直线与方程 11月月考专题复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与方程专题复习 知识点回顾： 一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合；； 当时，直线的倾斜角为锐角，随倾斜角的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，随倾斜角的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则， 此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 三：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 四：三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 五 对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有，可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 6、过定点直线系 过已知点的直线系方程（为参数）． 7、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 8、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 9、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 10、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 六 易错点归纳总结 1. 两直线平行忽略重合陷阱： 只看 k₁＝k₂，忘记检验是否重合。必须在 A₁B₂－A₂B₁＝0 后再验证 C 项不等才是平行。 2. 对称问题常见错误：①求点关于直线对称只保证垂直，忘记中点代入对称轴方程；②直线关于直线对称且平行时，直接复制常数项而未用距离公式；③多次反射只作一次对称。 3. 将军饮马模型混淆“和最小”与“差最大”、同侧与异侧：|PA|＋|PB| 最小：同侧作对称，异侧直接两点距离；||PA|－|PB|| 最大才用三点共线。 4. 平行线距离公式使用条件：未把两直线 x、y 系数化成完全一致就直接拿原式常数相减，算错距离。 5. “两点到直线距离相等”只考虑直线平行两点连线，漏掉过中点情况：过一点作直线使另两点到它距离相等，有两类解：①直线平行于两点连线；②直线过两点中点。 6. 截距概念误区：把截距当成长度，忽略其可为 0 或负数；“截距互为相反数”漏掉过原点那一条直线。 7. 三条直线围成三角形条件记忆不全：漏掉“三线不共点”这一条，只记任意两条不平行。 8. 直线过定点不会分离参数：应整理为 λ·M＋N＝0，令 M＝0、N＝0 解方程组；不要随便取两个参数求两点再连线，计算量大易错。 9. 直线等分三角形面积误区：误认为只要过重心就平分面积。只有过顶点和重心的直线才平分面积，任意过重心直线须联立计算面积比例。 10. 动直线垂直＋直角三角形模型忽略基本不等式等号条件：用基本不等式求乘积最大值时，忘记等号成立条件，等号取不到时未做取舍 11. 直线与线段相交直接用斜率，忽略斜率不存在：斜率不存在需单独讨论；建议用“两点代入直线左侧表达式乘积≤0”的方法避开讨论。 必考题型全归纳： 题型一、两直线的位置关系（平行、垂直、相交） 1．已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 2．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 3．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 题型二、直线过定点问题（直线系） 4．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 5．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型三、直线与线段相交问题 7．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四、点到直线距离、两平行线间距离 8．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 10．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 题型五、对称问题（高频重点） 11．在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 12（多选）．已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 13（多选）．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 题型六、将军饮马模型（距离最值） 14．函数的最小值为（     ） A． B． C．7 D． 15．已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 题型七、三角形相关（中线、高线、欧拉线、面积） 17．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 18．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 题型八、动直线垂直＋直角三角形模型 20．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法错误的是（     ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 21．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（    ） A． B． C．10 D．5 22．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（   ） A． B．5 C． D． 题型九、截距、截距式直线方程 23．已知直线l过点，O为坐标原点．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． (1)求直线l方程； (2)若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 24．已知直线：． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离为，求的方程； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 25．求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 题型十、新定义（曼哈顿距离） 26．十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 题型十一、折叠问题（几何综合） 27．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别落在x轴、y轴的正半轴上，A为坐标原点．将矩形折叠，使A点落在线段上（包括端点），落点记为G． (1)若折痕所在直线的斜率为k，求点G的坐标及折痕所在直线方程（结果均用k表示）； (2)当时，求折痕长的最大值； (3)当时，折痕为线段，设，试求t的最大值． 巩固提升： 1．若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 2．已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 3．与直线l：关于直线m：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D． 5．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 8．直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 9．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知两点，，点在轴上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 11．若点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 12．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 14．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 15（多选）．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（） A． B． C． D． 16（多选）．已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是2 D．过与直线平行的直线方程是 17（多选）．下列结论错误的是（     ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 18（多选）．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 19（多选）．已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 20（多选）．下列结论错误的是（     ） A．过两点的所有直线，其方程均可写为 B．直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是 C．直线与直线之间的距离为 D．已知点，，点在直线上，则的最小值为 21（多选）．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 22（多选）．下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 23．华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 24．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 25．著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 26．已知点在直线上，则的最小值为_______． 27．两平行直线与间的距离为______． 28．设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为______． 29．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 30．已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 31．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 32．已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 33．已知：，：，：，记，，． (1)当时，求原点关于的对称点坐标； (2)在中，求边上中线长的最小值； (3)求面积的取值范围． 34．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． (1)求顶点，的坐标； (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； (3)求平行四边形的面积． 35．已知直线，与直线相互垂直． (1)求； (2)，相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 36．已知中，顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为． (1)求顶点、的坐标； (2)过作直线，要使、两点到过点的直线的距离相等，求直线的方程． 37．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． 38．已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 39．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 40．已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 41．已知点，直线，直线． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与方程专题复习 知识点回顾： 一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，随倾斜角的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，随倾斜角的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 三：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 四：三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 五 对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有，可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 6、过定点直线系 过已知点的直线系方程（为参数）． 7、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 8、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 9、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 10、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 六 易错点归纳总结 1. 两直线平行忽略重合陷阱： 只看 k₁＝k₂，忘记检验是否重合。必须在 A₁B₂－A₂B₁＝0 后再验证 C 项不等才是平行。 2. 对称问题常见错误：①求点关于直线对称只保证垂直，忘记中点代入对称轴方程；②直线关于直线对称且平行时，直接复制常数项而未用距离公式；③多次反射只作一次对称。 3. 将军饮马模型混淆“和最小”与“差最大”、同侧与异侧：|PA|＋|PB| 最小：同侧作对称，异侧直接两点距离；||PA|－|PB|| 最大才用三点共线. 4. 平行线距离公式使用条件：未把两直线 x、y 系数化成完全一致就直接拿原式常数相减，算错距离。 5. “两点到直线距离相等”只考虑直线平行两点连线，漏掉过中点情况：过一点作直线使另两点到它距离相等，有两类解：①直线平行于两点连线；②直线过两点中点。 6. 截距概念误区：把截距当成长度，忽略其可为 0 或负数；“截距互为相反数”漏掉过原点那一条直线。 7. 三条直线围成三角形条件记忆不全：漏掉“三线不共点”这一条，只记任意两条不平行。 8. 直线过定点不会分离参数：应整理为 λ·M＋N＝0，令 M＝0、N＝0 解方程组；不要随便取两个参数求两点再连线，计算量大易错。 9. 直线等分三角形面积误区：误认为只要过重心就平分面积。只有过顶点和重心的直线才平分面积，任意过重心直线须联立计算面积比例。 10. 动直线垂直＋直角三角形模型忽略基本不等式等号条件：用基本不等式求乘积最大值时，忘记等号成立条件，等号取不到时未做取舍 11. 直线与线段相交直接用斜率，忽略斜率不存在：斜率不存在需单独讨论；建议用“两点代入直线左侧表达式乘积≤0”的方法避开讨论。 必考题型全归纳： 题型一、两直线的位置关系（平行、垂直、相交） 1. 相交：联立两条直线方程，方程组有唯一解即相交，解就是交点坐标；三条直线交于一点，先求两直线交点再代入第三条直线求参数。 2. 平行：l₁:A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂:A₂x＋B₂y＋C₂＝0，则 A₁B₂－A₂B₁＝0 且 A₁C₂≠A₂C₁（排除重合）；斜率存在时 k₁＝k₂ 且截距不等。 3. 垂直：A₁A₂＋B₁B₂＝0（通用，无需讨论斜率不存在）；斜率都存在时 k₁·k₂＝－1。 4. 三条直线构成三角形条件：任意两条不平行，且三条不共点。 1．已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即两直线交点坐标为， 代入得：，解得. 2．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 3．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且；故选：B. 题型二、直线过定点问题（直线系） 含参直线 A₁x＋B₁y＋C₁＋λ(A₂x＋B₂y＋C₂)＝0，把参数整理在一起：λ·M＋N＝0，对任意参数恒成立需 M＝0 且 N＝0，解出 (x，y) 即定点。 常见模型：y－y₀＝k(x－x₀) 恒过定点 (x₀，y₀)；两条动直线互相垂直时，交点 P 的轨迹是以两定点连线为直径的圆。 4．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得，即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即，， ，当时，等号成立，所以的最大值为4.故选：A 5．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限故选：A 6．已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程得求出，直线：恒过，故，因为均在轴上，所以. 【详解】联立方程得，解得，故， 直线：恒过，故，因为均在轴上， 所以的面积为. 题型三、直线与线段相交问题 直线与线段 AB 有公共点： 方法①：斜率临界法——求直线过端点 A、B 时的斜率，结合倾斜角确定范围； 方法②：点在直线两侧——把 A、B 代入直线左侧表达式，乘积≤0。 7．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与线段有交点得出不等式求解即可. 【详解】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧，所以， 解得或.即的取值范围是.故选：B 题型四、点到直线距离、两平行线间距离 1. 点到直线的距离 2.设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 3. 两点到直线距离相等：两类情况——①直线过两点连线中点；②直线平行于两点连线。 8．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等，所以，解得：或， 所以直线方程为或，整理得：或. 9．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：，． 10．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或.故选：D. 题型五、对称问题（高频重点） 1. 点关于直线对称：两点连线与对称轴垂直，且中点落在对称轴上，联立方程组求解对称点坐标。 2. 直线关于直线对称：相交时求交点，再取原直线上一点求其对称点，两点确定对称直线；平行时利用平行线距离相等求常数项。 3. 直线关于点对称：对称直线与原直线平行，取原直线上一点求其关于该点的对称点。 4. 光的反射：等价对称变换，多次反射需作多次对称。 11．在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即.故选：A 12（多选）．已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】结合点关于直线对称、直线关于直线对称、直线关于点对称的性质，以及两直线垂直的斜率关系逐一验证各个选项． 【详解】选项A、设原点关于直线的对称点为， 满足两个条件：①线段中点在直线上，即，化简得； ②两点连线与直线垂直，斜率乘积为，即，化简得 联立方程解得， 所以原点关于的对称点的坐标是，选项A正确； 选项B、联立， 解得直线与的交点为，该点在对称直线上，取上的点， 由选项A可知原点关于的对称点为， 过两点和的直线斜率为， 所以直线关于的对称直线的方程是，即，选项B正确； 选项C、直线关于点对称后与原直线平行，故斜率仍为2， 取直线：上的点，其关于的对称点为， 直线关于点的对称直线的方程是，即，选项C正确； 选项D、已知直线：，则与直线垂直的直线斜率为， 所以过点，垂直于直线的直线的方程是，即，选项D错误． 13（多选）．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线，即，解得，所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 题型六、将军饮马模型（距离最值） 平面上两点的距离公式为 1. |PA|＋|PB| 最小：A、B 同侧时作一点关于直线的对称点，化为 |A′B|；异侧时最小值为 |AB|。 2. ||PA|－|PB|| 最大：利用三角形两边之差，三点共线取最值。 3. x 轴上动点 P(x，0)，函数 f(x)＝+，即转化为 x 轴上点到两定点距离和。 4. 表示点 (x，y) 到原点的距离。 14．函数的最小值为（     ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】整理可得，结合两点间距离公式可得，根据将军饮马问题求最值. 【详解】由题意可得：， 设，，，则， 设关于x轴对称的点为，则， 可得，所以函数的最小值为. 15．已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可将函数看作轴上一点到点与点的距离之和，数形结合可得最小值. 【详解】因为， 则可看作轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当，，三点共线时，取得最小值， 即. 16．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】配方转化为平面上点到两定点距离之和，用对称点求最小值，的最大值就是这个最小值. 【详解】对两个根号内的二次式分别配方， ，， 原式表示轴上动点到点、的距离之和， 作关于轴的对称点，由对称性可知， 因此，当且仅当、、三点共线时取等号， ，因此的最小值为5， 若不等式对任意实数恒成立，则，即的最大值为5. 题型七、三角形相关（中线、高线、欧拉线、面积） 1. 中线：顶点与对边中点的连线； 2. 2. 高线：过顶点垂直对边；高线与对边互相垂直。 3. 欧拉线：外心、重心、垂心共线；外心是三边中垂线交点，到三顶点距离相等。 4. 面积：×底×高，利用交点坐标与点到直线距离；直角三角形斜边中线等于斜边一半。 5. 过重心直线不一定平分三角形面积，须联立计算面积比例。 17．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标. 【详解】解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为， 设点的坐标为，所在直线的方向向量为， 则所在直线的斜率，，得， 所以，则的中点坐标为， 边上的中线所在的直线方程为，则的中点在直线上， ，解得：， 所以点的坐标为.故选：A. 18．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉线方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可. 【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为， 代入欧拉线方程得：，整理得： ① 的中点为，， 的中垂线方程为，即.联立，解得. 的外心为.则， 整理得： ② 联立①②得：或. 当时重合，舍去. 顶点的坐标是. 【点睛】解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程. 19．已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】∵，∴， ，， ∴，且，∴，∴是等腰直角三角形. 题型八、动直线垂直＋直角三角形模型 两条动直线恒垂直交于 P，定点 A、B，则 ∠APB＝90°，P 在以 AB 为直径的圆上（去掉 A、B）。 勾股定理：|PA|²＋|PB|²＝|AB|²；配合基本不等式求 |PA|·|PB| 及面积 S＝|PA||PB| 的最值。 20．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法错误的是（     ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】先求出两条动直线的定点坐标，验证两直线垂直，结合直角三角形性质与基本不等式逐一判断各选项，选出错误选项. 【详解】 对于直线，整理为， 对任意恒成立，解得，即； 对于直线，整理为， 对任意恒成立，解得，即 . 选项A：由两点间距离公式得，A正确； 选项B：两直线系数满足，故，即，为直角三角形， 由勾股定理得，为定值，B正确； 选项C：，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，故，最大值为，C错误； 选项D：由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立，最大值为，D正确. 21．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】C 【分析】先求出两个定点坐标，再根据两直线系数关系，易判断两直线垂直，由勾股定理可得，再设，则，最后令，转化为关于的一元二次方程，利用判别式法求出的最大值，即的最大值. 【详解】由题可知，，，则， 由，则，又直线的方程为， 易知，所以，因此是以为直角顶点的直角三角形， 则由勾股定理可得，设，又，所以， 因为，令，则，代入得， 化简整理得，则关于的一元二次方程有解，所以，即，化简得，解得，又，所以，所以的最大值为10，即的最大值为10. 22．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求解定点坐标，根据两直线垂直可得勾股定理，进而根据基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知,直线变形为，故，故， 由于直线与直线互相垂直，所以, 故，因此,当且仅当时取到等号，因此. 题型九、截距、截距式直线方程 截距式：，a 为 x 轴截距，b 为 y 轴截距。 注意：截距可正可负可为零，不是长度；截距为零（过原点）时不能用截距式；“截距互为相反数”包含过原点（截距都为 0）的情况。 23．已知直线l过点，O为坐标原点．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． (1)求直线l方程； (2)若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】（1）由题意，设出直线的截距式方程，代入点坐标，根据面积，可求得截距式方程，整理即可得答案. （2）分别分析点M、Q、P为直角顶点时，为等腰三角形，求得对应M点坐标，即可得答案. 【详解】（1）由截距式设直线的方程为，所以，解得， 所以，即. （2）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则， 因为为等腰直角三角形， 当M为直角顶点时，设，则，， 所以，即，解得或（舍）， 所以，即点； 当Q为直角顶点时，点，则，解得，所以，符合题意； 当P为直角顶点时，设，由可得，所以，； 综上所以，，，符合题意 24．已知直线：． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离为，求的方程； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即，则由，即， 故直线过定点；(2)(3)（i）；（ii） 【分析】(1)将含参数a的直线方程整理为“参数×表达式+另一表达式=0”的直线系形式，令两个表达式同时为0，解方程组得到定点坐标，即可证明直线恒过定点；(2)问：先将直线化为一般式，代入点到直线的距离公式建立关于a的方程，解方程求出参数a，回代即可得到直线方程；(3)(i)先求直线在两坐标轴的截距，根据正半轴条件确定参数范围，写出三角形面积关于a的函数，结合二次函数的单调性/最值性质求解；(ii)设直线截距式方程，利用定点在直线上得到截距的约束关系，将线段长度乘积转化为截距的线性表达式，再用基本不等式求最小值. 【详解】（1）略 （2）直线化为一般式， 故得，所以的方程为 （3）（i）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积最小； （ii）设直线的截距式方程为（，），由（1）知点在上，所以， 此时，，由于这三点共线，且在、之间，所以 有 而，当且仅当时取等号 所以的最小值为 25．求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用距离相等得出直线与直线平行或经过的中点，分别求解方程即可； （2）设出直线方程，表示出三角形的面积，根据面积可得答案. 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 题型十、新定义（曼哈顿距离） 曼哈顿距离 dₘ(P₁，P₂)＝|x₁－x₂|＋|y₁－y₂|，按定义列式，分段处理绝对值，求轨迹长度。 26．十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【答案】 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得，再应用直线弦长公式计算求解. 【详解】设，则， 即，所以或或， 解得， 则点的运动轨迹的长度为.故答案为：. 题型十一、折叠问题（几何综合） 折叠本质即轴对称：折叠前后两点关于折痕直线对称，折痕是两点连线的垂直平分线；结合矩形坐标系求折痕斜率及折痕线段长度范围。 27．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别落在x轴、y轴的正半轴上，A为坐标原点．将矩形折叠，使A点落在线段上（包括端点），落点记为G． (1)若折痕所在直线的斜率为k，求点G的坐标及折痕所在直线方程（结果均用k表示）； (2)当时，求折痕长的最大值； (3)当时，折痕为线段，设，试求t的最大值． 【答案】(1)，；(2)  ；(3)． 【分析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A点落在G点，则与折痕所在直线的斜率相乘为，从而得到G点的坐标关于的表达式，写出折痕所在的直线方程 （2）当时，分析可得折痕交在和轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于的表达式，结合的范围求出最大值 （3）当时，折痕交在和轴上，求出PQ的表达式，代入求出关于的表达式，结合的范围求出的最大值 【详解】（1）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为， 所以A与G关于折痕所在的直线对称， 有，故G点坐标为， 从而折痕所在的直线与OG的交点坐标，即线段OG的中点为， 因为在上，所以，则, 折痕所在的直线方程，即， 由①②得折痕所在的直线方程为：； （2）当时，折痕的长为2， 当折痕刚好经过B点时，将代入直线方程得：，或（此时，A点不在线段DC上，舍） 当时，由折痕所在的直线方程为：，令，解得：,因为,所以,所以折痕与轴的交点在点及其右侧，在矩形的外部，令，解得：,因为,所以, 所以折痕两个端点一定在和轴上，直线交BC于点，交y轴于， 折痕长度的最大值为 ， 而，故折痕长度的最大值为  ； （3）当时，由折痕所在的直线方程为：，令，解得：,因为,所以,所以折痕与轴的交点在线段上， 令，解得：,因为,所以, 所以折痕的两个端点一定在和轴上，直线交DC于，交x轴于， ，，， 当且仅当时取“”号，当时，t取最大值，t的最大值是． 巩固提升： 1．若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立方程求得交点坐标，再结合题意解即可得答案. 【详解】因为直线与的交点在第四象限， 所以两直线相交，，即，联立方程解得, 由两直线与的交点在第四象限可得 解此不等式组可得，即的取值范围为. 2．已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，联立方程可得的交点坐标为，直线恒过定点，通过作图即可判断直线的情况，从而求得. 【详解】显然，解方程组得，故的交点坐标为， 直线的斜率为，其倾斜角为；直线的斜率为，其倾斜角为. 对直线的方程变形为，由可得，故直线恒过定点， 作图可知使三条直线能围成等腰直角三角形的直线有两条：和， 当直线的方程为时，；当直线的方程为时，. 故满足条件的实数的个数为. 3．与直线l：关于直线m：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立两直线方程，求出原直线与对称轴的交点（该点在对称直线上）；再在原直线上任取一点，求它关于对称轴的对称点；最后求出对称直线方程即可. 【详解】联立直线与方程可得，解得，所以两直线交点为， 在直线上任取一点，设该点关于直线的对称点为，则根据对称点的性质可得， ，且点与点的中点在直线上，即， 解得，即对称点，所以对称直线的斜率， 则对称直线的方程为，即. 4．如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先以矩形顶点 为原点建立平面直角坐标系，将矩形各顶点及动点 用坐标表示，再利用圆周角定理找 取得最大值条件，最后利用圆心到圆上各点距离相等(半径相等)列方程，求解并取舍根即可. 【详解】建立坐标系：设 ，，，，因为 为 中点，故 ，    设 （），当 最大时， 的外接圆与 边（即 ）相切于点 ， 则外接圆的圆心 到切线 的距离等于半径 ，故 且 ，得 ，即圆心 ， 由 列方程：，化简得，即， ，化简得：，， 联立 的表达式，整理：，解得：， 因为，故 ，（，舍去） 所以 的长度即为 的值，即.故选：D. 5．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点为的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为，则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以， 又因为，所以，解得或，故或. ①当时，此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点，此时. ②当时，此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点， 此时，与选项不符，舍去.综上，可知的值为.故选：C 6．设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值. 【详解】设，，， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以．所以的最小值是3.故选：C 7．已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，解得， 即，由，则， 当且仅当三点共线时取等号，故最小值为.    8．直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与的距离. 9．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得，所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为，故对称直线的方程为，即， 故选：B. 10．已知两点，，点在轴上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点 C 在 x 轴上，A、B 两点均在 x 轴上方，属于同侧两点. 点 A 关于 x 轴的对称点 ，由对称性知 ，故 . 根据两点之间线段最短，，当且仅当 C 为直线 A'B 与 x 轴的交点时取等号 11．若点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】转化为直线上的点到定点和的距离和，求出点关于直线的对称点为，可得，当三点共线时，最小，从而得出结论. 【详解】表示直线上的点到定点和的距离和，即求的最小值. 假设点关于直线的对称点为， 则有，解得，因此得到， 所以，当三点共线时，的最小值为. 12．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是. 13．著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知， 即的最小值为． 14．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为.故选：B 15（多选）．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或，故选：BD. 16（多选）．已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是2 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【分析】根据直线的方向向量判断A；根据两直线垂直的斜率关系判断B；根据点到直线的距离公式求解C；根据两直线平行及直线的点斜式方程求解D. 【详解】选项A：直线的斜率为，方向向量的斜率为，不与直线平行，故向量不是的方向向量，A错误. 选项B：直线的斜率为，直线的斜率为， 两者斜率乘积为，因此与不垂直，B错误. 选项C：点到直线的距离，C正确. 选项D：与直线平行的直线斜率为，过点的直线方程为， 整理得，D正确. 17（多选）．下列结论错误的是（     ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】ABC 【分析】先求得直线的斜率，再根据直线斜率与倾斜角的关系，可判断A选项错误；根据两直线垂直的条件，可求得，故B选项错误；根据平行线间的距离公式，求得直线间的距离为，故C选项错误；根据对称性求得点关于轴的对称点，结合三角不等式，可知当共线时，取得最小值5，故D选项正确. 【详解】对于A选项，因为，，所以直线的斜率为， 又，所以直线的倾斜角不是，故选项A错误； 对于B选项，直线的斜率为，直线的斜率为， 若两直线垂直，则，解得，故选项B错误； 对于C选项，直线可化为， 所以两直线间的距离为，故选项C错误； 对于D选项，点关于轴的对称点为，则， 又，，所以，所以， 即的最小值是5，故选项D正确. 18（多选）．已知直线，，则下列说法正确的是（  ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 【答案】BCD 【分析】直线相互平行的充要条件为“交叉相乘再相减为0”，且不重合.直线相互垂直的充要条件为“对应相乘再相加为0”.直线不经过第四象限，可以先化为斜截式，判断斜率与截距求解.注意到时，直线与直线相互平行，则对称的直线方程可以根据直线之间的距离求解. 【详解】选项A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以， 故的充要条件是， A不正确； 选项B，若，则，解得，B正确； 选项C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确； 选项D，若，则直线，即， 显然直线与直线平行， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则直线和到直线的距离相等，则，解得， 所以时，直线关于直线对称的直线方程为，即，D正确． 19（多选）．已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 20（多选）．下列结论错误的是（     ） A．过两点的所有直线，其方程均可写为 B．直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是 C．直线与直线之间的距离为 D．已知点，，点在直线上，则的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A：若，则无法写成，故A错误； 对于B：设倾斜角为，则，所以，故B正确； 对于C：直线与直线之间的距离为，故C正确； 对于D：设点关于直线的对称点为， 所以，得，即， 则的最小值为，故D错误. 21（多选）．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 22（多选）．下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ABD 【分析】过点且在，轴上的截距互为相反数的直线有过原点的方程为，即可判断选项A；由两平行线间的距离公式求解即可判断选项B；先求出点关于轴的对称点为，然后求解两点间的距离即可判断选项C；先求出，，由过点的直线与线段没有公共点即可判断选项D. 【详解】对于A，当直线过原点的方程为，故选项A错误； 对于B，由可得，与平行， 则两条平行直线间的距离为，故选项B错误， 对于C，点关于轴的对称点为，则， 所以， 即的最小值为，故C正确， 对于D，，，又直线与线段没有公共点，所以，故D错误. 故选：ABD 23．华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】将根式和转化为动点到正方形四个顶点的距离之和，将对角顶点对应的距离配对，利用三角不等式求下界，并检验能否同时取等． 【详解】设，取、、、，则四点构成边长为2的正方形，由两点间距离公式，题中根式和等于． 由线段长的三角不等式，，且，两式相加得原式．当为两条对角线的交点，即时，同时在线段和上，两个不等式同时取等，所以原式的最小值为． 24．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解出顶点的坐标；求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标． 【详解】设，则的中点坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设点关于直线的对称点为，则，解得，即； 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值， 所以的最大值为； 由，，可得直线的方程为，即， 由解得即当取得最大值时，点的坐标为． 25．著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 【答案】 【分析】将问题转化为点到点的距离之和的最小值即可. 【详解】表示点到点的距离之和， 因为当点位于线段上时有最小值，当点位于线段上时有最小值， 故点是线段的交点时，有最小值，最小值为. 26．已知点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离求解即可 【详解】的几何意义是点与原点的距离， 由于点在直线上， 因此的最小值即为原点到直线的垂线段长度， 即，所以的最小值为． 27．两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线的方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 28．设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到点在平行于的直线上，且到的距离相等，根据平行线的距离公式得到所在的直线，最后利用点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图所示，点在与之间，且到这两条直线的距离相等，所以点在平行于这两条直线的直线上，设该直线的方程为，则，解得， 故的最小值为点到直线的距离，即. 29．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为.故答案为： 30．已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【分析】、在直线的同侧，可通过对称将距离和转化为(为点关于直线对称的点)，当为与直线的交点时，取得最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点. 的最小值为. 31．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可. 【详解】设， 在长方形中，,，，又， ∴，∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长，即. 32．已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 33．已知：，：，：，记，，． (1)当时，求原点关于的对称点坐标； (2)在中，求边上中线长的最小值； (3)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，直线：，设原点关于的对称点为，利用斜率关系与中点坐标公式列方程求解即可； （2）先证明，则中线长为斜边一半，再利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果； （3）利用条件得到三角形面积为，再利用基本不等式可得范围. 【详解】（1）当时，：， 设原点关于的对称点坐标为， 则， 所以原点关于的对称点坐标为. （2）由题可知，：过定点， ：过定点. 又因为，所以，所以. 联立和方程， 所以由直角三角形中线长为斜边一半可得 边上中线长为 当时，边上中线长有最小值. （3）联立和方程， 点到距离为， 所以面积为， 因为对任意实数，所以， 于是，所以面积范围为 34．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． (1)求顶点，的坐标； (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； (3)求平行四边形的面积． 【答案】(1)， (2)和 (3) 【分析】（1）先联立两条已知边的方程求顶点，再由对角线中点性质求； （2）利用对边平行得到另两边斜率，代入点坐标求直线方程； （3）计算一组对边的长度及对应平行线间的距离，二者相乘得平行四边形面积. 【详解】（1）联立与所在直线的方程得 ，两式相加得，解得，代入得，即， 因为是平行四边形对角线的中点，设， 由中点坐标公式得， ，解得，即. （2）平行四边形对边互相平行，故，， 直线的斜率，故，又过点， 由点斜式得的方程为 ，整理为一般式得， 直线的斜率，故，又过点， 由点斜式得的方程为 ， 整理为一般式得. （3）联立与的方程得 ，解得，即， 由两点间距离公式得 ， 与为一组平行对边，的方程为，的方程为， 由两平行线间距离公式，得对应高为 ， 故平行四边形的面积 . 35．已知直线，与直线相互垂直． (1)求； (2)，相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）因为直线，与直线相互垂直， 所以得，即．    解得．    （2）由题意知，四边形为矩形，，分别是点到直线，的距离，    所以，    ．    四边形的面积为． 36．已知中，顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为． (1)求顶点、的坐标； (2)过作直线，要使、两点到过点的直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】(1)利用互相垂直的直线斜率乘积为，可设的方程，进而求出的方程；联立与中线的方程求出点坐标.设出点坐标，利用中点公式表示出中点的坐标，代入方程，并结合点在上，联立方程组求得点坐标. (2)分两种情况讨论：当直线与平行时，以及当直线经过线段的中点时，分别利用点斜式求解即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 故直线的方程为. 因为是边上的中线，点是直线与直线的交点， 联立方程组： ，解得， 所以点的坐标为. 设点，则的中点的坐标为. 因为点在直线上， 所以，化简得①. 又因为点在高线上， 所以②. 联立①②：，解得， 所以点的坐标为. 综上所述，顶点、的坐标分别为，. （2）要使过点的直线上，、两点到的距离相等，分两种情况： 情况一：直线与直线平行. 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 情况二：直线经过线段的中点.     线段的中点坐标为，即. 此时直线过点和点， 其斜率， 所以直线的方程为，即. 经检验，直线到和的距离分别为和，不相等，故舍去. 综上所述，直线的方程为或. 37．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． 【答案】(1)或 (2)11 【分析】联立方程求得点；分斜率存在与否，利用点到直线距离求直线l方程; 由得斜率，写出方程；联立求中点，算出点到距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）依题意得，点是直线与直线的交点， 由解得， 所以点的坐标是． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，所以，解得． 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． （2）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程：， 即与联立，， 解得，的坐标为， 所以 点到直线的距离为， 所以的面积为． 38．已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【答案】(1) (2)① 斜率为或；② 光线路程：； 【分析】（1）先整理直线方程，分离参数，分成含参数和不含参数两部分；再根据直线恒过定点的特点，令两部分同时等于零，联立得到二元一次方程组；最后解方程组，求出定点的坐标； （2）①先利用定点写出直线的点斜式并化为一般式，再将原点到直线的距离代入点到直线距离公式建立方程，接着平方化简得到关于斜率的一元二次方程，解方程得到两个斜率，留待下一问根据倾斜角条件筛选；②求光线路程，先根据倾斜角条件筛选符合要求的斜率，再利用反射性质，将路程转化为两个对称点之间的距离，用两点间距离公式计算即可. 【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 39．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 40．已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【详解】（1），， 边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高所在直线为， 即为边上的高所在直线的方程. （2）∵点到直线的距离相等，∴直线与平行或过的中点. （i）当直线与平行，， ，即. （ii）当直线过的中点， ，，即. 综上，直线的方程为或. 41．已知点，直线，直线． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线，可化为，斜率. 设所求直线斜率为，两条直线垂直，则， ，解得. 又因为直线过点， 所求直线方程为：， 即. （2）联立， 解得，所以交点为，该点在对称直线上. 在直线上取一点，设关于的对称点为. 中点在上，且. 所以，解得 即. 直线过，， 斜率. 所以直线的方程为：， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $