第4单元 12 第30讲 余弦定理、正弦定理应用举例（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦余弦定理、正弦定理的实际应用，覆盖测量距离、高度、角度三大核心考点，整合仰角、俯角、方位角等基础概念，按“概念梳理-题型突破-分层训练”逻辑架构知识体系，通过题组梳理（常识题巩固基础、常错题辨析易错点）、方法指导（总结解题步骤）、真题训练（例题与变式题实战）等环节，帮助学生系统突破应用难点。 资料以真实情境问题为载体，如例1测量基站距离引导学生用数学眼光抽象三角形模型，通过推理计算培养数学思维，设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反思总结，有效提升学生将实际问题转化为数学问题的能力，为教师精准把控复习节奏、高效提升学生应考技能提供有力支持。

第30讲　余弦定理、正弦定理应用举例 【课标要求】　能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫　　　　,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫　　　　(如图①).  2.方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角,范围为[0°,360°)(如图②). 3.方向角 从指定方向线到目标方向线所转过的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°,如图③). 4.坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面的夹角(如图④,角θ为坡角). (2)坡度:坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比(如图④,i为坡度). 题组一　常识题 1.[教材改编] 如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点间的距离为　　　　.  2.[教材改编] 如图所示,为测量某树的高度PQ,在地面上选取A,B两点,其中A,B,Q三点共线,从A,B两点测得树尖P的仰角分别为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则该树的高度为　　　　　　.  3.[教材改编] 已知两座灯塔A和B到海洋观察站C的距离都等于2 km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B间的距离为　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:仰角、俯角的概念不清致误;方向角、方位角的概念不清致误. 4.如图,在100 m高的楼顶A处,测得正西方向地面上B,C两点(B,C与楼底在同一水平线上)的俯角分别是75°和15°,则B,C两点之间的距离为　　　　.  5.点A在点B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,则点A的方位角是　　　　.  　测量距离问题 例1 如图,在某市地面有四个5G基站A,B,C,D.已知基站C,D建在江的南岸,距离为10 km,基站A,B建在江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则基站A,B之间的距离为 (　 ) A.10 km B.30(-1)km C.30(-1)km D.10 km 总结反思 测量距离问题的解题步骤: (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解,若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解; (2)确定用正弦定理还是余弦定理求解,如果都可用,那么就选择更便于计算的定理. 变式题 (1)位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是 (　 ) A.20海里 B.40海里 C.40海里 D.30海里 (2)小华为测量A,B(视为质点)两地之间的距离,选取C,D(与A,B在同一水平面上)两点进行测量,已知D在C的正东方向上,CD=2AD=40米,A在C的北偏东60°方向上,B在D的南偏西30°方向上,BD=30米,则A,B两地之间的距离是 (　 ) A.40米 B.10米 C.10米 D.60米 　测量高度问题 例2 (1)某船在海面上航行至A处,测得山顶P位于其正西方向,且仰角为45°,该船继续沿南偏东30°的方向航行600米至B处,测得山顶P的仰角为30°,则该山顶高于海面 (　 ) A.300米 B.400米 C.500米 D.600米 (2)如图,小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度,他在自己家阳台M处测得M到楼地面底部点N的距离MN为40(2-)m,假设电视塔底部为点E,顶部为点F,在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P,且E,N,P三点共处同一水平线,EF,MN和点P在同一平面内,在P处测得阳台M、电视塔顶部F的仰角分别是α=15°和β=60°,在阳台M处测得电视塔顶部F的仰角γ=45°,则小明测得的电视塔的高度EF为 (　 ) A.120 m B.90 m C.40 m D.(80-120) m 总结反思 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线之间的夹角. (2)要根据题意正确画出图形,同时空间图形和平面图形要区分开,以免影响解答. 变式题 [2025·福建部分优质高中4月适应性模拟] 如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D,现测得 ∠CDB=37°,∠BCD=68°,CD=40米,在点C处测得塔顶A的仰角为64°,则该铁塔的高度约为 (　 ) (参考数据:≈1.4,≈2.4,tan 64°≈2.0,cos 37°≈0.8) A.40米 B.42米 C.51米 D.60米 　测量角度问题 例3 某渔船在航行过程中不幸遇险,发出求救信号,我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10海里的C处,并测得该渔船正沿方位角为105°的方向以10海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以10海里/时的速度沿直线前去营救,恰好在B处追上渔船,求舰艇航行的方位角和追上渔船所需的时间.     总结反思 (1)先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键和最主要的一步. (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,再确定使用正弦定理还是余弦定理解决问题. 变式题 (1)一艘巡逻舰从海岛A出发,沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,然后从海岛B出发,沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的方向和距离分别为 (　 ) A.北偏东80°,20(+)海里 B.北偏东65°,20(+)海里 C.北偏东65°,20(+2)海里 D.北偏东80°,20(+2)海里 (2)(多选题)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°,距离为12 n mile处,测得灯塔C在北偏西30°,距离为8 n mile处.货轮由A处向正北方向航行到D处时,测得灯塔B在南偏东60°方向上,则下列说法正确的是 (　 ) A.A与D之间的距离是24 n mile B.C与D之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D的南偏西30°方向上 D.D在灯塔B的北偏西30°方向上 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲　余弦定理、正弦定理应用举例 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.仰角　俯角 【对点演练】 1.50 m　[解析] 在△ABC中,由正弦定理得=, 又∠CBA=180°-45°-105°=30°,所以AB===50(m). 2.(30+30)m　[解析] 由题意知∠APB=45°-30°, 所以sin∠APB=sin(45°-30°)=×-×=.由正弦定理得=,所以PB===30(+)m,所以该树的高度为30(+)sin 45°=(30+30)m. 3.2 km　[解析] 依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,所以由余弦定理得AB==2(km). 4.200 m　[解析] 由题意得BC=-=100×=100×, 又tan 15°tan 75°=·=·=1,所以BC=100×2=200(m). 5.200°　[解析] 根据方位角的概念可得点A的方位角为200°. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 在△ACD中,利用∠ADC=30°,∠ACD=120°,得到∠ADC=∠CAD,求出AC,在△BCD中,利用正弦定理求出BC,在△ABC中,利用余弦定理求出AB. D　[解析] 因为∠ADC=30°,∠ACB=75°,∠ACD=120°,所以∠BCD=45°,∠CAD=30°.在△ACD中,因为∠ADC=∠CAD=30°,所以AC=CD=10.在△BDC中, ∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°,由正弦定理得BC==5+5.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠ACB=(10)2+(5+5)2-2×10×(5+5)cos 75°=500,所以AB=10,即基站A,B之间的距离为10 km,故选D. 变式题　(1)B　(2)C　[解析] (1)依题意,画出示意图如图,其中PM=40,∠MPC=135°, ∠CMP=90°-75°=15°,在△PMC中,∠PCM=30°,由正弦定理得=,因此MC==40,所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40海里.故选B. (2)如图,由题可得CD=40,AD=20,BD=30,∠ACD=30°,∠CDB=60°. 由=,得sin∠DAC===1,故∠DAC=90°, 则∠ADC=180°-90°-30°=60°,则∠ADB=120°,故AB== 10.故选C. 例2　[思路点拨] (1)设山顶高于海面h米,由已知求得AC,BC,在△ABC中利用余弦定理求解即可得h的值.(2)根据题意可得PM=,在△FPM中利用正弦定理可求得PF=,进而在Rt△PEF中可求得EF. (1)D　(2)A [解析] (1)由题可画出示意图如图,其中PC⊥平面ABC,∠PAC=45°,∠PBC=30°, ∠CAB=120°.设山顶高于海面h米,由题意得AC==h,BC==h,在△ABC中,因为AB=600,∠CAB=120°,所以由余弦定理得BC2=AC2+ AB2-2AC·AB·cos 120°,即(h)2=h2+6002-2×h×600×,即2h2-600h-360 000=0,解得h=600或h=-300(舍去),所以该山顶高于海面600米.故选D. (2)在Rt△PMN中,PM=.在△FPM中,∠FMP=45°+15°=60°, ∠FPM=180°-60°-15°=105°,则∠MFP=180°-105°-60°=15°,由正弦定理得=,则PF=·PM=·=×=.在Rt△PEF中,EF=PF·sin 60°=·sin 60°=×=120.故选A. 变式题　C　[解析] 在△CDB中,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-37°-68°=75°, 则sin∠CBD=sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=,sin∠CDB= sin 37°=≈0.6,由正弦定理得=,可得BC=.在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=≈≈51,所以该铁塔的高度约为51米.故选C. 例3　[思路点拨] 设所需时间为t小时,用t表示出AB和CB,在△ABC中应用余弦定理可求出t,再用正弦定理可求出∠CAB,进而可得方位角. 解:如图所示,设所需时间为t小时,则AB=10t海里,CB=10t海里,在△ABC中, ∠ACB=45°+(180°-105°)=120°,由余弦定理得AB2=AC2+CB2-2AC·CB·cos 120°, 即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,整理得2t2-t-1=0,可得t=1,所以AB=10海里,CB=10海里.在△ABC中,由正弦定理得=,所以sin∠CAB= ==,所以∠CAB=30°,所以舰艇航行的方位角为75°,追上渔船所需的时间为1小时. 变式题　(1)B　(2)AC　[解析] (1)如图,依题意知,在△ABC中, ∠ABC=70°+35°=105°,AB=40海里,BC=40海里,所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos ∠ABC=402+(40)2-2×40×40×=3200+1600,所以AC==20(+)(海里).由正弦定理得=, 所以sin∠CAB=,又因为∠CAB为锐角,所以∠CAB=45°,所以航行的方向和距离分别为北偏东65°,20(+)海里.故选B. (2)如图,由题意可知∠ADB=60°, ∠BAD=75°, ∠CAD=30°, AB=12,AC=8,所以B=180°-60°-75°=45°.在△ABD中,由正弦定理得=,所以AD==24,故A正确;在△ACD中,由余弦定理得CD=,即CD== 8,故B错误;由B项知CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D的南偏西30°方向上,故C正确;由∠ADB=60°,得D在灯塔B的北偏西60°方向上,故D错误.故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $