第4单元 04 第25讲 简单的三角恒等变换（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义围绕简单的三角恒等变换高考核心考点，依据课标要求，按三角函数式化简、求值（给值求值、给角求值、给值求角）、综合应用及实际应用的逻辑层次展开，通过考点梳理（如“三看”化简原则）、方法指导（变角、弦切互化等策略）、真题训练（含新课标Ⅱ卷等真题例题）等环节，帮助学生系统突破恒等变换难点。 讲义采用分层递进教学法，通过例题与变式题的梯度设计（如给值求值中变角技巧应用），培养学生数学思维中的推理能力，在实际应用（如矩形花园花圃问题）中引导用数学语言表达现实问题，提升模型意识。设置总结反思与即时练习结合的复习策略，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升应考能力。

第25讲　简单的三角恒等变换 【课标要求】　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 　三角函数式的化简 例1 (1)化简: =　　　　.  (2)化简:(tan 12°tan 6°+1)·=　　　　.  总结反思 1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则: ①一看“角”;②二看“函数名称”;③三看“结构特征”. 2.三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次. 变式题 (1)化简:2+= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2 (2)化简:①=　　　　;②-2cos(α+β)=　　　　.  　三角函数式的求值 角度1　给值求值 例2 (1)[2025·武汉4月调研] 若tan=7,则cos 2α的值为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  总结反思 给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键是“变角”,使角相同或具有某种关系. 变式题 (1)已知sin=-,则sin= (　 ) A. B.- C. D.- (2)[2025·安徽合肥二模] 已知=,则sin4θ+cos4θ= (　 ) A. B. C. D. 角度2　给角求值 例3 [2025·湖北武汉5月模拟] sin 40°·(tan 10°-)=　　　　.  总结反思 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 计算:(1+tan 13°)(1+tan 17°)(1+tan 28°)(1+tan 32°)= 　　　　.  角度3　给值求角 例4 已知cos=,α∈. (1)求cos α的值; (2)若tan(α+β)=,β∈,求β的值.     总结反思 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则: (1)已知正切函数值,则选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数. 若角的取值范围是,则选正、余弦函数皆可;若角的取值范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的取值范围为,则选正弦函数较好. 变式题 (1)[2025·福建漳州二检] 已知α∈,若sin+cos=0,则α= (　 ) A. B. C. D. (2)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β= (　 ) A. B. C. D. 　三角恒等变换的综合应用 例5 已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=. (1)求cos(α-β)的值; (2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α的值.     总结反思 (1)进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用. (2)把y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ)的形式,可进一步研究函数的周期性、单调性、最值等. 变式题 已知函数f(x)=sin+·cos. (1)求函数f(x)在区间上的最值; (2)若cos θ=,θ∈,求f的值.     　三角恒等变换的实际应用 例6 [2026·唐山五校联考] 如图,矩形花园ABCD中,AB=2,AD=,H是AB的中点,在该花园中有一花圃,其形状是以H为直角顶点的Rt△HEF,其中E,F分别落在线段BC和线段AD上,记∠BHE=θ,Rt△EHF的周长为L,Rt△EHF的面积为S. (1)求S的取值范围. (2)当θ为何值时,L的值最小?并求L的最小值.   总结反思 应用三角恒等变换解决实际问题的步骤 变式题 某地进行老旧小区改造,有半径为60米,圆心角为的一块扇形空置地(如图),现欲从中规划出一块三角形绿地PQR,其中P在上,PQ⊥AB,垂足为Q,PR⊥AC,垂足为R,设∠PAB=α,α∈. (1)求PQ,PR(用α表示); (2)当P在上运动时,求这块三角形绿地的最大面积以及取到最大面积时α的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲　简单的三角恒等变换 ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)分子化为完全平方式,分母利用切化弦及诱导公式变形后,再利用二倍角的正弦、余弦公式以及诱导公式化简即可;(2)根据同角三角函数的基本关系化切为弦,化简整理后结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系计算可得结果. (1)cos 2x　(2)tan 12° [解析] (1)原式=====cos 2x. (2)(tan 12°tan 6°+1)·==sin 12°=sin 12°==tan 12°. 变式题　(1)B　(2)①　② [解析] (1)2+= 2+ =2+ =2|sin 2+cos 2|+2|cos 2|.∵<2<,∴cos 2<0.∵sin 2+cos 2=sin,<2+<π,∴sin 2+cos 2>0,∴原式=2(sin 2+cos 2)-2cos 2=2sin 2,故选B. (2)①原式==·=· =. ②原式=== ==. 例2　[思路点拨] (1)根据已知条件及两角和的正切公式求出tan α,再根据二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系将cos 2α化为关于tan α的式子,代入正切值即可求解.(2)思路一:根据两角和的正切公式得tan(α+β)=-2,再缩小α+β的取值范围,最后结合同角三角函数的平方关系即可得到答案;思路二:利用弦化切的方法及两角和的正弦公式即可得到答案. (1)A　(2)-　[解析] (1)由tan=7,可得=7,即=7,解得tan α=,所以cos 2α====.故选A. (2)方法一:由题得tan(α+β)===-2.∵2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,π+2k2π<β<+2k2π,k2∈Z,∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,即π+2kπ<α+β<2π+2kπ,k∈Z,∴sin(α+β)=-. 方法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴cos α>0,cos β<0, cos α==,cos β==, 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β= ===-. 变式题　(1)D　(2)C　[解析] (1)因为sin=-,所以sin=-sin=-sin=-cos 2=-=2×-1=-.故选D. (2)因为=, 所以=, 所以=, 所以=,所以sin 2θ=-,所以2sin θcos θ=-,所以sin θcos θ=-,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=,故选C. 例3　[思路点拨] 先切化弦、通分,再根据两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式和诱导公式即可求解. -1　[解析] 原式=sin 40°=sin 40°·= sin 40°·==-=-=-1. 变式题　4　[解析] ∵1=tan 45°=tan(13°+32°)=,∴tan 13°+tan 32°=1- tan 13°tan 32°,即tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32°=1,∴(1+tan 13°)(1+tan 32°)=1+tan 13°+ tan 32°+tan 13°tan 32°=2,同理可得(1+tan 17°)(1+tan 28°)=2,∴(1+tan 13°)(1+ tan 17°)(1+tan 28°)(1+tan 32°)=4. 例4　[思路点拨] (1)根据α∈,得到α+∈,结合同角三角函数的平方关系求得sin的值,然后由两角差的余弦公式求解即可;(2)由(1)可知tan α=,然后由两角差的正切公式求解tan β的值,进而可得β的值. 解:(1)因为α∈,所以α+∈,又cos=,所以sin=,所以 cos α=cos=coscos+sinsin=×+×=. (2)由(1)可知tan α=,所以tan β=tan(α+β-α)===, 因为β∈,所以β=. 变式题　(1)A　(2)A　[解析] (1)由题意知sin+cos=-cos 2α+cos=0,即cos 2α=cos,即cos2α-sin2α=(cos α+sin α).因为α∈,所以cos α+sin α>0,所以cos α-sin α=,即cos=.因为α∈,所以α+∈,所以α+=,所以α=,故选A. (2)∵sin 2α=2sin αcos α=>0,∴sin α,cos α符号相同,又α∈,∴α∈,∴2α∈.由sin 2α=可得cos 2α=-,又β∈,∴β-α∈,又sin(β-α)=>0,∴β-α∈,∴cos(β-α)=-,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=×-×=.由α∈,β∈,得α+β∈,∴α+β=,故选A. 例5　[思路点拨] (1)结合平面向量减法运算的坐标表示以及模长的坐标公式可得=,进而通过两边同时平方结合同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果;(2)结合角的取值范围以及同角三角函数的平方关系求出sin(α-β)和cos β的值,进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出结果. 解:(1)因为向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),所以a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β), 又因为|a-b|=,所以=, 即cos2α+cos2β-2cos αcos β+sin2α+sin2β-2sin αsin β=, 即2-2cos(α-β)=, 所以cos(α-β)=. (2)因为0<α<,-<β<0,所以0<α-β<π,所以sin(α-β)==. 因为sin β=-,-<β<0,所以cos β==, 所以sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×+×=. 变式题　解:(1)由题意得f(x)=sin+cos=×=-sin. 因为x∈,所以x-∈,所以sin∈,所以-sin∈, 故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-. (2)因为cos θ=,θ∈, 所以sin θ=-,所以sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-=, 所以f=-sin=-sin=-(sin 2θ-cos 2θ)=(cos 2θ- sin 2θ)=×=. 例6　[思路点拨](1)首先利用θ的三角函数表示HE和HF,再结合三角形的面积公式、二倍角公式以及角θ的取值范围,即可求面积S的取值范围;(2)根据(1)得到HE,HF,利用勾股定理得到FE,表示出Rt△EHF的周长L,利用换元法,令sin θ+cos θ=t,将L转化为关于t的函数,结合t的取值范围求最值即可. 解:(1)由题图可知,在Rt△HBE中,HE=,在Rt△HAF中,HF=,∴S=HE·HF=··=. 由≤θ≤得≤2θ≤, ∴sin 2θ∈,∴S∈. (2)由(1)知HE=,HF=,在Rt△EHF中,FE==,∴L=++=. 令sin θ+cos θ=t,则sin θ·cos θ=(t2-1),其中t=sin, ∵≤θ≤,∴≤θ+≤, ∴≤sin≤1, ∴t∈. ∵L==且t-1∈,∴当t=,即θ=时,Rt△EHF的周长L取得最小值2(+1). 变式题　解:(1)在Rt△PAQ中,∠PAQ=α,AP=60米, 所以PQ=APsin α=60sin α(米). 又∠BAC=,所以∠PAR=-α,在Rt△PAR中,可得PR=APsin∠PAR=60sin(米). (2)由题可知∠QPR=, 所以△PQR的面积S=·PQ·PR·sin∠QPR=×60sin α×60sin×sin= 900sin αsin= 900sin α= 450=450, 因为α∈,所以2α+∈,故当2α+=,即α=时,△PQR的面积有最大值,即三角形绿地的最大面积是225平方米,此时α=. 学科网（北京）股份有限公司 $