第1单元 05 教材拓展1 三元基本不等式、柯西不等式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式（三元及n元推广）和柯西不等式（向量、二维、三维形式）等高考核心考点，按“基础原理-推广拓展-应用场景”逻辑架构知识体系，通过考点溯源（课本探源）、方法归纳（典型例题）、真题精练（巩固演练）三环节，帮助学生构建不等式应用的解题框架，突破求最值与证明难点。 讲义突出“原理-模型-应用”教学链，如讲解柯西不等式时，先结合向量数量积几何意义培养数学眼光，再通过对比二维与三维形式归纳“平方和乘积≥乘积和平方”的数学语言表达，设置选择、填空、解答题分层训练。这种设计能高效提升学生逻辑推理与运算求解能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1.三元基本不等式: 如果a,b,c均为正数,那么≥(当且仅当a=b=c时等号成立). 推广:n元基本不等式:如果a1,a2,…,an均为正数,那么≥(当且仅当a1=a2=…=an时等号成立). [课本探源:苏教必修第一册P71问题与探究] 2.柯西不等式: (1)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α|·|β|,当且仅当β是零向量,或者存在实数k,使得α=kβ(β≠0)时等号成立. (2)二维形式的柯西不等式 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. (3)三维形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,b1,b2,b3都是实数,则(++)(++)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在实数k,使得ai=kbi(bi≠0,i=1,2,3)时,等号成立. [课本探源:人A必修第二册P37第16题] 【典型例题】 例1 已知x>0,则y=6x+的最小值是　　　　.  例2 (1)[2025·蚌埠4月模拟] 已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为　　　　.  (2)[2025·天津河西区模拟] 已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则++的最大值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.3 C.18 D.9 【巩固演练】 1.若++=1,++=4,则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.对任意的正实数x,y,+≤k恒成立,则k的最小值为 (　 ) A. B. C.2 D. 3.已知x>0,y>0,+y2=1,则x+y的最大值是　　　　.  4.函数f(x)=+的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 教材拓展1　三元基本不等式、柯西不等式 【典型例题】 例1　9　[解析] y=6x+=3x+3x+≥3=9,当且仅当3x=,即x=1时,等号成立. 例2　(1)3+2　(2)B　[解析] (1)方法一(基本不等式):由题意得+=(x+y)=1+2++≥3+2,当且仅当=,即x=-1,y=2-时取等号,∴+的最小值为3+2. 方法二(柯西不等式):∵x>0,y>0,x+y=1,∴0<x<1,1-x>0,∴+=+=[()2+()2]≥=3+2,当且仅当=,即x=-1时取等号,∴+的最小值为3+2. 方法三(权方和不等式):∵x>0,y>0,x+y=1,∴0<x<1,1-x>0,由权方和不等式可得+=+≥=3+2,当且仅当=,即x=-1时取等号,∴+的最小值为3+2. (2)由柯西不等式得(++)2≤(12+12+12)[()2+()2+()2]=3×[3(a+b+c)+3]=18,所以++≤3,当且仅当a=b=c=时,等号成立.故选B. 【巩固演练】 1.B　[解析] ∵(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(++)·(++)=4,∴a1b1+a2b2+a3b3≤2,当且仅当ai=bi(i=1,2,3)时,等号成立,故选B. 2.B　[解析] 方法一(基本不等式):由题意得k≥恒成立.∵=≤=6,当且仅当5x=y时,等号成立,∴≤,∴k≥.故选B. 方法二(柯西不等式):由题意得k≥恒成立.∵(+)2≤(x+y)(1+5)=6(x+y),当且仅当=,即5x=y时,等号成立,∴+≤,即≤,∴k≥.故选B. 方法三(权方和不等式):由题意得k≥恒成立.∵=≤+=6,当且仅当=,即5x=y时,等号成立,∴≤,∴k≥.故选B. 3.2　[解析] 由柯西不等式得(12+12)≥=,所以1×2≥,当且仅当=y,即x=,y=时等号成立,所以+y≤,故x+y的最大值是2. 4.2　[解析] f(x)=+,由解得0≤x≤1.当x=0时,f(0)=0;当x=1时,f(1)=;当0<x<1时,f(x)>0,此时1-x>0且4-x>0,由柯西不等式可得[+]2≤[x+(4-x)][(1-x)+x]=4,当且仅当=,即x=时取等号,此时[f(x)]2≤4,即f(x)≤2.所以函数f(x)=+的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $