第1单元 06 第5讲 第2课时 一元二次方程、不等式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦一元二次方程、不等式及函数关系核心考点，按三个“二次”（方程、函数、不等式）内在联系系统梳理，通过考点表格对比、解题方法指导（分类讨论、换元法）、分层真题训练（常识题、常错题、例题变式）等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料以数学思维（逻辑推理、分类讨论）和数学语言（符号表达、解集规范）为特色，如含参不等式按二次项系数、判别式、根的大小分层教学，恒成立问题用分离参数法强化应用意识，可高效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

/ 第2课时　一元二次方程、不等式 / 【课标要求】　1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y= ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实 数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1= x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 　　　  　　　  　　　  ax2+bx+c<0(a>0)的解集 　　　  　　　  　　　  3.分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0; <0⇔f(x)·g(x)<0. (2)≥0⇔ ≤0⇔ 常用结论 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),绝对值不等式|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形; (2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀. 题组一　常识题 1.[教材改编] 不等式13-4x2>0的解集为　　　　.  2.[教材改编] 若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞),则a+b=　　　　.  3.[教材改编] 若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:忽视二次项系数的符号致误;变形不等价致误;分类讨论时忽视二次项系数为0的情况致误. 4.不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　.  5.不等式≤1的解集是　　　　.  6.若关于x的不等式ax2+2x-1>0有实数解,则a的取值范围是　　　　.  　一元二次不等式的求解 角度1　不含参的不等式　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.不等式0<x2-x-2≤4的解集为[-2,-1)∪(2,3] 总结反思 解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集. 角度2　含参的不等式 例2 解关于x的不等式ax2-(a+2)x+2<0(a∈R).     总结反思 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类; (2)根据判别式Δ与0的关系判断对应一元二次方程根的个数; (3)对应的一元二次方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 变式题 解关于x的不等式ax2+2x+1>0,a∈R.     角度3　二次复合含参不等式 例3 已知函数f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,求关于x的不等式f(x)<0的解集.     总结反思 对于复合指数(对数)不等式,可通过换元法,转化为一元二次不等式后求解.需要注意的是换元前后对未知数取值范围的影响. 　三个二次之间的关系 例4 (多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则 (　 ) A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪ 总结反思 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 变式题 (多选题)已知关于x的不等式a(x-2)(x+1)+1>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论中正确的是 (　 ) A.x1+x2=1 B.x1x2+2<0 C.x1<-1<x2<2 D.|x1-x2|>3 　一元二次不等式恒成立问题 例5 已知函数f(x)=x2+2ax+2. (1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围; (2)当x∈[-1,1]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围; (3)当a∈[2,3]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.     总结反思 不等式恒成立求参数的取值范围的解题策略 (1)一元二次不等式恒成立,可以利用判别式. (2)求不等式恒成立问题的常见方法:①分离参数:a≥f(x)恒成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立(a≤f(x)min即可);②数形结合:y=f(x)的图象在y=g(x)的图象的上方即可;③讨论最值:f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成立;④讨论参数. (3)弄清自变量、取值范围,一般情况下,求谁的取值范围,谁就是参数. 变式题 (1)若关于x的不等式x2-2ax-3<0对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. (2)若不等式x2-ax≥16-3x-4a对任意a∈[-2,4]恒成立,则x的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-8]∪[3,+∞) B.(-∞,0)∪[1,+∞) C.[-8,6] D.(0,3] (3)已知函数f(x)=x2+2x,若f(x)≥m2-2am-9对任意x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　一元二次方程、不等式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 2.{x|x<x1或x>x2} 　R　{x|x1<x<x2} ⌀　⌀ 【对点演练】 1.　[解析] 原不等式等价于x2<,即<0,解得-<x<,所以原不等式的解集是. 2.-1　[解析] 由题意可得-a=-2+1,b=(-2)×1,可得a=1,b=-2,故a+b=-1. 3.(-3,0)　[解析] 由题意知解得-3<k<0. 4.(-∞,-1]∪ [解析] 由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,得x≤-1或x≥,故不等式的解集为(-∞,-1]∪. 5.{x|x<-1或x≥1}　[解析] 由≤1得-1≤0,得≤0,得≥0,所以x-1=0或(x-1)(x+1)>0,得x=1或x<-1或x>1,即x<-1或x≥1,所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}. 6.(-1,+∞)　[解析] 当a=0时,不等式为2x-1>0,有实数解,满足题意;当a>0时,不等式对应的二次函数的图象开口向上,Δ=4+4a>0,所以不等式有实数解,满足题意;当a<0时,若不等式有实数解,则Δ=4+4a>0,可得-1<a<0.综上,a的取值范围是(-1,+∞). ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 对于A,首先解一元二次方程x2+x-2=0,再结合不等式对应的二次函数图象写出其解集.对于B,先等价变形,转化为与其同解的一元二次不等式(组),再求解.对于C,思路一:借助绝对值的意义求解;思路二:将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.对于D,分别求出不等式x2-x-2>0和x2-x-2≤4的解集,然后求交集. ABD　[解析] 对于A,因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确.对于B,因为-1≤0,所以≤0,可得(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确. 对于C,方法一:由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误. 方法二:由|x-2|≥1,可得(x-2)2≥1,即(x-2)2-1≥0,所以(x-1)(x-3)≥0,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误.对于D,由题得即即 即故原不等式的解集为[-2,-1)∪(2,3],故D正确.故选ABD. 例2　[思路点拨] 对a进行分类讨论,分别解出不等式即可. 解:若a=0,则不等式化为-2x+2<0,解得x>1,不等式的解集为{x|x>1}. 若a≠0,则不等式化为(ax-2)(x-1)<0,一元二次方程(ax-2)(x-1)=0的解为x1=,x2=1. 当0<a<2时,>1,则原不等式的解集为;当a=2时,=1,则原不等式的解集为⌀; 当a>2时,<1,则原不等式的解集为; 当a<0时,<1,不等式化为(-ax+2)(x-1)>0,解得x>1或x<,故原不等式的解集为. 综上所述,当a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};当0<a<2时,不等式的解集为;当a=2时,不等式的解集为⌀;当a>2时,不等式的解集为. 变式题　解:当a=0时,原不等式为2x+1>0,解得x>-,则不等式的解集为. 当a<0时,Δ=4-4a>0,ax2+2x+1=0的两个根分别为,,且<, 此时不等式的解集为. 当a>0时,若Δ=4-4a<0,即a>1,则不等式的解集为R; 若Δ=4-4a=0,即a=1,则不等式的解集为{x|x≠-1}; 若Δ=4-4a>0,即0<a<1,则ax2+2x+1=0的两个根分别为,,>,则不等式的解集为. 综上可知,当a=0时,不等式的解集为;当a<0时,不等式的解集为; 当a>1时,不等式的解集为R;当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1}; 当0<a<1时,不等式的解集为. 例3　[思路点拨] 设ex=t>0,通过换元,将不等式化为(at-1)(2t+1)<0,再对a进行讨论,进而求解. 解:设ex=t>0,则不等式f(x)<0可化为(at-1)(2t+1)<0. 当a≤0时,∵t>0,∴不等式(at-1)(2t+1)<0恒成立,此时不等式的解集为R;当a>0时,∵t>0,∴由(at-1)(2t+1)<0得0<t<, ∴0<ex<,解得x<-ln a,此时不等式的解集为(-∞,-ln a). 综上所述,当a≤0时,不等式的解集为R;当a>0时,不等式的解集为(-∞,-ln a). 例4　[思路点拨] 对于A,结合不等式及其解集判断a的符号;对于B,易知-2,3是方程ax2+bx+c=0的根,利用根与系数的关系用a表示b,c,进而可判断a+b+c的符号;对于C,D,将b,c替换成a,解一元一次不等式与一元二次不等式即可. ACD　[解析] ∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),∴a>0,故A正确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得则∴a+b+c=-6a<0,故B错误;不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,得x<-6,故C正确;不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,故D正确.故选ACD. 变式题　ABD　[解析] 由题意可得a<0,且a(x-x1)(x-x2)=a(x-2)(x+1)+1=ax2-ax-2a+1,则x1+x2=-=1,x1x2==-2,即x1x2+2=<0,故A,B正确;由x1+x2=1,x1x2+2<0,得x1(1-x1)+2<0,x2(1-x2)+2<0,即-x1-2=(x1-2)(x1+1)>0,-x2-2=(x2-2)(x2+1)>0,又x1<x2,x1+x2=1,所以x1<-1,x2>2,故C错误;|x1-x2|= == >3,故D正确.故选ABD. 例5　[思路点拨] (1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即x2+2ax+2-a≥0恒成立,则Δ≤0,解不等式即可;(2)f(x)≥a可化为x2+2ax+2-a≥0,设g(x)=x2+2ax+2-a,得到二次函数g(x)的图象的对称轴方程为x=-a,按对称轴与[-1,1]的位置关系讨论求解; (3)先把f(x)=x2+2ax+2化为f(x)=2xa+x2+2,再令h(a)=2xa+x2+2,然后利用单调性即可求解. 解:(1)因为当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即x2+2ax+2-a≥0恒成立, 所以Δ=4a2-4(2-a)≤0, 即a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1, 所以实数a的取值范围是[-2,1]. (2)由题意,原不等式可转化为x2+2ax+2-a≥0对x∈[-1,1]恒成立, 则当x∈[-1,1]时,(x2+2ax+2-a)min≥0. 令g(x)=x2+2ax+2-a,则函数g(x)的图象的对称轴方程为x=-a. 当-a<-1,即a>1时,g(x)在[-1,1]上的最小值为g(-1)=3-3a, 由3-3a≥0,解得a≤1,舍去; 当-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,g(x)在[-1,1]上的最小值为g(-a)=-a2-a+2, 由-a2-a+2≥0,解得-2≤a≤1,所以-1≤a≤1; 当-a>1,即a<-1时,g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=3+a, 由3+a≥0,解得a≥-3, 所以-3≤a<-1.综上可得,实数a的取值范围是[-3,1]. (3)令h(a)=2xa+x2+2. 当a∈[2,3]时,h(a)≥0恒成立, 只需即 解得x≤-3-或x≥-3+, 所以实数x的取值范围是(-∞,-3-]∪[-3+,+∞). 变式题　(1)D　(2)A　(3)[-2,2] [解析] (1)当x=0时,原不等式为-3<0,恒成立;当x∈(0,2]时,由题得2a>=x-恒成立,令f(x)=x-,x∈(0,2],易知f(x)=x-在(0,2]上单调递增,所以当x=2时,f(x)=x-取得最大值,即f(x)max=f(2)=2-=,所以2a>,则a>.综上,实数a的取值范围为.故选D. (2)由题得不等式(x-4)a-x2-3x+16≤0对任意a∈[-2,4]恒成立,所以即解得x≥3或x≤-8.故选A. (3)f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增,当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1.由对任意x∈[-1,1],a∈[-1,1],f(x)≥m2-2am-9恒成立,得对任意a∈[-1,1],m2-2am-9≤-1恒成立,即对任意a∈[-1,1],g(a)=-2ma+m2-8≤0恒成立,因此解得则-2≤m≤2,所以实数m的取值范围是[-2,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $