第7单元 07 第45讲 空间向量及其运算和空间位置关系（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量的概念、运算、基本定理及空间位置关系判断等核心考点，按“概念梳理-运算规律-应用突破”逻辑架构知识，通过表格填空梳理基础、例题精讲方法、题组训练强化，帮助学生构建空间向量知识体系，突破共线共面判定、平行垂直证明等难点。 讲义采用“分层训练+思维引导”模式，常识题夯实基础，常错题辨析向量共线与共面等易混点，例题结合正四面体、平行六面体等模型培养数学眼光与逻辑推理，总结反思提炼坐标运算、法向量应用等策略，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生空间想象与运算能力提供有力支持。

第45讲　空间向量及其运算和空间位置关系 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.互相平行或重合　非零向量a　平行 同一个平面　a=λb　xa+yb+zc　1 2.(1)|a||b|cos θ　(2)a·b=0　(3)a2 3.(1)|a|cos<a,b>　投影向量　(3) 4.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 【对点演练】 1.1　[解析] ∵λa+μb(λ,μ∈R)与a,b共面,∴①②④不正确. 2.-a+b+c　[解析] =+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c. 3.10　[解析] ∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=-6-4+m=0,解得m=10. 4.④　[解析] 对于①,若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①为假命题;对于②,三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②为假命题;对于③,只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③为假命题;对于④,根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④. 5.18　[解析] 因为l1∥l2,所以m∥n,所以==,解得a=10,b=8,所以a+b=18. 6.17或-1　[解析] ∵a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,∴cos 120°===-,解得λ=-1或λ=17. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)观察空间图形,根据几何关系,结合向量的线性运算,即可求解;(2)分别求向量坐标,再利用三点共线得关于参数的方程组,解方程组,求出a,b的值,即可得a+b. (1)C　(2)A [解析] (1)如图,连接ON,因为=,所以=(+),因为=2,所以=,所以=-=(+)-=-a+b+c.故选C. (2)由题可知=(-1,-2,-3),=(-1,a-1,b-2),因为A,B,C三点共线,所以a-1=-2,b-2=-3,解得a=-1,b=-1,所以a+b=-2.故选A. 变式题　D　[解析] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AB,A1C1的中点,则=++=++=++(-)=b+c.故选D. 例2　[思路点拨] (1)利用共面向量定理,即可证明A,E,C1,F四点共面;(2)把作为一个基底,结合向量的线性运算即可求解. 解:(1)证明:∵=++=+++=+++=+++=(+)+(+)=+, ∴A,E,C1,F四点共面. (2)∵=-=+-(+)=+--=-++, ∴x=-1,y=1,z=, ∴x+y+z=. 变式题　(1)C　(2)　[解析] (1)由M,A,B,C四点共面,得+2x+y=1,即2x+y=.故选C. (2)∵=2e1-e2,=3e1+3e2,∴=+=5e1+2e2,∵A,C,D三点共线,∴∥,又e1,e2不共线,=e1+ke2,∴=5,∴2=5k,∴k=. 例3　[思路点拨] (1)利用空间向量基本定理,用,,表示,,即可求出·;(2)记=a,=b,=c,根据空间向量的线性运算表示出,根据向量模的计算即可得结果. (1)B　(2)D　[解析] (1)由题知,=(+),=(+),所以·=(+·+·+·)=×=.故选B. (2)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<a,c>=,所以a·b=b·c=a·c=.因为=a+b+c,所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+1+2×=6,所以||=.故选D. 变式题　(1)A　(2)C　[解析] (1)因为向量a=(1,1,t)在平面xOy上的投影向量为m,所以m=(1,1,0).因为向量a=(1,1,t)在向量b=(-1,0,0)上的投影向量为n,所以n=b=b=(1,0,0),所以cos<m,n>===,所以m与n的夹角为.故选A. (2)设=a,=b,=c,则=+=+=+(-)=+=b+c,∵M为OA的中点,∴=-=-=-a+b+c,∴||== , 根据题意可知a·b=|a|·|b|cos 60°=,同理a·c=,b·c=,代入上面式子,得||==.故选C. 例4　[思路点拨] (1)取线段B1C的中点P,以D为原点建立空间直角坐标系,用向量法求解线面关系即可.(2)设=a,=b,=c,以它们为基底表示出,,,结合已知并应用向量数量积的运算求证垂直,即可证得结论. 解:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(3,0,2),A(3,0,0),B1(3,4,2),C(0,4,0),D1(0,0,2). 设P为线段B1C的中点,则P.设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),由=(-3,4,0),=(-3,0,2),得 令y=1,得x=,z=2,则n=.=,因为n·=×+1×4+2×(-1)=0,所以n⊥,又A1P⊄平面ACD1,所以线段B1C上存在中点P,使得A1P∥平面ACD1. (2)证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}为空间的一个基底,则=a+b-c,=b-a,=c. 因为AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,所以a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a=. 因为·=(a+b-c)·(b-a)=-1+1--+=0,·=(a+b-c)·c=+-1=0,BD∩BB1=B,所以是平面BDD1B1的一个法向量, 所以直线A1C⊥平面BDD1B1. 变式题　解:(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD, AE⊥BD,AE⊂平面ABD, ∴AE⊥平面BCD. (2)假设在线段AF上存在点M使得EM∥平面ADC. 由(1)知AE⊥平面BCD,则AE⊥EF,又EF⊥BD,AE⊥BD,∴AE,BD,EF两两垂直.以E为坐标原点,分别以EF,ED,EA所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=BD=DC=AD=2,则BE=ED=1,AE=,BC=2,EF=,则F,E(0,0,0),A(0,0,),D(0,1,0),C(,2,0),所以=(0,1,-),=(,1,0). 设平面ADC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-,-1). 设=λ,其中λ∈[0,1], ∵=,∴=λ=λ,其中λ∈[0,1],∴=+=,由·n=0,即λ-(1-λ)=0,解得λ=∈[0,1], 故在线段AF上存在点M,使得EM∥平面ADC,且=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45讲　空间向量及其运算和空间位置关系 【课标要求】　1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题以及平行垂直问题. 1.空间向量及其有关概念 名称 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线　　　　　　　  直线l的 方向向量 在直线l上任取　　　　　　,与向量a　　　　的非零向量  共面向量 平行于　　　　　　　　的向量  共线向量 定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在实数λ,使　　　  共面向量 定理 若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 空间向量 基本定理 (1)定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=　　　　　　.  (2)推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z,若x+y+z=　　　　,则P,A,B,C四点共面  2.两个向量的数量积 (1)a·b=　　　　　　　(θ为a,b的夹角).  (2)a⊥b⇔　　　　　(a,b为非零向量).   (3)|a|2=　　　　;设a=(x,y,z),则|a|=.   3.空间向量投影 (1)向量在向量上的投影向量 如图①所示,在空间,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=　　　　　　　　,向量c称为向量a在向量b上的　　　　　　.  (2)向量在直线上的投影向量 如图②所示,类似于向量向向量投影,可以将向量a向直线l投影. (3)向量在平面上的投影向量 如图③所示,向量a向平面β投影,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量　　　　称为向量a在平面β上的投影向量.   4.向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 a+b=　　　　　　　　　  向量差 a-b=　　　　　　　　　  数量积 a·b=　　　　　　　　　  共线 a∥b⇒　　　　　　　　　 (λ∈R,b≠0) 垂直 a⊥b⇔　　　　　　　　　  距离公式 已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=　　　　　　　　　  夹角公式 cos<a,b>= 5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 常用结论 1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为. 2.在空间中,O为平面ABC外一点,P,A,B,C四点共面的充要条件是=x+y+z(其中x+y+z=1). 题组一　常识题 1.[教材改编] 若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则下列各组向量中,能构成空间向量的一个基底的共有　　　　个.  ①a,a+b,a-b;②b,a+b,a-b; ③c,a+b,a-b;④a+b,a-b,a+2b. 2.[教材改编] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则=　　　　　　　　(用向量a,b,c表示).  3.[教材改编] 已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错;向量平行与向量垂直公式混淆,导致知向量平行或垂直求参数出错. 4.给出下列命题: ①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行; ②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面; ③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc; ④若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0. 其中为真命题的是　　　　.(填序号)  5.已知直线l1,l2的方向向量分别是m=(4,a,b),n=(2,5,4),若l1∥l2,则a+b=　　　　.  6.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为　　　　.  　空间向量的线性运算 例1 (1)如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,且=2,=,则= (　 ) A.a+b+c B.a+b-c C.-a+b+c D.a-b+c (2)在空间直角坐标系中,已知点A(2,3,5),B(1,1,2),C(0,a,b),若A,B,C三点共线,则a+b的值为 (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 总结反思 在向量的线性运算中,有以下几个关键点: (1)结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱(线段)的几何关系; (2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义; (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立. 变式题 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AB,A1C1的中点.设=a,=b,=c,则= (　 ) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.b+c 　空间向量基本定理及其应用 例2 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,BE=BB1,DF=DD1. (1)求证:A,E,C1,F四点共面; (2)若=x+y+z,求x+y+z的值.     总结反思 (1)证明空间三点P,A,B共线的方法: ①=λ(λ∈R); ②对空间任意一点O,=+t(t∈R); ③对空间任意一点O,=x+y(x+y=1). (2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法: ①=x+y; ②对空间任意一点O,=+x+y; ③对空间任意一点O(O,M,A,B不共面),=x+y+z(x+y+z=1); ④∥(或∥或∥). 变式题 (1)已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且=+2x+y,若M,A,B,C四点共面,则2x+y的值为 (　 ) A.2 B.1 C. D.0 (2)设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为　　　　.  　空间向量数量积及其应用 例3 (1)如图,已知正四面体ABCD的所有棱长都等于2,E,F分别是AB,AD的中点,则·= (　 ) A.2 B. C.3 D. (2)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两之间的夹角为,则||的值为 (　 ) A. B.2 C. D. 总结反思 空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算,二是利用坐标运算. 变式题 (1)在空间直角坐标系Oxyz中,向量a=(1,1,t)(t∈R)在平面xOy上的投影向量为m,在向量b=(-1,0,0)上的投影向量为n,则m与n的夹角为 (　 ) A. B. C. D.与t有关 (2)如图,在正四面体OABC中,AB=1,M为OA的中点,点N在棱BC上,且=2,则M,N两点之间的距离为 (　 ) A. B. C. D. 　利用空间向量证明平行或垂直 例4 利用空间向量知识完成本题. (1)如图①,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1? (2)如图②,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.     总结反思 (1)利用向量证明平行问题 ①线线平行:方向向量平行. ②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直. ③面面平行:两平面的法向量平行. (2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法. 线线垂 直问题 证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零 线面垂 直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂 直问题 两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 变式题 如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图②所示. (1)证明:AE⊥平面BCD. (2)在线段AF上是否存在点M,使得EM∥平面ADC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $