第5单元 02 第32讲 平面向量基本定理及坐标表示（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，按“定理—分解—运算—共线”逻辑架构梳理知识，涵盖基底概念、正交分解、坐标运算及共线判定，通过考点填空梳理、方法总结反思、真题例题精讲等环节，帮助学生构建向量知识体系，突破基底选择、坐标运算等难点。 资料突出数学思维与数学眼光培养，如用“爪子定理”两种形式解析三角形分点问题，结合矩形、梯形等几何图形培养几何直观，设置常识题巩固基础、常错题辨析易错点、变式题提升能力，助力学生高效掌握向量工具，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

第32讲　平面向量基本定理及坐标表示 【课标要求】　1.掌握平面向量基本定理. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线. 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　向量,那么对于这一平面内的　　　　向量a,　　　　　　实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.   (2)基底 若e1,e2　　　　　,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内　　　　向量的一个基底.   2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个　　　　　　的向量,叫作把向量作正交分解.  3.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标运算 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　　　　　　　,a-b=　　　　　　　,λa=　　　　　.  (2)向量的坐标求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=　　　　　　　　,||=　　　　　　　　.   4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔　　　　　　　.   常用结论 1.爪子定理 形式1:如图①,在△ABC中,D是边BC上的点,若BD=m,DC=n,则=+,其中,,可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则=(+). 形式2:如图②,在△ABC中,D是边BC上的点,且=λ,则=λ+(1-λ),其中,,可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则=(+). ① ② 2.三角形的重心坐标公式:已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为,△ABC的重心坐标为. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知向量=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为　　　　　　　　　.  2.[教材改编] 设平面向量a=(-1,0),b=(0,2),则2a-3b=　　　　.  3.[教材改编] 在△ABC中,点D为边BC上一点,且BD∶DC=1∶2,设=a,=b,则=　　　　.(用a,b表示)  题组二　常错题 ◆索引:忽视构成基底的两个向量不能共线致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢致误;忽视共线包括两种情况致误. 4.给出下列四组向量:①e1=(0,0),e2=(1,-2);②e1=(-1,2),e2=(5,7);③e1=(3,5),e2=(6,10);④e1=(2,-3),e2=.其中可以构成基底的是　　　　.(填序号)  5.已知向量a=(1,3λ),b=(2+λ,-3),若a∥b,则λ=　　　　.  6.已知A(-3,4),B(-1,2),点P在直线AB上,||=2||,则点P的坐标为　　　　.  　平面向量基本定理 　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,且=,=3,点F为DE的中点,则= (　 ) A.-+ B.+ C.+ D.+ (2)[2025·北京朝阳区二模] 在矩形ABCD中,AB⊥AD,AD=2,AB=,点E为线段AD的中点,BE与AC交于点F.设=k1e1+k2e2(k1,k2∈R),其中e1,e2分别是与,方向相同的单位向量,则 (　 ) A.k1=,k2= B.k1=,k2= C.k1=,k2= D.k1=,k2= 总结反思 (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题. 变式题 (1)[2025·湖南长沙雅礼中学一模] 在△ABC中,AB=2,AC=3,=,=2.若+=λ+μ,则λ+μ的值为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2025·天津卷节选] 在△ABC中,D为AB边的中点,=,=a,=b,则= 　　　　(用a,b表示).  　平面向量的坐标运算 例2 (1)在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点分别为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),则+= (　 ) A.(-3,2) B.(-1,3) C.(-3,5) D.(-2,4) (2)已知向量a,b,c在正方形网格(规定小方格的边长为1)中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为　　　　.  总结反思 (1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 变式题 (1)已知a=(2,1),b=(-3,4),若表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c的坐标为 (　 ) A.(-15,31) B.(15,-31) C.(3,7) D.(-3,-7) (2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　.  　平面向量共线的坐标表示 例3 (1)[2025·南通押题卷] 已知两个不相等的向量a=(2,m+1),b=(2-4m,1),若a∥(2a-b),则m= (　 ) A. B.0 C.