第4单元 03 第24讲 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义围绕三角恒等变换核心考点，以两角差余弦公式为起点推导和差、倍角公式，构建公式内在联系网络。通过公式梳理、常用结论总结、题组训练（常识题+常错题）、真题例题精讲及变式巩固，系统突破公式应用难点，体现复习的针对性。 讲义突出角的变换与公式活用技巧，如通过“α=(α+β)-β”拆角训练培养数学思维，结合新课标卷真题讲解公式逆用。设置分层题组与即时反馈，保障复习效果，助力学生提升推理运算能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第24讲　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β (2)cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β (3)　 3.(1)2sin αcos α　(2)cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α　(3) 【对点演练】 1.　[解析] 方法一:cos 72°cos 12°+cos 18°sin 12°=cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12° =cos(72°-12°)=cos 60°=. 方法二:cos 72°cos 12°+cos 18°sin 12°=sin 18°cos 12°+cos 18°sin 12°=sin(18°+12°)= sin 30°=. 2.-3　-　[解析] 由tan θ=2,得tan===-3,tan 2θ===-. 3.　　　[解析] ∵cos(π-α)=,∴cos α=-,∵α是第三象限角,∴sin α<0,∴sin α=-=-=-,∴sin=sin αcos-cos αsin=×-×=, sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=. 4.-1　[解析] 由(1+tan α)(1-tan β)=2,可得1-tan β+tan α-tan αtan β=2,即tan α-tan β=1+ tan αtan β,所以tan(β-α)==-1. 5.-　[解析] 由题意知cos=cos=-cos=-cos=-=-=-. 6.　[解析] = =tan(45°-15°)=tan 30°=. 7.　[解析] 由题意知tan(α+β)===-1,因为α,β均为锐角,所以0<α+β<π,所以α+β=. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)结合tan αtan β的值可得cos αcos β,sin αsin β的关系,根据两角和与差的余弦公式可求得cos(α-β)的值.(2)思路一:利用二倍角的余弦公式求出cos α,结合α的取值范围及平方关系得到sin α,最后根据两角差的正弦公式即可求解;思路二:先根据α的取值范围确定的取值范围,结合平方关系得到sin,再利用二倍角公式得到sin α,cos α,最后根据两角差的正弦公式即可求解.(3)将已知条件两边平方,结合同角三角函数的基本关系求得sin αcos α的值,进而判断sin α,cos α的符号,结合(cos α+sin α)2+(cos α-sin α)2=2,求得cos α-sin α的值. 思路一:利用切化弦及二倍角公式化简tan 2α,即可求解; 思路二:分别求出sin α,cos α的值,即可求得tan α,再利用二倍角公式,即可求解. (1)A　(2)D　(3) [解析] (1)∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β,又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A. (2)方法一:∵cos=,∴cos α=2cos2-1=-,又∵0<α<π,∴sin α=,则sin=(sin α- cos α)=×=. 方法二:由0<α<π可知0<<,∴sin==,∴sin α=2sincos=2××=, cos α=cos2-sin2=-=-,∴sin=sin αcos -cos αsin=×-×=. (3)由cos α+sin α=,两边平方得cos2α+2sin αcos α+sin2α=,故sin αcos α=-<0,又α∈,故sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0,又(cos α+sin α)2+(cos α-sin α)2=2, 所以cos α-sin α=-. 方法一:tan 2α=====. 方法二:由cos α-sin α=-和sin α+cos α=,解得cos α=,sin α=,故tan α==,则tan 2α=====. 变式题　(1)D　(2)A　(3) [解析] (1)由倍角公式可知cos α=1-2sin2,则sin2===.因为α为锐角,所以∈,则0<sin<,所以sin=,故选D. (2)由α+β=-,可得tan(α+β)=-1,即=-1,化简整理得tan α+tan β=tan α·tan β-1.(1- tan α)(1-tan β)=1-tan α-tan β+tan α·tan β=1-(tan α+tan β)+tan α·tan β,将tan α+tan β=tan α ·tan β-1代入,得(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α·tan β-1)+tan α·tan β=1-tan α·tan β+1+tan α· tan β=2.故选A. (3)因为tan α,tan β是方程x2+px+p-1=0(p>2)的两根,所以由根与系数的关系可得tan α+ tan β=-p,tan α·tan β=p-1,故====. 例2　[思路点拨] (1)将(2-tan α)(2+tan β)=5展开整理,再根据两角差的正切公式求解即可.(2)思路一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公式对已知等式进行化简可求出α-β,进而判断即可;思路二:根据等式恒成立,取角α,β为特殊角分别判断各选项即可.(3)对于A,逆用二倍角的正弦公式即可求值.对于B,逆用两角和的余弦公式即可求值.对于C,思路一:利用两角和的正切公式取特殊值求值;思路二:把化成,再逆用两角和的正切公式即可求值;对于D,先变形,再逆用二倍角的正弦公式,结合诱导公式即可求值. (1)B　(2)C　(3)ABD [解析] (1)由(2-tan α)(2+tan β)=5,得4+2tan β-2tan α-tan αtan β=5,整理得2(tan β- tan α)=1+tan αtan β,则tan (α-β)==-.故选B. (2)方法一:由sin(α+β)+cos(α+β)=sin=2cossin β,可知sin=2cossin β,即sincos β+cossin β=2cossin β,即sincos β-cossin β=0,即sin=0,所以α-β+=kπ,k∈Z,所以α-β=-+kπ,k∈Z,所以tan(α-β)=tan=-1,k∈Z,故选C. 方法二:取β=0,则sin α+cos α=0,取α=π,则tan(α+β)=tan(α-β)=tanπ=-1,排除B,D;取α=0,则sin β+cos β=2sin β,即sin β=cos β,取β=,则tan(α+β)=tan=1,排除A.故选C. (3)对于A,逆用二倍角的正弦公式,可得4sin 15°cos 15°=2×2sin 15°cos 15°= 2sin 30°=2×=1,A正确. 对于B,逆用两角和的余弦公式,可得2(cos 46°cos 14°-sin 46°sin 14°)=2cos(46°+14°)= 2cos 60°=1,B正确. 对于C,方法一:利用两角和的正切公式tan(A+B)=,令A=45°,B=15°,则tan(45°+15°)=tan 60°==,C错误; 方法二:==tan(45°+15°)=tan 60°=,C错误. 对于D,逆用二倍角的正弦公式,得8cos 20°cos 40°cos 80°== ===1,D正确.故选ABD. 变式题　(1)C　(2)-　[解析] (1)由-=4, 可得λ=cos 10°==== =,故选C. (2)由cos αsin(α-β)-sin αcos(β-α)=,得-sin(β-α)cos α-cos(β-α)sin α=, 则sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=-,所以sin β=sin[(β-α)+α]=-. 例3　[思路点拨] (1)先根据已知条件判断α的取值范围,再根据同角三角函数的平方关系求出sin α,进而判断α+β的取值范围,求出cos(α+β)后结合β=(α+β)-α及两角差的余弦公式即可求解;(2)由已知条件得tan(α+β)=6,利用配角变换得tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)],再利用两角和的正切公式即可求解. (1)B　(2)D　[解析] (1)由α∈(0,π),0<cos α=<,可得α∈, 则sin α===.因为0<sin(α+β)=<,α+β∈,所以<α+β<π,故cos(α+β)=-=-=-, 所以cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-,故选B. (2)因为tan(α-β)=3, 所以=·=tan(α+β)tan(α-β)=3tan(α+β)=18,解得tan(α+β)=6,故tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-.故选D. 变式题　(1)　(2)- [解析] (1)因为cos=cos,所以cos=cos,即sin=cos,所以tan=,则tan α=tan==. (2)∵α=+,β=-,cos α=λcos β,∴cos=λcos,展开整理得(1-λ)coscos=(1+λ)sinsin,∴tantan==2,解得λ=-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 【课标要求】　1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=　　　　　　　　;  sin(α-β)=　　　　　　　　.  (2)两角和与差的余弦公式 cos(α+β)=　　　　　　　　;  cos(α-β)=　　　　　　　　.  (3)两角和与差的正切公式 tan(α-β)=　　　　　　　　;  tan(α+β)=　　　　　　　　.  2.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=. 3.二倍角公式 (1)sin 2α=　　　　　　;  (2)cos 2α=　　　　　,cos 2α=　　　　　　,cos 2α=　　　　　　;  (3)tan 2α=　　　　　　.  4.半角公式 (1)公式:sin =±; (2)公式:cos =±; (3)公式:tan =±. 符号由的终边所在象限决定. 5.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式及其变形. (3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan . (4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 常用结论 (1)两角和与差的正切公式的常用变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); tan αtan β=1-=-1. (2)降幂公式:cos2α=;sin2α=. (3)升幂公式:1-cos α=2sin2;1+cos α=2cos2; 1±sin α=. (4)万能公式:sin α=,cos α= ,tan α= . 题组一　常识题 1.[教材改编] cos 72°cos 12°+cos 18°sin 12°=　　　　.  2.[教材改编] 若tan θ=2,则tan=　　　　,tan 2θ=　　　　.  3.[教材改编] 若cos(π-α)=,α是第三象限角,则sin=　　　　,sin 2α=　　　　,cos 2α=　　　　.  4.[教材改编] 已知α,β满足(1+tan α)(1-tan β)=2,则tan(β-α)=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:已知角与待求角之间的关系不清致误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号致误;已知三角函数值求角时角的取值范围不清致误. 5.已知sin=,则cos=　　　　.  6.计算:=　　　　.  7.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=,则α+β=　　　　.   　公式的基本应用 例1 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　 A.-3m B.- C. D.3m (2)[2025·全国二卷] 已知0<α<π,cos=,则sin= (　 ) A. B. C. D. (3)已知cos α+sin α=,且α∈,则tan 2α的值为　　　　.  总结反思 1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角之间互相转换的目的. 2.使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. 变式题 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知α为锐角,cos α=,则sin= (　 ) A. B. C. D. (2)[2026·哈尔滨三中阶段练] 若α+β=-,则(1-tan α)(1-tan β)= (　 ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 (3)设tan α,tan β是方程x2+px+p-1=0(p>2)的两根,则=　　　　.  　公式的逆用及变形 例2 (1)[2025·沧州“五个一”名校二联] 已知角α,β满足(2-tan α)(2+tan β)=5,则tan(α-β)= (　 ) A.- B.- C.-2 D.-3 (2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则 (　 ) A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1 (3)(多选题)下列选项中,值为1的是 (　 ) A.4sin 15°cos 15° B.2(cos 46°cos 14°-sin 46°sin 14°) C. D.8cos 20°cos 40°cos 80° 总结反思 两角和与差的三角函数公式活用技巧:①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. 变式题 (1)[2025·杭州一模] 已知-=4,则λ= (　 ) A.1 B. C. D.2 (2)[2025·广州一模] 已知cos αsin(α-β)-sin αcos(β-α)=,则sin β=　　　　.  　角的变换问题 例3 (1)已知α,β∈(0,π),且cos α=,sin(α+β)=,则cos β= (　 ) A. B.- C. D.- (2)[2025·郑州二模] 若tan(α-β)=3,=18,则tan 2α= (　 ) A.- B.-2 C.- D.- 总结反思 三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 常用的拆角、配角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=-=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;+α=-等. 变式题 (1)已知cos=cos,则tan α=　　　　.  (2)已知角α,β满足cos α=λcos β,tantan=2,则λ=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $