第4单元 02 第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系与诱导公式核心考点，按课标要求梳理平方关系、商数关系及六组诱导公式，通过常用结论强化变形应用，结合常识题、常错题分层夯实基础，分切弦互化、齐次式、和积转换角度设计例题，形成“考点梳理-方法指导-真题训练”系统复习链。 讲义突出分层教学与核心素养培养，如在齐次式问题中引导学生通过分子分母同除余弦齐次幂实现弦化切，发展数学思维的运算能力，利用2023全国乙卷真题强化实战，设置变式题即时巩固，帮助学生高效突破符号判断等难点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 【课标要求】　1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:　　　　　　.  (2)商数关系:　　　　　　　　　　　　.  2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+2kπ(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 与角α终 边的关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x对称 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α 　　  正切 tan α 　　  -tan α -tan α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 记忆规律 奇变偶不变,符号看象限 常用结论 1.同角三角函数的基本关系的常用变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α;cos α=. (3)sin2α==; cos2α==; sin αcos α==. 其中α≠+kπ,k∈Z. 2.sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z);cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z). 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知cos α=-,且α为第二象限角,则sin α=　　　　, tan α=　　　　.  2.[教材改编] 已知tan α=2,则=　　　　.  3.[教材改编] 已知cos(π+α)=-,则sin=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:运用平方关系时不考虑角为第几象限角致误;运用诱导公式时不注意符号致误;利用同角三角函数的基本关系求值时,不能根据角的取值范围判断出所求三角函数值的符号致误. 4.若sin α=,则tan α=　　　　.  5.化简·cos(2π-α)的结果为　　　　.  6.已知tan α=,<α<π,则cos α-sin α的值为　　　　.  　同角三角函数的基本关系 角度1　切弦互化 例1 (1)[2023·全国乙卷] 若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  (2)[2025·辽宁重点中学协作体二模] 已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α=　　　　.  总结反思 (1)知一求二问题,注意判断角的取值范围,另外熟记以下常见勾股数,可以提高解题速度:32+42=52,62+82=102,92+122=152,52+122=132,82+152=172,72+242=252. (2)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可实现角α的弦切互化,注意公式的逆用及变形应用. 变式题 已知cos α=-,则13sin α+5tan α=　　　　.  角度2　齐次式 例2 (1)[2025·四川成都二诊] 已知角θ的终边过点P(3,4),则=　　　　.  (2)若tan α=-3,则=　　　　,sin2α+2sin αcos α=　　　　.  总结反思 若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,这是同角三角函数关系中的一类基本题型,形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切. 变式题 已知=-1,则=　　　　,sin2α+sin αcos α+2=　　　　.  角度3　和积转换 例3 (多选题)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则下列结论正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.<α<π B.sin αcos α=- C.cos α= D.cos α-sin α=- 总结反思 对于已知sin α±cos α的求值问题,一般应用三角恒等式,利用整体代入的方法来解,涉及的三角恒等式有(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α等. 变式题 若0<θ<π,sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ= 　　　　.  　诱导公式 例4 (1)计算:=　　　　.  (2)已知sin=-,则sin+cos=　　　　.  总结反思 1.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角的三角函数. 2.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了; (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 3.常见的互余的角:-α与+α,+α与-α,+α与-α等.常见的互补的角:+α与-α,+α与-α,+α与-α等. 变式题 (1)(多选题)已知sin=-,x∈,则下列说法正确的是 (　 ) A.cos=- B.tan=2 C.cos=- D.sin= (2)[人教A版必修第一册P194习题5.3第3(2)题改编] 求值:sin(-1071°)sin 99°+sin(-171°)·sin(-261°)+tan 585°=　　　　.  　基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f(α)=2,求sin2α-3sin αcos α的值; (3)若f=3,求sin的值.     总结反思 (1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的取值范围对三角函数值符号的影响. 变式题 (1)已知sin=,那么tan= (　 ) A.- B.±2 C. D.2 (2)[2025·湖南常德模拟] 化简的结果为 (　 ) A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 C.cos 2-sin 2 D.-(sin 2+cos 2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)sin2α+cos2α=1 (2)tan α=,α≠kπ+(k∈Z) 2.-sin α　tan α 【对点演练】 1.　-　[解析] ∵cos α=-,且α为第二象限角,∴sin α==,∴tan α==-. 2.　[解析] 原式===. 3.-　[解析] ∵cos(π+α)=-cos α=-,∴cos α=, ∴sin=-cos α=-. 4.±　[解析] ∵0<sin α=<1,∴α为第一象限角或第二象限角.当α为第一象限角时, cos α==,∴tan α==;当α为第二象限角时,cos α=-=-, ∴tan α==-.综上,tan α=±. 5.sin α　[解析] 原式=·cos α=sin α. 6.　[解析] ∵tan α=,<α<π,∴α=,∴cos α=-,sin α=-, ∴cos α-sin α=--=. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)思路一:根据条件设出角θ终边上一点P的坐标为(2,1),进而利用三角函数的定义求出sin θ,cos θ即可得结果;思路二:根据商数关系与平方关系求sin θ与 cos θ,进而可得结果;思路三: 根据条件得到(sin θ-cos θ)2的值,缩小角θ的取值范围,进而得到sin θ与cos θ的大小关系,即可求解.(2)根据题意结合同角三角函数的基本关系可得tan2α-sin2α=tan2αsin2α,即可得结果. (1)-　(2)2　[解析] (1)方法一:因为θ∈,tan θ=,所以可设θ终边上一点P的坐标为(2,1),则|OP|==(O为坐标原点),所以sin θ==,cos θ==, 故sin θ-cos θ=-. 方法二:因为θ∈,tan θ=,所以可得 所以sin θ-cos θ=-. 方法三:(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=1-=,因为tan θ=<1,0<θ<,所以0<θ<,所以sin θ<cos θ,所以sin θ-cos θ=-. (2)因为tan2α-sin2α=-sin2α=sin2α×=sin2α×=tan2αsin2α,所以tan2αsin2α=tan2α-sin2α=2. 变式题　0　[解析] ∵cos α=-<0且cos α≠-1,∴α是第二或第三象限角. ①若α是第二象限角,则sin α===, ∴tan α===-,此时13sin α+5tan α=13×+5×=0. ②若α是第三象限角,则sin α=-=-=-,∴tan α===,此 时13sin α+5tan α=13×+5×=0.综上,13sin α+5tan α=0. 例2　[思路点拨] (1)思路一:利用三角函数的定义求出sin θ与cos θ的值,再代入计算即可;思路二:利用正切函数的定义及齐次式法计算即可.(2)利用同角三角函数的基本关系将第一个式子化弦为切,进而求解,将第二个式子看作分母为1的分数,利用平方关系化为齐次式后再化弦为切,进而求解. (1)10　(2)　　[解析] (1)方法一:因为角θ的终边过点P(3,4),P到原点的距离r=5,所以sin θ=,cos θ=,故==10. 方法二:由角θ的终边过点P(3,4),得tan θ=,所以===10. (2)因为tan α=-3,所以===,sin2α+2sin αcos α= ===. 变式题　-　　[解析] 由=-1得tan α=,所以===-, sin2α+sin αcos α+2=+2=+2=+2=. 例3　[思路点拨] 将sin α+cos α=两边同时平方,结合平方关系得到sin αcos α, 结合sin αcos α的符号及α的取值范围判断即可. ABD　[解析] ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α=,解得sin αcos α=-,故B正确;∵α∈(0,π),sin αcos α=-<0,∴<α<π,cos α<0,故A正确,C错误;由<α<π可知, cos α-sin α<0,又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,∴cos α-sin α=-,故D正确.故选ABD. 变式题　　[解析] ∵0<θ<π,sin θcos θ=-<0,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0, ∴sin θ-cos θ== ===. 例4　[思路点拨] (1)由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简,进而求目标式的值;(2)由已知利用诱导公式分别求出sin,cos的值,进而求出目标式的值. (1)-1　(2)-　[解析] (1)原式== =-·=-1. (2)sin=sin=sin=-,cos=sin=sin=-,所以原式=-. 变式题　(1)AC　(2)1　[解析] (1)因为x∈,所以x+∈,又sin=-,所以x+∈,所以cos=-=-,故A正确;tan=tan=tan==,故B错误;cos=cos=sin=-,故C正确;sin=sin=sin=sin=cos=-,故D错误.故选AC. (2)原式=sin(-3×360°+9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(270°-9°)+tan(360°+225°)= sin 9°cos 9°+sin 9°(-cos 9°)+tan(180°+45°)=tan 45°=1. 例5　[思路点拨] (1)利用诱导公式和tan α=化简即可;(2)由(1)得到tan α的值,结合 tan α=,将sin2α-3sin αcos α=化为关于tan α的式子代入求解即可;(3)由(1)得到tan的值,令α-=θ,则α=θ+,则tan=tan,由诱导公式可得 tan θ=-,再利用同角三角函数的基本关系求出sin θ,进而得解. 解:(1)由题意知f(α)= = ==tan α. (2)由(1)得tan α=2,所以sin2α-3sin αcos α== ==-. (3)由(1)得tan=3,令α-=θ,则α=θ+,则tan=tan===-=3,所以tan θ=-.因为tan θ==-, 所以cos θ=-3sin θ,代入sin2θ+cos2θ=1,得sin θ=±,故sin的值为或-. 变式题　(1)B　(2)B　[解析] (1)因为sin=,所以cos=cos=sin=,则sin=±=±,所以tan==±2. (2)==, 因为2∈,所以sin 2>sin=,cos 2>cos=-,可得sin 2+cos 2>-=0,所以= =sin 2+cos 2.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $