明等号成立的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校教育集团2025-2026学年第二学期期中练习 高一数学 2026.04 本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，且为第三象限的角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，且为第三象限的角，则. 2. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，即可判断. 【详解】A.是偶函数，周期为，故A正确； B.是偶函数，周期为，故B错误； C.是奇函数，周期为，故C错误； D.是奇函数，周期为，故D错误. 故选：A 3. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据计算对称中心横坐标满足，解得答案. 【详解】函数对称中心横坐标满足：， 即，当时，对称中心为，A选项正确； 当时，对称中心为，当时，对称中心为，B,C,D选项不正确； 故选：A. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度， 可得. 故选C． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 5. 已知，则的值为（ ）. A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由题设. 6. 已知角是的内角，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由角是的内角，即， 若，即，则，充分性成立， 若，则，必要性也成立， 所以“”是“”的充要条件. 7. 已知函数．若，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期性和对称性求解. 【详解】因为，则该函数的最小正周期为， 由可得， 所以，函数的对称轴方程为， 因为，则或， 故选：B. 8. 定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错. 【详解】若，则， 所以，故选项A符合条件； ，故选项B不符合条件； ，即，又，∴，故选项C不符合条件. ，即，又，∴，故选项D不符合条件； 故选：A. 9. 在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系， 则，直线所在直线方程为， 设，，则，， ， 当时，，当时，， 故其取值范围为， 故选：B. 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合： ① ② ③ ④ 其中所有“好集合”的序号是（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由题目给出的新定义利用向量的数量积进行转换为两直线垂直，即验证一个函数图像上是否一定存在两个点使得他们与原点的连线垂直，对于①④只需取特殊点即可排除，②③需要数形结合来判断. 【详解】设，则，，∵，∴，即， 即集合是“好集合”等价于在集合中任意一点，一定存在另一个点使得， 也可以理解为过原点的任意两条相互垂直的直线一定与集合中的曲线相交. ①当时，∵，∴，若，则，则无解，∴，故①不是“好集合”. ②如图所示： 是一个单增函数，且是一个凹函数，∴函数任意一个点，都有一个点使得.故②是“好集合”. ③如图： 由三角函数图像可知，过原点的任何直线都与相交.故③是“好集合”. ④当时，∵，∴，若，则无定义，∴，故④不是“好集合”. 综上所述：②③是“好集合”. 故选：A 【点睛】思路点睛：对题意中的“好集合”利用向量数量积进行分析理解，得到垂直时关键.然后可以借助特殊值排除法，取个不满足的特殊值排除①和④即可得到答案. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的和角公式即可求值． 【详解】由正弦函数的和角公式逆运算可得 【点睛】本题考查了正弦函数和角公式的简单应用，属于基础题． 12. 若等腰三角形的底边长为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用平面向量数量积的性质可求得的值. 【详解】取的中点，连接，则，则， 所以，. 故答案为：. 13. 设函数，已知，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得 ， 所以，解得， 由，得 ， 所以，解得， 所以， 当或时，取得最小值． 14. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或）， 所以. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则. 15. 已知函数（其中，，）的图象如图1所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程.则质点运动的圆形轨道的半径为________米；图2中，质点首次出现在直线上的时刻________秒. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】先由函数最大值确定振幅，即轨道半径；再代入与求出 ，得到函数，最后令，解得首次正根，即质点首次到达直线的时刻． 【详解】由图1可以看出，函数的最大值为2，所以振幅，即质点运动的圆形轨道的半径为2米， 当时，，所以，即， 因为，所以， 当时，，结合五点法可得，解得， 所以，函数表达式为， 令，得 ，所以，解得， 因为，所以取，得首次时刻秒． 16. 已知函数，其中，且.给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，； ③，使得在内至少有2026个零点： ④，，都有. 其中，所有正确结论的序号是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据已知条件，结合正弦函数的性质，用奇函数的定义验证；②分析两个正弦值都等于1的条件，找到能同时取到1的情况，从而否定之；③利用正弦函数的性质整理化简，得到函数的零点，进而寻找在给定区间内的零点，然后考虑合适的参数值，使得函数的零点达到规定的数目；④利用和角差角的正弦公式整理化简方程，得到参数应满足的条件，然后取适当的参数，得到给定范围内的实数的值. 【详解】①：. ​定义域 R 关于原点对称，且 对所有 x 成立，①正确. ②：当且仅当存在使得 且 时，， 此时需要解方程组：且，化简得​， 需满足，即， 如：取，则，验证 . 因此，存在使得 ，②错误. ​③​： . 所以 或 ，则或(该零点也有可能不存在)， 由，则，共个点，所以至少有 个零点， 若 ，则只需 ，显然存在满足要求，③正确. ④： ， 需要这对所有 x 成立，因此且，即​， 所以，​，可以取，则，④正确. 三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 平面向量，． （1）若，求； （2）若，求与所成夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线向量的坐标表示，可得答案； （2）根据向量线性运算以及垂直向量数量积的坐标表示，求得参数，利用向量夹角的坐标公式，可得答案. 【小问1详解】 由，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得，由，则，解得， 所以与所成夹角的余弦值. 18. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 因为 ，所以，， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 因为， 令，，解得， 又注意到，所以的单调递增区间为，. 19. 已知函数，其中.请从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，使为确定的函数，并完成下列两个问题. （1）求的值； （2）若，都有恒成立，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分 【答案】（1）条件①：无解；条件②： （2）条件②： 【解析】 【分析】（1）根据所选条件，结合正弦函数的性质求出参数即可； （2）将问题化为，结合正弦函数的最值求参数范围. 【小问1详解】 选择①：因为，，又，则无解. 选择②：因为，， 所以为函数最大值，为函数最小值， 由为函数最大值，得，，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知 因为，所以 当，即时，； 当，即时，. ，都有恒成立，则， 又，所以实数的范围为. 20. 已知由维向量组成的集合，.对于任意的， ，记， （1）当时，若，，求，； （2）当时，若集合，且 ，为奇数；对任意两个不同的元素，都有 ，记集合中的元素个数为，求的最大值； （3），证明： ，并说明等号成立的条件. 【答案】（1）， （2）4 （3）证明见解析，，，时等号成立 【解析】 【分析】（1）根据定义及已知求值即可； （2）根据已知得中1的个数为1或3，进而得到所有可能情况，结合抽屉原理，假设 得到矛盾，最后得结论并写出满足要求的情况； （3）对，讨论它们是否相等得或，从而得，即可证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ，， ，为奇数， 中1的个数为1或3， ， 记，，，， 则，，且，为不同元素，均有 . 假设 ，由抽屉原理，中必然存在两个不同的元素， ， ，取，满足条件， 此时，则 ； 【小问3详解】 对， 当时，，， 当时，，， ，均有，， ， ， 当且仅当，即，，时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $