第6单元 03 第38讲 等比数列及其前n项和（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖定义、通项公式、前n项和公式及性质，按“概念-公式-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如方程思想、分类讨论）、真题训练（例题、变式题、分层题组）帮助学生突破公式应用、性质迁移等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学思维培养为核心，设计“易错点剖析+解题策略总结”教学活动，如用方程思想解决基本量运算，通过定义法判定等比数列，结合分层练习（常识题巩固基础、常错题强化认知）提升复习效率，助力学生形成理性思维与解题规范，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第38讲　等比数列及其前n项和 【课标要求】　1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列中的有关公式 已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则 等比数列定义式 =　　　　(q≠0且q为常数)  等比中项 =(G是a与b的等比中项) 通项公式 　　　　或　　　　　　　  前n项和公式 当q=1时,Sn=　　　　;当q≠1时,Sn=　　　　　=　　　　　  2.等比数列的性质 已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和. (1)通项公式的推广:an=　　　　(n,m∈N*).  (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=　　　　=　　　　.  (3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{},{an·bn},仍然是等比数列. (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. 3.等比数列与函数的关系 (1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=qn,前n项和公式可以写成Sn=qn-(q≠1). (2)①当或时,{an}是递增数列; ②当或时,{an}是递减数列; ③当q=1时,数列{an}是常数列; ④当q<0时,数列{an}为摆动数列. 常用结论 1.等比数列{an}的通项公式可以写成an=cqn,这里c≠0,q≠0. 2.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 3.设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和. (1)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. (2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=,S3=,则a2的值为　　　　.  2.[教材改编] 已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,若8a2+a5=0,S5=22,则a1=　　　　,公比q=　　　　.  3.[教材改编] 在等比数列{an}中,a1,a13是方程x2-13x+9=0的两根,则的值为　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错. 4.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5=. 5.已知数列{an}的通项公式是an=an(a≠0),则其前n项和Sn=　　　　　　.  6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4,S10=12,则S15=　　　　.  　等比数列的基本量运算 例1 (1)[2025·杭州模拟] 若等比数列{an}满足a1+a2=2,a1-a3=3,则数列{an}的公比等于 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-或 B.或- C.- D. (2)(多选题)[2025·全国二卷] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则 (　 ) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 总结反思 解决等比数列基本量运算问题的思想方法 (1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解. (3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要对q分q=1和q≠1两种情况进行讨论. 变式题 (1)[2025·山东聊城二模] 各项均为正数的等比数列{an}的前5项和为,且3a3+4a1=a5,则a3= (　 ) A.2 B.4 C.8 D.16 (2)设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为　　　　.  　等比数列的判定与证明 例2 (1)(多选题)[2025·辽宁锦州模拟] 已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是 (　 ) A.S2=2 B.数列{Sn+n}为等比数列 C.数列{an+1}为等比数列 D.数列{Sn+1-Sn+1}为等比数列 (2)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=4,an+1=(Sn-1). ①证明:数列是等比数列; ②求{an}的通项公式.     总结反思 判定数列{an}为等比数列的常用方法 (1)定义法:若=q(q是非零常数),则数列{an}是等比数列. (2)等比中项法:若=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若an=Aqn(A,q为非零常数),则数列{an}是等比数列. 变式题 [2026·广东六校联盟一联] 在数列{an}中,a1=1,an+1an+2an+1-an=0. (1)证明数列为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)令bn=,证明:bn<bn+1<1.     　等比数列性质的应用 角度1　等比数列项的性质 例3 (1)[2025·湛江一模] 在等比数列{an}中,a3·a5=49,a4+a6=70,则a8= (　 ) A.-567 B.567 C.451 D.699 (2)[2023·全国乙卷] 已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　.  