第5单元 03 教材拓展3 等和线求最值范围问题（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦平面向量三点共线定理及等和线推广，紧扣高考向量线性运算与最值问题核心考点，以基础定理为起点，通过推广结论构建逻辑链条，设置考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破向量参数关系及最值求解难点。 资料融合数学眼光与数学思维，创新采用“等和线动态分析”策略，如例2中平移与AB平行的直线结合外接圆半径确定λ+μ最值，培养几何直观与推理能力，分层练习配合即时总结，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

教材拓展3　等和线求最值范围问题 【典型例题】 例1　C　[解析] 在△ABC中,M为边BC上任意一点,则=t+(1-t),∵N为AM的中点,且满足=λ+μ,∴由等和线定理得λ+μ=,即λ=-μ,因此,λ2+μ2=+μ2=2μ2-μ+=2+≥,当且仅当λ=μ=时取等号,此时M为BC的中点,∴λ2+μ2的最小值为. 例2　　[解析] 如图,过点P作BC的平行线,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F,设AP与BC相交于点D.由等和线定理知,当AP过圆心O,并且A,P位于O点两侧时,x+y取得最大值,此时x+y==,∴2x+2y的最大值为. 【巩固演练】 1.B　[解析] 方法一(常规方法):∵E为线段AO的中点,∴=(+)==+=λ+μ,∴λ=,μ=,则λ+μ=. 方法二(等和线法):如图,延长BE,交AD于F,过点E作AD的平行线,设λ+μ=k,则k==,即λ+μ=k=. 2.D　[解析] 由题意知,向量=x+y,且点D在线段BC上(不包括端点),由等和线定理可得x+y=1,且x>0,y>0,故+=(x+y)=++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=-1,y=2-时取等号,故+的最小值为2+3,故选D. 3.A　[解析] 根据题意可知,当过点P且与圆相切的直线与BD平行时,λ+μ取得最大值,设AP与BD相交于点Q,则λ+μ=.如图,过A点作过P点的切线和BD的垂线,垂足分别为M,N,则λ+μ===3.故选A. 4.　[解析] 方法一:如图,取AC的中点D,连接BD,则D,又B,所以 ∠ABD=45°.作BD的平行线,与半径为1的圆O相切于点P0,与x轴相交于点M(M在x轴正半轴上),由等和线定理知当P在P0处时λ+2μ取得最大值,易知∠P0MO=∠ABD=45°,连接AP0,与BD交于点N,连接OP0,因为|OP0|=1,所以|OM|=.设=m+n,则m+n=1,由三角形相似知=,则=·,此时λ+2μ=·(m+n), 所以λ+2μ=·(m+n)===. 方法二:因为P(x,y),A(-2,0),B,C(0,1),所以=(x+2,y),=,=(2,1),代入=λ+μ,可得则x+y+2=λ+3μ=(λ+2μ),所以λ+2μ=(x+y+2).由1=x2+y2≥2xy,得xy≤,当且仅当x=y=±时等号成立,所以(x+y)2=x2+2xy+y2≤1+1=2,得x+y≤,当且仅当x=y=时等号成立,所以λ+2μ=(x+y+2)≤×(+2)=,即λ+2μ的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.平面向量三点共线定理 如图①,若A,P,B三点共线,则=λ+μ,其中λ+μ=1. 此结论也可以描述成分点恒等式形式:若=λ,则=+(λ≠-1). ① ② 2.推广的等和线结论 (1)等和线定义:已知平面内一个基底{,}及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),若点P'在直线AB上或在平行于直线AB的直线上,则λ+μ=k(k为定值);反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. (2)等和线定理: 如图②,A,B两点共线,O为直线AB外一点,CD为与AB平行的直线,且O,A,C共线,O,B,D共线,=k(k≥0).若点Q为CD上一点,=λ+μ,则λ+μ=k. [课本探源:人教A版必修第二册P26例1] 【典型例题】 例1 在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,且满足=λ+μ,则λ2+μ2的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.1 例2 如图,边长为2的等边三角形ABC的外接圆圆心为O,P为圆O上任意一点,若=x+y,则2x+2y的最大值为 　　　　.  总结反思 利用等和线定理解求最值问题的策略: (1)确定k=1的等和线; (2)平移(或旋转或伸缩)该直线,结合动点的可行域,分析在何处取得最值; (3)从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值或最小值. 【巩固演练】 1.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C. D. 2.在△ABC中,点D在线段BC上(不包括端点),向量=x+y,则 +的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2+2 C.2+2 D.2+3 3.在矩形ABCD中,动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 (　 ) A.3 B.2 C. D.2 4.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P(x,y)满足x2+y2=1,且=λ+μ,则λ+2μ的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $