第4单元 07 第27讲 函数y=Asin（ωx+φ）及三角函数模型的应用（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型应用，覆盖图象变换、参数意义、解析式确定、性质综合及实际应用等高考核心考点，按基础作图、参数概念、变换规律、综合应用的逻辑层次组织，通过课标解读、表格梳理、题组训练、例题精讲等环节系统突破难点。 资料以分层教学和核心素养为特色，如用五点法作图培养数学思维，对比图象变换平移量差异强化逻辑推理，结合摩天轮问题引导用数学语言构建模型，设置基础到综合变式题，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第27讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.　　　　 0　　π　　2π 2.|φ|　 3.　　ωx+φ　φ 【对点演练】 1.2,,-　[解析] 由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin的振幅为2,频率为,初相为-. 2.π,,4π,,7π　[解析] 当x-分别取0,,π,,2π时,x的值分别为π,,4π,,7π,故用“五点法”作图时,描出的五个点的横坐标依次是π,,4π,,7π. 3.　[解析] 由于函数y=2sin=2sin 2,故把y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y=2sin的图象. 4.y=10sin+20,x∈[6,14] [解析] 从题图中可以看出,6~14时的温度变化曲线是函数y=Asin(ωx+φ)+b在半个周期内的图象,所以A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,又×=14-6,所以ω=.又×10+φ=2kπ,k∈Z,0<φ<π,所以φ=,所以所求解析式为y=10sin+20,x∈[6,14]. 5.右　　[解析] y=2cos=2cos 2,故将函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数y=2cos的图象. 6.-1或-5　[解析] 由f=f得,直线x=为函数f(x)的图象的一条对称轴,故当x=时,函数f(x)取得最大值或最小值,则-2+m=-3或2+m=-3,解得m=-1或m=-5. 7.　[解析] 设f(x)的最小正周期为T,由题图可得A==3,=-=,解得T=.又T=,解得ω=3.因为f(x)的图象经过点,所以3=3sin,即+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,故φ=-,故f(x)=3sin,所以f=3sin=. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)利用三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解;(2)利用图象平移法则及诱导公式,得到将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为y=sin,再结合条件得到+=2kπ,k∈Z,即可求解. (1)C　(2)A　[解析] (1)将函数f(x)=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象对应的函数解析式为y=sin=sin,再将所得图象向左平移个单位长度,则得到的图象对应的函数解析式为y=sin=sin.故选C. (2)将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,得到y=cos=cos=sin=sin的图象,由题知+=2kπ,k∈Z,即ω=-2+6k,k∈Z,又ω>0,故取k=1,可得ω的最小值为4,故选A. 变式题　(1)C　(2)B　[解析] (1)对于A,将y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将y=sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故A错误;对于B,将y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将y=sin的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故B错误;对于C,将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin 2=sin的图象,故C正确;对于D,将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象,再将y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,故D错误.故选C. (2)由题意知g(x)=f(x+φ)=sin,要使g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则g(x)=f(-x)=sin=sin,所以2φ+=+2kπ,k∈Z,故φ=+kπ,k∈Z,又φ>0,所以φmin=,故选B. 例2　[思路点拨] (1)由题图可知A以及函数f(x)的最小正周期T的值,利用周期公式可求得ω的值,然后将点的坐标代入函数f(x)的解析式,结合φ的取值范围求出φ的值,由此可得出函数f(x)的解析式;(2)根据A,B两点间的距离以及三角函数的性质求出ω,结合f(x)的图象过点求出φ,进而确定f(x)的解析式,从而求出f的值. (1)D　(2)-　[解析] (1)由题图可得A=2,函数f(x)的最小正周期T=2×=,∴ω==.将点的坐标代入函数f(x)的解析式得f=2cos=2,得cos=1,∵-<φ<,∴-<φ+<,则φ+=0,∴φ=-,∴f(x)=2cos.故选D. (2)设A,B,由|AB|=可得x2-x1=,令cos(ωx+φ)=,得ωx+φ=+2kπ或ωx+φ=-+2kπ,k∈Z,结合题图可知(ωx2+φ)-(ωx1+φ)=ω(x2-x1)=,故ω×=,∴ω=2,∴f(x)=cos(2x+φ).由题图可知f=cos=0,结合图象呈现的函数特征,可得+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,∴f(x)=cos,k∈Z,∴f(x)=cos, 故f=cos=cos=-. 变式题　(1)A　(2)　[解析] (1)由题图知f(0)=1,所以sin φ=.因为-<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin(ω>0).作出正弦函数y=sin x的图象,如图,-=,=,设函数f(x)=2sin的最小正周期为T,f(x)的图象与曲线y=sin x类比,可知x0-0=T,即x0=×=.因为x0≤π,所以≤π,所以ω≥,所以ω的最小值为.故选A. (2)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知=5-2=3,则T=12,所以ω==,所以f(x)=Asin.由f(5)=Asin=0及题图,得+φ=2kπ+π,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,则f(x)=Asin.因为f(0)=Asin=,所以C,故=,=,故·=-10+=0,解得A=2或A=-2(舍去),所以f(x)=2sin,所以f(4)=. 例3　[思路点拨] (1)根据表中数据可得函数f(x)的最值、最小正周期和取得最值时的x的值,进而可得答案;(2)借助正弦函数图象的对称中心与正弦函数的单调递增区间求解即可;(3)由条件可得sin≤,然后解不等式即可. 解:(1)由题意知A=2,×=-,故ω=3,又3×+φ=,故φ=-,表中数据补充完整为: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 2 0 -2 0 f(x)的解析式为f(x)=2sin. (2)令3x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z. 令2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (3)由f(x)=2sin≤1可得sin≤,所以2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得x∈,k∈Z,所以使f(x)≤1成立的x的取值范围为,k∈Z. 变式题　BCD　[解析] f(x)=Asin2(ωx+φ)-1=-cos(2ωx+2φ)+-1,因为f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为6,所以=12,得ω=,故B正确;因为f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为10,所以=10,可得A=8,故A错误;由f(0)=-4cos 2φ+3=1,得cos 2φ=,因为0<φ<,所以0<2φ<π,可得2φ=,故φ=,则f(x)=-4cos+3,令x+=kπ,k∈Z,得x=-2+6k,k∈Z,则f(x)图象的对称轴方程为x=-2+6k,k∈Z,故C正确;由x∈[-5,2],得x+∈,所以cos∈,则f(x)∈[-1,5],故D正确.故选BCD. 例4　[思路点拨] (1)建立直角坐标系,根据已知条件结合三角函数即可得到H关于t的解析式;(2)根据(1)的结果,把t=5代入即可求解;(3)根据(1)的结果,结合题意分别计算经过t min后甲、乙距离地面的高度H1和H2,并利用参考公式化简高度差函数,根据t的取值范围,结合三角函数的性质,即可求解. 解:(1)如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.当t=0 min时,游客甲位于点P(0,-55),取以O为顶点,以Ox为始边,以OP为终边的角为-.根据摩天轮转一周大约需要30 min,可知座舱转动的角速度约为 rad/min, 由题意可得H=55sin+65,0≤t≤30. (2)当t=5时,H=55sin+65=37.5, 所以游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m. (3)如图,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示,则∠AOB==. 经过t min后甲距离地面的高度为H1=55 sin+65,点B相对于点A始终落后 rad,此时乙距离地面的高度为H2=55sin+65,则甲、乙距离地面的高度差h=|H1-H2|=55=55,利用sin θ+ sin φ=2sincos,可得h=110,0≤t≤30.当t-=,即t≈7.8(或t≈22.8)时,h的最大值为110sin≈7.2,所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m. 变式题　(1)B　(2)AD　[解析] (1)当x∈[6,16]时,x-∈.由y=10sin+25=20,得sin=-,所以x-=-,解得x=≈8.7(时).由y=10sin+25=30,得sin=,所以x-=,解得x=≈11.3(时),故在6时~16时中,赏花的最佳时段大致为8.7时~11.3时. (2)由题可知,从筒车开始转动到盛水筒第一次到达入水点P1,盛水筒转过的角度小于π,又筒车转动的角速度为2 rad/min,故0<t<,故A正确;由题意可得,盛水筒到水面的距离d(单位:m)与经过的时间x(单位:min)之间的函数关系为d=3sin+1,令d=0,得3sin+1=0,解得sin=-,故sin=-<0,又0<t<,∴π<2t+<,∴cos=-,∴cos 2t=cos=coscos+sinsin=-×+×=-,故D正确;∵0<t<,∴0<2t<π,∴sin 2t==,故C错误;由cos 2t=1-2sin2t, 可得sin t=,故B错误.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用 【课标要求】　1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如表所示: x 　　  　　  　　  　　  　　  ωx+φ 　  　　  　　  　　  　　  y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 3.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=　 　  f==　　 　  　  　  题组一　常识题 1.[教材改编] 函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为　　　　　　.  2.[教材改编] 用“五点法”作y=2sin的图象时,描出的五个点的横坐标依次是　　　　　　　　.  3.[教材改编] 为了得到函数y=2sin的图象,只需把y=2sin 2x的图象向右平移　　　　个单位长度.  4.[教材改编] 如图,某地一天6~14时的温度变化曲线为函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一部分,则这段曲线的函数解析式为　　　　　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:搞错图象应平移多少个单位长度致误;不能正确理解三角函数图象对称性的特征致误;不能准确确定函数解析式致误. 5.为了得到函数y=2cos的图象,可以将函数y=2cos 2x的图象向　　　　平移　　　　个单位长度.   6.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数x都有f=f,且f=-3,则实数m=　　　　.  7.已知f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.  　函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 例1 (1)将函数f(x)=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度,则得到的图象对应的函数解析式为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=sin B.y=cos 2x C.y=sin D.y=-sin 8x (2)[2025·湖北“新八校”协作体5月联考] 将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后与函数g(x)=sin ωx的图象重合,则ω的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.5 C.6 D.8 总结反思 由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;先伸缩再平移,平移的量是个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x,y而言的,例如左右平移时,依赖于x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值. 变式题 (1)函数y=sin的图象可以由 (　 ) A.y=sin x的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到 B.y=sin x的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到 C.y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把所得图象向右平移个单位长度得到 D.y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象向左平移个单位长度得到 (2)已知函数f(x)=sin,将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则φ的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式 例2 (1)[2025·广西玉林重点中学二联] 已知f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)= (　 ) A.2cos B.2cos C.2cos D.2cos (2)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),如图,点A,B是直线y=与函数f(x)的图象的两个交点,若|AB|=,则f=　　　　.  总结反思 根据三角函数的图象求解析式,关键在于对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑: (1)根据最大值或最小值求出A的值. (2)根据最小正周期求出ω的值. (3)求φ的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入;②五点法,确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 变式题 (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中x0≤π,则ω的最小值为 (　 ) A. B. C.2 D. (2)[2025·泉州四校模拟] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,f(x)的图象与y轴交于点C,且D(5,0),B(2,A),·=0,则f(4)=　　　　.  　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合问题 例3 [2025·陕西西安中学二模] 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 2 0 -2 0 (1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式; (2)求f(x)图象的对称中心与f(x)的单调递增区间; (3)当x∈R时,求使f(x)≤1成立的x的取值范围.     总结反思 三角函数的图象与性质综合问题的求解思路: (1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acos(ωx+φ)+B(ω>0)的形式; (2)把ωx+φ看成一个整体; (3)借助正弦函数y=sin x或余弦函数y=cos x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. 变式题 (多选题)已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)-1的图象与y轴交于点(0,1),两条相邻对称轴之间的距离为6,且相邻的最高点与最低点之间的距离为10,则 (　 ) A.A=10 B.ω= C.f(x)图象的对称轴方程为x=-2+6k,k∈Z D.f(x)在[-5,2]上的取值范围为[-1,5] 　三角函数模型的简单应用 例4 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面的高度为120 m,转盘直径为110 m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min后距离地面的高度为H m,求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式; (2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度; (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到0.1). 参考公式与数据:sin θ+sin φ=2sin·cos;cos θ-cos φ=-2sinsin;sin≈0.065.     总结反思 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键: (1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.(2)当函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型. 变式题 (1)时钟花原产于南美洲热带,我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律,其开花时间与气温密切相关,开花时所需气温约为20 ℃,气温上升到约30 ℃开始闭合,在花期内,时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花,该景区6时~16时的气温y(℃)随时间x(时)的变化趋势近似满足函数y=10sin+25,则在6时~16时中,赏花的最佳时段大致为 (　 ) A.7.3时~11.3时 B.8.7时~11.3时 C.7.3时~12.7时 D.8.7时~12.7时 (2)(多选题)如图,水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1 m,筒车的半径是3 m,盛水筒的初始位置为P0,OP0与水平正方向的夹角为.若筒车以角速度2 rad/min沿逆时针方向转动,筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间为t min,则下列说法中正确的是 (　 ) A.0<t< B.sin t= C.sin 2t=- D.cos 2t=- 学科网（北京）股份有限公司 $