总结反思 根据等比数列的通项公式和等比数列项的性质“若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,q∈N*.特别地,若m+n=2p,则aman=,其中m,n,p∈N*”可减少运算量. 变式题 (1)[2025·江苏南京二模] 已知等比数列{an}的各项均为正数,且a4a6+a3a7=18,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9= (　 ) A.12 B.10 C.9 D.2+log35 (2)[2025·宁夏中卫三模] 已知递增的等比数列{an}满足a2+a3=18,a1a4=72,则{an}的前3项和S3=　　　　.  角度2　等比数列前n项和的性质 例4 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8= (　 ) A.120 B.85 C.-85 D.-120 (2)[2025·广东佛山联考] 已知等比数列{an}共有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q=　　　　.  总结反思 等比数列前n项和的性质:若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(当m为偶数时,{an}的公比q≠-1). 变式题 (1)[2025·全国一卷] 若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　.  (2)[2025·石家庄二中模拟] 设等比数列{an}的前n项和是Sn,已知S3=30,S6=120,则=　　　　.   角度3　等比数列的最值 例5 [2025·北京西城区4月测试] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的乘积为Tn,若a1a2<a2a3<0,则 (　 ) A.Sn无最小值,Tn无最大值 B.Sn有最小值,Tn无最大值 C.Sn无最小值,Tn有最大值 D.Sn有最小值,Tn有最大值 总结反思 1.等比数列的最值可类比等差数列最值的求解思想,多借助函数思想或是数列的增减性处理. 2.在等比数列{an}中,若或,则{an}是递增数列;若或,则{an}是递减数列. 变式题 (多选题)[2025·安徽宿州联考] 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项积为Tn,若T8<1<T9,则 (　 ) A.a3a6>1 B.>1 C.Tn≥T4 D.Tn≤T5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第38讲　等比数列及其前n项和 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.q　an=a1qn-1 an=amqn-m(n,m∈N*)　na1 　 2.(1)am·qn-m　(2)ap·aq　 【对点演练】 1.-3或　[解析] 由S3=a1+a2+a3=a3(q-2+q-1+1),得q-2+q-1+1=3,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-,∴a2==或-3. 2.2　-2　[解析] 依题意得q≠1,因为即所以 3.3　[解析] ∵a1,a13是方程x2-13x+9=0的两根,∴a1+a13=13,a1a13=9,∴a1>0,a13>0,a1a13=a2a12==9,又数列{an}为等比数列,等比数列奇数项的符号相同,∴a7=3,∴==3. 4.4　[解析] 设数列{an}的公比为q,∵=a3a7=2×8=16,∴a5=±4,又∵a5=a3q2>0,∴a5=4. 5.　[解析] 因为a≠0,an=an,所以{an}是以a为首项,a为公比的等比数列.当a=1时,Sn=n;当a≠1时,Sn=. 6.28　[解析] 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,所以S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.因为S5=4,S10=12,所以S10-S5=8,S15-S10=16,所以S15=12+16=28. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据等比数列的性质求解即可; (2)根据等比数列的定义和已知条件可求出q,进而可判断各选项的正误. (1)C　(2)AD　[解析] (1)设{an}的公比为q,可得a1(1+q)=2且a1(1-q2)=3,则a1(1+q)(1-q)=2(1-q)=3,解得q=-.故选C. (2)由已知条件得S3=a1+a2+a3=++a3=++1=7,即+-6=0,即=0,又q>0,所以=2,解得q=,则a1==4,所以an=4×=,Sn=8-,则a5==≠,S5=8-=≠8,an+Sn=+8-=8,故A,D正确,B,C错误.故选AD. 变式题　(1)A　(2)-2　[解析] (1)设等比数列的首项为a1,公比为r(r>0),根据题意得3a1r2+4a1=a1r4,即r4-3r2-4=0,可得r=2,又S5=a1=,所以a1=,所以a3=a1r2=2.故选A. (2)因为Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,所以2Sn=Sn+1+Sn+2.若q=1,则Sn=na1,上式显然不成立;若q≠1,则2·=+,故2qn=qn+1+qn+2,即q2+q-2=0,因此q=-2或q=1(舍去). 例2　[思路点拨] (1)对于A,令n=1即可判断;对于C,降标作差即可求出an+1+1=2(an+1),n≥2,验证n=1时,上式是否成立,即可判断;对于B,利用等比数列通项公式即可求出an,进而求出Sn,最后利用等比数列的定义求证;对于D,利用通项公式化简Sn+1-Sn+1,最后利用等比数列的定义求证. (2)①根据数列的和与项的转化关系及等比数列的定义,即可证明; ②根据①得{Sn-1}的通项公式,由an=Sn-Sn-1(n≥2)得n≥2时,an的通项公式,验证n=1时,上式是否成立,即可求解. (1)ABD　[解析] 对于A,S2=2S1+1-1=2a1=2,故A正确;对于C,当n≥2时,Sn=2+n-2,Sn+1=2Sn+n-1,两式作差得an+1=2an+1,即an+1+1=2(an+1),又a2=S2-a1=1,所以当n≥2时,{an+1}为等比数列,公比为2,又a2+1=2,所以an+1=2×2n-2=2n-1,n≥2,即an=2n-1-1,n≥2,显然a1=1不满足an=2n-1-1,所以an=故C错误;对于B,当n≥2时,Sn=a1+a2+a3+…+an=1+21-1+22-1+…+2n-1-1=1+21+22+…+2n-1-(n-1)=-n+1=2n-n,又S1=1符合上式,所以Sn=2n-n,因为当n≥2时,==2,所以{Sn+n}为等比数列,故B正确;对于D,由C知,an+1=2n-1,则Sn+1-Sn+1=an+1+1=2n,所以{Sn+1-Sn+1}为等比数列,故D正确.故选ABD. (2)解:①证明:∵an+1=(Sn-1),∴Sn+1-Sn=(Sn-1), ∴(2n-1)Sn+1-(2n-1)Sn=4(n+1)Sn-4(n+1),∴(2n-1)Sn+1=(6n+3)Sn-4(n+1), ∴(2n-1)(Sn+1-1)=(6n+3)Sn-(6n+3),∴(2n-1)(Sn+1-1)=3(2n+1)(Sn-1), ∴=3×,又=a1-1=3,∴数列是首项为3,公比为3的等比数列. ②由①可得=3n, ∴Sn-1=(2n-1)×3n,当n≥2时,Sn-1-1=(2n-3)×3n-1,两式相减可得an=(2n-1)×3n-(2n-3)×3n-1=4n·(n≥2), 又a1=4满足上式, ∴an=4n·3n-1,n∈N*. 变式题　解:(1)由题意可得an≠0, 因为a1=1,an+1an+2an+1-an=0, 所以+1=2,+1=2, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列, 所以+1=2n,解得an=. (2)证明:由(1)知an=. 因为2n+1>2n>1,所以数列{an}是各项均为正数的递减数列,所以bn=<1,bn+1=<1,bn+1-bn=-=-== = >0, 所以bn<bn+1<1. 例3　[思路点拨] (1)由已知根据等比中项可得a4=±7,分两种情况求解即可; (2)根据等比数列的性质即可求解. (1)B　(2)-2　[解析] (1)由a3·a5==49,可得a4=±7.当a4=-7时,a4+a6=-7-7q2=70,无解,所以a4=7,所以a4+a6=7+7q2=70,所以q2=9,所以a8=a4·q4=567.故选B. (2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由a2a4a5=a3a6,结合等比数列的性质有a4a5=a3a6,得a2=1,所以a9a10=a2q7a2q8=q15=q15=-8,则q5=-2,故a7=a2q5=-2. 变式题　(1)C　(2)21　[解析] (1)∵等比数列{an}的各项均为正数,∴a4a6+a3a7=2=18,∴a5=3,∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=log3(a1×a2×…×a9)=log3=9log33=9.故选C. (2)因为{an}是递增的等比数列,所以a1a4=a2a3=72,又因为a2+a3=18,所以或(舍去),则{an}的公比q==2,a1==3,所以S3===21. 例4　[思路点拨] (1)思路一:根据等比数列的前n项和公式求出公比,再根据S4,S8的关系即可解出; 思路二:根据等比数列的前n项和的性质S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列先求出S2,再求S8即可.(2)根据题意,利用=q进行求解即可. (1)C　(2)2　　[解析] (1)方法一:由题易知公比q≠1且q≠0,∵S6=21S2,∴1-q6=21(1-q2),∴q4+q2-20=0,∴q2=4,则=1+q4=17,∴S8=17×(-5)=-85.故选C. 方法二:由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,因此(S4-S2)2=S2(S6-S4),将S4=-5,S6=21S2代入上式,解得S2=-1或S2=.当S2=时,S4=S2(1+q2)>0,不满足题意,所以S2=-1,则S6=-21,由等比数列的性质可知(S6-S4)2=(S4-S2)(S8-S6),得S8=-85.故选C. (2)因为等比数列{an}有2n+1项,所以奇数项有n+1项,偶数项有n项,设公比为q,由a1=1,得到奇数项的和为 1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85,偶数项的和为 q+q3+q5+…+q2n-1=42,整体代入得 q=2. 变式题　(1)2　(2)13　[解析] (1)方法一:设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,设{an}的公比为q(q>0),因为S8-S4=a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4=68-4=64,S4=a1+a2+a3+a4=4,所以=q4==16,所以q=2,所以该等比数列的的公比为2. 方法二:设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,设{an}的公比为q(q>0).当q=1时,S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68,显然不成立;当q≠1时,S4==4,S8==68,两式相除得=,即=17,则1+q4=17,所以q=2.综上,该等比数列的公比为2. 方法三:设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,设{an}的公比为q(q>0),则S4=a1+a2+a3+a4=4,S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68,所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,所以q=2,所以该等比数列公比为2. (2)因为Sn是等比数列{an}的前n项和且S3≠0,所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则(S6-S3)2=S3×(S9-S6).因为S3=30,S6=120,所以(120-30)2=30×(S9-120),解得S9=390,所以==13. 例5　[思路点拨] 利用基本量法,可求出公比q满足-1<q<0,根据前n项和与前n项积的定义进行讨论计算,可以得出Sn有最小值,Tn有最大值. D　[解析] 由a1a2<a2a3<0,得q<q3<0,可得-1<q<0.若a1>0,则S1=a1>0,S2=a1+a2<S1,当n≥3时,Sn-S2==>0,所以S2为Sn的最小值.若a1<0,则当n≥2时,Sn-S1=>0,所以Sn的最小值为S1.综上可得,Sn有最小值.由-1<q<0,可得|an+1|<|an|,根据等比数列的性质必有N满足对于任意的n>N,|an|<1,因为Tn一定是正负交替出现,所以Tn一定存在最大值.故选D. 变式题　BC　[解析] 依题意知,T8=a1a2…a7a8,T9=a1a2…a7a8a9=.对于A,因为T8=(a3a6)4<1,an>0,所以a3a6<1,故A错误;对于B,因为T8=(a4a5)4<1<,所以a4a5<1,a5>1,所以a4<1,a5>1,所以=>1,故B正确;对于C,D,由B可知a1<a2<a3<a4<1<a5<a6<a7<a8<a9<…<an,所以Tn的最小值为T4,即Tn≥T4,Tn无最大值,故C正确,D错误.故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $