第5单元 04 第33讲 平面向量的数量积（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦平面向量的数量积，涵盖概念、性质、运算律、坐标表示及模、夹角、垂直等高考核心考点，按“概念-性质-运算-应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练、分层练习环节，系统帮助学生突破难点。 资料以真题为导向，结合全国卷例题，设计常识题、常错题分层练习，通过几何直观理解投影向量培养数学眼光，用坐标法与定义法推理提升数学思维，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第33讲　平面向量的数量积 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(2)|a||b|cos θ　|a||b|cos θ　0　(3) 2.①|a|cos θ　②a·b=0　③|a||b|　 -|a||b|　|a|2　　④≤ 3.①a·b=b·a　②λ(a·b) a·(λb)　③a·c+b·c 4.　x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0　 【对点演练】 1.63　　[解析] a·b=3×5+4×12=63.|a|==5,|b|==13,设a与b的夹角为θ,则cos θ==,所以sin θ==. 2.8　[解析] 向量a=(-4,3),b=(6,m),由a⊥b,得a·b=-24+3m=0,所以m=8. 3.　[解析] 因为|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,所以|a+b|=== =. 4.16　[解析] 由|a+b|=|a-b|,两边平方可得a2+2b·a+b2=a2-2b·a+b2,所以b·a=0,所以a·(a-b)=a2-a·b=42-0=16. 5.-e　[解析] 向量b在向量a上的投影向量为e=-e. 6.菱形　[解析] ∵平面四边形ABCD满足+=0,∴四边形ABCD是平行四边形,又(-)·=0,即·=0,∴该平行四边形的对角线互相垂直,∴该四边形是菱形. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)思路一:以{,}为基底表示,,再结合数量积的运算律运算求解;思路二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;思路三:利用余弦定理求出cos∠DEC,进而根据数量积的定义求解.(2)由投影向量的概念求得cos<a,b>=,从而求出a·b=,再利用向量数量积的运算律展开运算即可. (1)B　(2)B　[解析] (1)方法一:由题知||=||=2,=+=+,=+=-+,所以·=·=-+=-1+4=3.故选B. 方法二:如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-1,2),所以·=(1,2)·(-1,2)=-1+4=3.故选B. 方法三:由题意可得,ED=EC=,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC== =,所以·=||||cos∠DEC=××=3.故选B. (2)因为平面向量a,b是两个单位向量,所以a在b上的投影向量为(|a|cos<a,b>)=b,所以cos<a,b>=,所以a·b=,所以(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-,故选B. 变式题　(1)　(2)B [解析] (1)因为A(1,0),B(0,1),C(2,3),所以=(-1,1),=(1,3),所以·=-1×1+1×3=2,||==,所以向量在上的投影向量为 ==. (2)如图,取BC的中点为D,连接AD,因为AB=AC=5,BC=6,所以AD⊥BC,又△ABC为等腰三角形,所以AD==4,所以·(+)=2·=2||·||cos∠PAD=2=32,所以·(+)的值为32.故选B. 例2　[思路点拨] 由(b-2a)⊥b得|b|2=2a·b,由|a|=1,|a+2b|=2,得4|b|2+4a·b=3,联立即可得解. B　[解析] 因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,得|b|2=2a·b①.因为|a+2b|=2,所以|a+2b|2=4,即|a|2+4|b|2+4a·b=4,得4|b|2+4a·b=3②.由①②得|b|2=,则|b|=,故选B. 例3　[思路点拨] (1)首先由a+b+c=0及|a|=|b|=1,|c|=得到a·b=0.思路一:利用已知及向量数量积的运算,求出(a-c)·(b-c)及|a-c|,|b-c|,进而求出cos<a-c,b-c>;思路二:由a,b是单位正交向量,作出图形,在特殊三角形中表示出已知和待求向量,用三角恒等变换求解;思路三:由a,b是单位正交向量,令a=(1,0),b=(0,1),求出c,从而求出a-c,b-c,利用向量的坐标运算求解.(2)先根据向量b的坐标求出|b|,再结合数量积的计算公式求出cos<a,b>,从而得出向量a,b的夹角. (1)D　(2)120°　[解析] (1)因为a+b+c=0,所以a+b=-c,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0. 方法一:因为a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且|a-c|=|2a+b|===,|b-c|=|a+2b|===,所以cos<a-c,b-c>==.故选D. 方法二:如图,设=a,=b,=c,由题知,OA=OB=1,OC=,所以△OAB是等腰直角三角形, AB边上的高OD=,AD=,△ACB是等腰三角形,则C,O,D三点共线,所以CD=CO+OD=+=,则tan∠ACD==,则cos∠ACD=,所以cos<a-c,b-c>= cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD-1=2×-1=. 方法三:如图,令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),则cos<a-c,b-c>===. (2)由题意得|b|==1,又a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos<a,b>=3,|a|=2,所以cos<a,b>=-,则向量a,b的夹角为120°. 例4　[思路点拨] (1)思路一:根据a,b的坐标得到|a|=|b|=,a·b=0,再根据向量垂直列出方程即可得到答案;思路二:根据向量的坐标运算求出a+λb,a+μb,再根据向量垂直的坐标表示即可得到答案.(2)根据条件得a-b=(1,1-2x),再利用向量垂直的坐标表示得到方程,解出x即可得到答案. (1)D　(2)　[解析] (1)方法一:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以|a|=|b|=,a·b=0,又(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=a2+λμb2=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D. 方法二:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)得(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D. (2)因为a=(x,1),a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x),a⊥(a-b),所以a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0,解得x=1,所以|a|==. 【应用演练】 1.D　[解析] 方法一:因为向量a=(-2,1),b=(m,2),所以a+b=(-2+m,3),a-b=(-2-m,-1),又因为|a+b|=|a-b|,所以=,解得m=1.故选D. 方法二:由|a+b|=|a-b|,得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,得4a·b=0,所以a·b=0,则a⊥b,故-2m+2=0,解得m=1.故选D. 2.B　[解析] 由c=a,c为b在a上的投影向量,得c=a=|b|cos<a,b>·=cos<a,b>·a=cos<a,b>·a,所以cos<a,b>=.故选B. 3.A　[解析] 由题意知向量a=(0,1),b=(1,2),故a+λb=(λ,1+2λ),又a+λb与b垂直,所以(a+λb)·b=0,可得(λ,1+2λ)·(1,2)=0,则λ+2(1+2λ)=0,解得λ=-,故选A. 4.　[解析] 由(a+b)⊥(a-2b)可得(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=0,故2|b|2-|b|·|b|cos<a,b>-2|b|2=0,所以cos<a,b>=0,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 例5　[思路点拨] (1)设AB的中点为E,由条件得OE=,∠AOB=120°,将·表示成-cos∠COE,根据-1≤cos∠COE≤1可得结果.(2)建立平面直角坐标系,设a=(2,0),b=(1,),c=(x,y),可得b·c=x+y,设t=x+y,转化为圆心(2,0)到直线x+y=t的距离d≤1求解t的取值范围即可. (1)A　(2)D　[解析] (1)设AB的中点为E,连接OE,因为OA=OB=1,AB=,所以OE=,∠AOB=120°,所以·=·=(-)·(-)=·-·(+)+||2=1×1×-·2+1=-+1-2×1×cos∠COE=-cos∠COE,又-1≤cos∠COE≤1,所以-≤·≤.故选A. (2)建立如图所示的平面直角坐标系,设=a=(2,0),=b=(1,),=c=(x,y),则|c-a|=≤1,即(x-2)2+y2≤1,∴点C在圆(x-2)2+y2=1上或其内部.b·c=x+y,令t=x+y,即x+y-t=0,由题可知直线x+y-t=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则圆心(2,0)到直线x+y-t=0的距离d==≤1,解得0≤t≤4.故选D. 变式题　(1)[16,48]　(2)D [解析] (1)过点M作直线AB的垂线,垂足为M1,则·=0,=+,所以·=·.据此可得,当点M与点H重合时,·取得最小值,最小值为4×4=16;当点M与点E重合时,·取得最大值,最大值为4×12=48.所以·的取值范围是[16,48]. (2)∵||=||=,||=2,∴⊥,易知A,B两点在以原点O为圆心,为半径的圆上,如图所示,取AB的中点H,连接OH,则|OH|=1,∴点H在以O为圆心,1为半径的圆上,∴|2+|2=4+4·+=4·(+)+4=4·+4=4(+)·(+)+4= 4(-)+4=4(-1)+4=4,∴|2+|=2||.易知|-1|≤||≤||+1,∵||==5,∴4≤||≤6,∴8≤|2+|≤12.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲　平面向量的数量积 【课标要求】　1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 5.能用坐标表示平面向量垂直. 1.平面向量的数量积 (1)向量的夹角 ①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作=a,=b, 则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角. ②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向. ③向量垂直:如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b. (2)数量积概念 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　　叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=　　　　　　　.  规定:零向量与任一向量的数量积为　　　,即0·a=0.  (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则　　　　就是向量a在向量b上的投影向量,且=|a|cos θ e(θ为与的夹角,e为与b方向相同的单位向量).  2.平面向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 ①e·a=a·e=　　　　　　　　.  ②a⊥b⇔　　　　　.  ③当a与b同向时,a·b=　　　　　;当a与b反向时,a·b=　　　　　　.  特别地,a·a=　　　　或|a|=　　　　.  ④|a·b|　　　　|a||b|.  3.平面向量数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数λ. ①交换律:　　　　　　　;  ②数乘结合律:(λa)·b=　　　　　=　　　　　(λ∈R);  ③分配律:(a+b)·c=　　　　　　　　.  4.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),<a,b>为a与b的夹角. 向量表示 坐标表示 向量a的长度 |a|= |a|=　　　  a,b的数量积 a·b=|a||b|cos<a,b> a·b=　　　　　  a与b垂直 a⊥b⇔a·b=0 a⊥b⇔　　　　　  a与b的夹角 cos<a,b>= cos<a,b>=　　　　　　  |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立) |x1x2+y1y2|≤ 常用结论 1.①(a+b)·(a-b)=a2-b2;②(a+b)2=a2+2a·b+b2;③(a-b)2=a2-2a·b+b2. 2.S△ABC=||||sin A=. 3.若=λ(λ≠0),则AP所在直线为∠BAC的平分线. 4.已知非零向量a,b. (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0; (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 5.向量a在向量b上的投影向量为·. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知a=(3,4),b=(5,12),则a·b=　　　　,a与b夹角的正弦值为　　　　.  2.[教材改编] 已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　.  3.[教材改编] 已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则|a+b|=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:向量的模与数量积之间的关系掌握不牢致误;不理解向量的数量积的几何意义致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练致误. 4.已知向量a,b满足|a|=4,|a+b|=|a-b|,则a·(a-b)=　　　　.  5.若向量a,b满足a·b=-6,|a|=8,设与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为　　　　.  6.若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形的形状是　　　　.   　平面向量的数量积　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)[2023·全国乙卷] 正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.3 C.2 D.5 (2)已知平面向量a,b是两个单位向量,a在b上的投影向量为b,则(a+2b)·(a-b)= (　 ) A.-1 B.- C.0 D.1 总结反思 解决向量数量积的运算问题的三种方法: (1)当已知向量的长度和夹角时,可利用定义法求解; (2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解; (3)利用向量数量积的几何意义求解. 变式题 (1)[2025·湖南长沙雅礼中学模拟] 已知平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,3),则向量在上的投影向量为　　　　.  (2)[2025·黑龙江大庆一模] 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点P是边BC上的动点,则·(+)的值 (　 ) A.为16 B.为32 C.最大为32 D.与P的位置有关 　平面向量数量积的性质问题 微点1　平面向量的模 例2 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　 ) A. B. C. D.1 总结反思 求平面向量的模的两种方法 (1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=; ②|a±b|==; ③若a=(x,y),则|a|=. (2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 微点2　平面向量的夹角 例3 (1)[2023·全国甲卷] 已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　 ) A.- B.- C. D. (2)已知向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,b=(sin α,cos α),则向量a,b的夹角为　　　　.  总结反思 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法:利用向量数量积的定义得cos<a,b>=,其中两向量的夹角<a,b>的取值范围为[0,π]. (2)坐标法:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos<a,b>=. 微点3　平面向量的垂直 例4 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　 ) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 (2)[2025·全国二卷] 已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  总结反思 当向量a与b是坐标形式,即a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0. 1.已知向量a=(-2,1),b=(m,2),|a+b|=|a-b|,则实数m的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.- C. D.1 2.已知非零向量a,b,c满足|a|=|b|,c=a,若c为b在a上的投影向量,则向量a,b夹角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 3.[2026·山东济南摸底] 已知向量a=(0,1),b=(1,2),若a+λb与b垂直,则实数λ的值为 (　 ) A.- B.- C. D. 4.[2025·湖南岳阳二模] 已知非零向量a,b,若|a|=|b|,且(a+b)⊥(a-2b),则a与b的夹角为　　　　.  　与数量积有关的最值范围问题 例5 (1)已知A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AB=,则·的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. (2)已知向量a,b的夹角为,|a|=|b|=2,若向量c满足|c-a|≤1,则b·c的取值范围是 (　 ) A.[-4,4] B.[-2,2] C.[0,2] D.[0,4] 总结反思 数量积最值(范围)问题的解法 (1)坐标法:通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算转化为代数问题处理. (2)向量法:运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 变式题 (1)[2025·安徽蚌埠二模] 如图,六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形,且AB=4,点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界),则·的取值范围是　　　　.  (2)[2025·北京卷] 已知平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2,设C(3,4),则|2+|的取值范围是 (　 ) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 学科网（北京）股份有限公司 $