- D.- (2)已知平面四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为 (　 ) A. B. C.(3,2) D.(1,3) 总结反思 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式: ①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0; ②若a∥b(b≠0),则a=λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 变式题 (1)[2026·杭州学军中学开学考] 已知向量=(5,1),=(m,9),=(8,5).若A,C,D三点共线,则m= (　 ) A. B.-11 C.11 D.- (2)已知向量a=(2,1),b=(1,k).若(a+2b)∥ka,则实数k=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲　平面向量基本定理及坐标表示 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)不共线　任一　有且只有一对 (2)不共线　所有 2.互相垂直 3.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2)　(λx1,λy1) (2)(x2-x1,y2-y1) 4.x1y2-x2y1=0 【对点演练】 1.(5,5)　　[解析] 方法一:设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,所以B(5,5). 方法二:设O为坐标原点,因为=-,所以=+=(2,3)+(3,2)=(5,5),所以B(5,5). 2.(-2,-6)　[解析] 2a-3b=2(-1,0)-3(0,2)=(-2,-6). 3.a+b　[解析] 由题意,可得=+=+=+(-)=+=a+b. 4.②　[解析] 两个不共线的向量可以构成一个基底,①③④中e1与e2均共线,②中e1与e2不共线.故填②. 5.-1　　[解析] 因为a=(1,3λ),b=(2+λ,-3),且a∥b,所以3λ(2+λ)=1×(-3),解得λ=-1. 6.或(1,0)　[解析] 由点P在直线AB上,且||=2||,可得=2或=-2.当=2时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-,b=,此时点P的坐标为.当=-2时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).综上,点P的坐标为或(1,0). ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据条件,结合图形,得到=(+),再利用向量的线性运算,即可求解;(2)根据条件,可得=e1+e2,然后利用平面向量基本定理即可得解. (1)C　(2)B　[解析] (1)因为点F为DE的中点,所以=(+),又=,=3,所以=(+)=+(+)=++(-)=+.故选C. (2)在矩形ABCD中,因为点E为线段AD的中点,所以==,所以AF=AC,则有==(+)=+.因为AD=2,AB=,e1,e2分别是与,方向相同的单位向量,所以=2e2,=e1,则=+=e1+e2,又因为=k1e1+k2e2(k1,k2∈R),所以k1=,k2=.故选B. 变式题　(1)C　(2)a+b [解析] (1)因为=,所以D为BC的中点,所以=(+).因为=2,所以=,所以=+=-,所以+=(+)+-=-,所以λ=,μ=-,所以λ+μ=.故选C. (2)因为=,所以-=(-),所以=+,又D为AB边的中点,所以=+=a+b. 例2　[思路点拨] (1)将各点的坐标代入即可求解.(2)根据题意建立平面直角坐标系,然后表示出a,b,c的坐标,代入c=λa+μb(λ,μ∈R)中可求出λ,μ的值,从而可求得结果. (1)B　(2)-4　[解析] (1)因为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),所以+=[(3,2)+(-5,4)]=(-2,6)=(-1,3).故选B. (2)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(0,4)-(1,6)=(-1,-2),b=(7,2)-(1,6)=(6,-4),c=(2,0)-(7,2)=(-5,-2),所以λa+μb=λ(-1,-2)+μ(6,-4)=(-λ+6μ,-2λ-4μ),因为c=λa+μb(λ,μ∈R),所以(-5,-2)=(-λ+6μ,-2λ-4μ),所以 解得所以=-4. 变式题　(1)D　(2)　[解析] (1)由题得3a+4b=(-6,19),-3b=(9,-12),因为表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,所以3a+4b-3b+c=0,则c=(-3,-7).故选D. (2)不妨设AB=1,则CD=AD=2,以D为原点,DC,DA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),∵=λ+μ,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴解得故λ+μ=. 例3　[思路点拨] (1)根据向量的坐标运算得2a-b=(2+4m,2m+1),然后根据向量共线的坐标运算求得m=0或m=-,再代入验证即可求解. (2)设出点D的坐标,求出,的坐标,利用向量相等构造方程组求解. (1)C　(2)A　[解析] (1)因为向量a=(2,m+1),b=(2-4m,1),所以2a-b=(2+4m,2m+1),由a∥(2a-b)得2×(2m+1)-(m+1)×(2+4m)=0,所以m×(1+2m)=0,解得m=0或m=-.当m=0时,a=(2,1),b=(2,1),此时a=b,不符合题意;当m=-时,a=,b=(4,1),此时a≠b,符合题意.故选C. (2)设D(x,y),则=(x,y-2),=(4,3),因为=2,所以解得所以顶点D的坐标为.故选A. 变式题　(1)C　(2)0或 [解析] (1)因为向量=(5,1),=(m,9),=(8,5),所以=+=(m+5,10).因为A,C,D三点共线,所以∥,所以5(m+5)=8×10,解得m=11.故选C. (2)a+2b=(4,1+2k),ka=(2k,k),因为(a+2b)∥ka,所以(1+2k)·2k-4k=0,解得k=0或k=. 学科网（北京）股份有限公司 $