第3单元 05 增分微课4 构造法在解决函数、导数问题中的应用（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦导数中构造函数这一高考核心考点，围绕函数与方程、转化与化归思想，按逆用导函数思维（分f(x)与x、e^x、sinx/cosx等角度）、具体函数构造、同构三大类型系统梳理，通过考点分类、模型总结、真题演练等环节，帮助学生构建解题框架，突破思维难点。 资料以模型化方法指导为特色，总结8类常见构造模型，如例2通过构造g(x)=e^xf(x)分析函数单调性与奇偶性，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。设置基础例题与变式提升题分层训练，确保高效突破考点，助力学生掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

增分微课4　构造法在解决函数、导数问题中的应用 例1　(1)B　(2)A　[解析] (1)构造函数g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以g(x)在R上单调递增,且g(1)=f(1)-1=1.由f(2x)-4x2-1>0可得f(2x)-(2x)2>1,即g(2x)>g(1),所以2x>1,解得x>.故选B. (2)令g(x)=,x∈(-∞,0), 则g'(x)==<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.不等式f(x+2026)-(x+2026)2f(-1)<0等价于<,即g(x+2026)<g(-1),所以 解得-2027<x<-2026.故选A. 变式题　A　[解析] 设g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=-2,∵对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,∴g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由(x+1)f(x+1)>-2可得g(x+1)>g(2),∴x+1<2,解得x<1,故所求解集为(-∞,1).故选A. 例2　D　[解析] 构造g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为当x>0时,f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,g(x)单调递增,则f(x)=e-xg(x)的正负符号由g(x)决定.又因为f(2)=0,所以g(2)=0.因为g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当0<x<2时,g(x)<0,所以此时f(x)=e-xg(x)<0;当x>2时,g(x)>0,所以此时f(x)=e-xg(x)>0.又因为f(x)为R上的奇函数,所以当-2<x<0时,-x∈(0,2),则f(x)=-f(-x)>0,当x<-2时,-x∈(2,+∞),则f(x)=-f(-x)<0,且f(-2)=-f(2)=0.若(x-1)f(x)<0,则或即或 解得1<x<2或-2<x<0.综上,(x-1)f(x)<0的解集为(-2,0)∪(1,2).故选D. 变式题　B　[解析] 令g(x)=,则g'(x)==,因为f'(x)>2f(x),所以g'(x)>0,即函数g(x)在R上单调递增,又a>0,所以g(a)>g(0),即>,即f(a)>e2a·f(0).故选B. 例3　　[解析] 因为当0≤x<时,cos x>0, 所以由f(x)tan x+f'(x)>0可得f(x)sin x+f'(x)cos x>0,令g(x)=,-<x<, 则当0≤x<时,g'(x)=>0,故g(x)在上单调递增.因为f(x)是定义在上的函数且满足f(-x)=f(x),则g(-x)===g(x),则g(x)为上的偶函数.又f=2,所以g===4,因为当x∈时cos x>0,所以f(x)<4cos x,即g(x)<4,即g(x)<g,结合g(x)的奇偶性和单调性可得,|x|<,解得-<x<,故f(x)<4cos x的解集为. 变式题　BC　[解析] 令g(x)=f(x)cos x,对于任意的x∈,g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以g(x)=f(x)cos x在上单调递增,所以g<g,即fcos<fcos,即f<f,故A错误;由g<g,得fcos<fcos,即f<f,故B正确;由g(0)<g,得f(0)cos 0<fcos,即f(0)<f,故C正确;由g(0)<g, 得f(0)cos 0<fcos,即2f(0)<f,故D错误.故选BC. 例4　(1)A　(2)D　[解析] (1)构造函数f(x)=,则f'(x)=,当x=1时,f'(1)=0,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)=在[1,+∞)上单调递减. 因为a==f(1),b===f(ln 3),c===f(2),且1<ln 3<2,所以f(1)>f(ln 3)>f(2),即a>b>c.故选A. (2)由ln=x-5可得ln x-x=ln 5-5,同理ln y-y=ln 4-4,ln z-z=ln 3-3.令f(t)=ln t-t(t>0),则有f(x)=f(5),f(y)=f(4),f(z)=f(3),因为f'(t)=-1=,所以当0<t<1时,f'(t)>0,当t>1时,f'(t)<0,所以f(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(t)max=f(1)=-1,且当t→0+时,f(t)→-∞,当t→+∞时,f(t)→-∞.由单调性知,f(x)=f(5)<f(4)=f(y)<f(3)=f(z),且0<x<5,0<y<4,0<z<3,所以x,y,z∈(0,1),即f(x)<f(y)<f(z),再由单调性知,x<y<z.故选D. 变式题　(1)D　(2)A　[解析] (1)将α+β->sin β-cos α,整理得β-sin β>-α-sin,令f(x)=x-sin x,x∈,因为f'(x)=1-cos x>0,所以f(x)在上单调递增,所以β>-α,又α,β均为锐角,所以cos β<cos,sin β>sin,所以cos β<sin α,sin β>cos α.故选D. (2)因为=4tan,当x∈时,sin x<x<tan x,所以tan>,即>1,所以c>b; 设f(x)=cos x+x2-1,x∈(0,+∞),则f'(x)=-sin x+x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f>f(0)=0,即cos->0,所以b>a.所以c>b>a,故选A. 例5　(1)C　(2)A　[解析] (1)由xex-x-ln x-a≥0,得eln x+x-(ln x+x)-a≥0,令t=ln x+x,则et-t-a≥0恒成立,则a≤et-t恒成立.令φ(t)=et-t,则φ'(t)=et-1,当t∈(-∞,0)时,φ'(t)<0,当t∈(0,+∞)时,φ'(t)>0,所以φ(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以φ(t)min=φ(0)=1,所以a≤1,故实数a的取值范围为(-∞,1].故选C. (2)由f(x1)=g(x2),可得x1+=x2+ln x2,所以x1+=+ln x2,又因为f'(x)=1+ex>0,所以f(x)在R上单调递增,因为f(x1)=f(ln x2),所以x1=ln x2,所以-x2=-x2=.令h(x)=,x>0,则h'(x)==,x>0,令m(x)=1-x2-ln x,x>0,则m'(x)=-2x-,x>0,可得m'(x)<0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.因为m(1)=0,所以当x∈(0,1)时,m(x)>0,h'(x)>0,则h(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,m(x)<0,h'(x)<0,则h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,h(x)取得最大值,所以h(x)≤h(1)=-1.故选A. 变式题　(1)e　(2)C　[解析](1)因为x1>0,x2>0,所以>1,由题意可得-ln x1=-x2,整理可得-ln x1=-ln ,即f(x1)=f().因为y=,y=-ln x在(0,+∞)上均单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,可得x1=,则=.构造函数h(x)=,x>0,则h'(x)=,当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则h(x)≥h(1)=e,所以的最小值为e. (2)∵f(x)=aex+ln-2>0,∴ex+ln a+ln a>ln(x+2)+2,且a>0, 两边加上x得ex+ln a+(x+ln a)>ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln(x+2).设g(x)=x+ex,则g'(x)=1+ex>0,∴g(x)单调递增,∴x+ln a>ln(x+2),即ln a>ln(x+2)-x.令k(x)=ln(x+2)-x,则k'(x)=-1=-,∵f(x)的定义域是(-2,+∞),∴当x∈(-2,-1)时,k'(x)>0,k(x)单调递增,当x∈(-1,+∞)时,k'(x)<0,k(x)单调递减,∴当x=-1时,k(x)取得极大值即为最大值,k(x)max=k(-1)=1, ∴ln a>k(x)max=1,∴a>e. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　　导数中构造函数大多以小题方式考查.函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想方法中比较重要的两个思想,而导数中的构造函数的解题思路恰好是这两种思想的体现. 　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　逆用导函数思维 角度1　利用f(x)与x构造函数 例1 (1)已知定义域为R的函数f(x),对任意的x∈R都有f'(x)>2x,且f(1)=2,则不等式f(2x)-4x2-1>0的解集为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0,+∞) B. C.(1,+∞) D.(2,+∞) (2)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2026)-(x+2026)2f(-1)<0的解集为 (　 ) A.(-2027,-2026) B.(-2026,0) C.(-∞,-2026) D.(-∞,-2027) 变式题 [2025·江西南昌三模] 已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=-1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式(x+1)f(x+1)>-2的解集是 (　 ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 角度2　利用f(x)与ex构造函数 例2 [2025·茂名一模] 已知函数f(x)为R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,f(x)+f'(x)>0,不等式(x-1)f(x)<0的解集为 (　 ) A.(-∞,-2)∪(0,1) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-2,0)∪(0,1) D.(-2,0)∪(1,2) 变式题 若定义在R上的函数y=f(x)满足f'(x)>2f(x),则当a>0时,f(a)与e2af(0)的大小关系为 (　 ) A.f(a)<e2af(0) B.f(a)>e2af(0) C.f(a)=e2af(0) D.不能确定 角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 例3 已知定义在上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当0≤x<时,f(x)tan x+f'(x)>0,若f=2,则f(x)<4cos x的解集为　　　　.  变式题 (多选题)已知函数f(x)对于任意的x∈都有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,则下列不等式成立的是 (　 ) A.f>f B.f<f C.f(0)<f D.2f(0)>f 总结反思 逆用导函数思维构造函数解题的前提是熟悉常见函数的导数公式以及四则运算法则,最好能记住常见的构造模型.下面是常见的构造模型. 模型1:对于不等式f'(x)>g'(x),构造函数h(x)=f(x)-g(x). 模型2:对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=exf(x). 模型3:对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=. 模型4:对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=xf(x). 拓展:对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数g(x)=xnf(x). 模型5:对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=(x≠0). 模型6:对于不等式>0,若f(x)>0,则构造函数h(x)=ln f(x). 模型7:当cos x>0时,对于不等式f'(x)>f(x)tan x(或f'(x)<f(x)tan x),即f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或f'(x)cos x-f(x)sin x<0),构造函数h(x)=f(x)cos x. 模型8:对于不等式f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=. 类型二　具体函数构造 例4 (1)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a (2)[2026·南通模拟] 已知ln=x-5且0<x<5,ln=y-4且0<y<4,ln=z-3且0<z<3,则 (　 ) A.z<y<x B.y<z<x C.x<z<y D.x<y<z 总结反思 此类问题常化为结构相同的双变量结构,构造新函数,利用新函数的单调性解决. 变式题 (1)已知α,β均为锐角,且α+β->sin β-cos α,则 (　 ) A.sin α>sin β B.cos α>cos β C.cos α>sin β D.sin α>cos β (2)[2022·全国甲卷] 已知a=,b=cos,c=4sin,则 (　 ) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 类型三　同构 例5 (1)[2025·烟台三模] 若不等式xex-x-ln x-a≥0恒成立,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(0,1] B.(0,e-1] C.(-∞,1] D.(-∞,e-1] (2)[2025·玉溪三模] 设函数f(x)=x+ex,g(x)=x+ln x,若存在x1,x2,使得f(x1)=g(x2),则-x2的最大值为 (　 ) A.-1 B.-2 C.-e D.-3 总结反思 与ex和ln x相关的常见同构模型: ①aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b,构造函数f(x)=xln x或g(x)=xex; ②<⇔<,构造函数f(x)=或g(x)=; ③ea±a>b±ln b⇔ea±ln ea>b±ln b,构造函数f(x)=x±ln x或g(x)=ex±x. 变式题 (1)已知函数f(x)=-ln x,g(x)=e-x-x,若存在正数x1,x2,使得f(x1)=g(x2),则的最小值为　　　　.  (2)已知函数f(x)=aex+ln-2,若f(x)>0恒成立,则正实数a的取值范围是 (　 ) A.0<a<e B.a>e2 C.a>e D.a>2e 学科网（北京）股份有限公司 $