第4单元 02 第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数的基本关系式与诱导公式”专题，依据课标要求梳理平方关系、商数关系及诱导公式等核心考点，通过常错题索引分析符号判断、象限角忽略等易错点，归纳切弦互化、齐次式、和积转换等常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题融入与应试技巧指导，如结合2023全国乙卷真题展示切弦互化的定义法、方程法、整体代入法，培养数学思维；通过“奇变偶不变，符号看象限”口诀强化诱导公式应用，提升数学语言表达能力。课时作业分层设计，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，高效备战高考。

第23讲 同角三角函数的基本关系式 与诱导公式 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.理解同角三角函数的基本关系式:, . 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式（ 的正 弦、余弦、正切） 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.同角三角函数的基本关系 （1）平方关系:_________________. （2）商数关系:_ ____________________________. , 课 前 基 础 巩 固 4 2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 与角 终边的 关系 相同 关于原 点对称 关于 轴对称 关于 轴对称 关于直线 对称 正弦 课 前 基 础 巩 固 5 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 余弦 ______ 正切 ______ 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号 看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 续表 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.同角三角函数的基本关系的常用变形 （1） ; ; . （2） ； .#3.1.2 课 前 基 础 巩 固 7 （3） ; ； . 其中 ， . 2. ; .#3.2 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知,且 为第二象限角,则 __, ____. [解析] ,且 为第二象限角, , . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］已知，则 __. [解析] 原式 . 3.［教材改编］已知，则 ____. [解析] ， ， . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：运用平方关系时不考虑角为第几象限角致误；运用诱导公 式时不注意符号致误；利用同角三角函数的基本关系求值时,不能根 据角的取值范围判断出所求三角函数值的符号致误. 课 前 基 础 巩 固 11 4.若，则 ____. [解析] ， 为第一象限角或第二象限角. 当 为第一象限角时,, ； 当为第二象限角时, ， .综上， . 课 前 基 础 巩 固 12 5.化简 的结果为______． [解析] 原式 . 6.已知， ，则 的值为_ ____． [解析] ， ，， ， ， . 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 同角三角函数的基本关系 角度1 切弦互化 例1（1）[2023·全国乙卷] 若,,则 _ ____. ［思路点拨］思路一：根据条件设出角 终边上一点 的坐标为 ，进而利用三角函数的定义求出 ， 即可得结果; 思路二：根据商数关系与平方关系求 与 ，进而可得结果； 思路三：根据条件得到的值，缩小角 的取值范围， 进而得到 与 的大小关系，即可求解. 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 方法一：因为，，所以可设 终边上一点 的坐标为，则为坐标原点 ，所以 ，，故 ． 方法二：因为，，所以 可得 所以 ． 课 堂 考 点 探 究 15 方法三： ,因为,,所以, 所以 ,所以 . 课 堂 考 点 探 究 16 （2）[2025·辽宁重点中学协作体二模] 已知 ，则 ___. 2 ［思路点拨］根据题意结合同角三角函数的基本关系可得 ，即可得结果. [解析] 因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 17 [总结反思] （1）知一求二问题，注意判断角的取值范围，另外熟记以下常见勾 股数，可以提高解题速度：， ， ，，， . （2）利用可以实现角 的正弦、余弦的互化，利 用 可实现角 的弦切互化，注意公式的逆用及变形应用. 课 堂 考 点 探 究 18 变式题 已知，则 ___. 0 [解析] 且， 是第二或第三象限角． ①若 是第二象限角，则 ， ， 此时 . 课 堂 考 点 探 究 19 ②若 是第三象限角， 则 ， ， 此时 . 综上， . 课 堂 考 点 探 究 20 角度2 齐次式 例2（1）[2025·四川成都二诊] 已知角 的终边过点 ，则 ____. 10 ［思路点拨］思路一：利用三角函数的定义求出 与 的值，再代入计算即可； 思路二：利用正切函数的定义及齐次式法计算即可. 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 方法一：因为角 的终边过点，到原点的距离 ， 所以,,故 . 方法二：由角 的终边过点，得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 22 （2）若，则__， ___. ［思路点拨］利用同角三角函数的基本关系将第一个式子化弦为切， 进而求解，将第二个式子看作分母为1的分数，利用平方关系化为齐 次式后再化弦为切，进而求解. [解析] 因为，所以 ， . 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过 分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的 分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关 系中的一类基本题型，形如 ， 等类型可进行弦化切. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题 已知，则 ____， ___. [解析] 由得 ，所以 ， . 课 堂 考 点 探 究 25 角度3 和积转换 例3 （多选题）已知，且 ，则下列结论正 确的是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］将 两边同时平方，结合平方关系得到 ,结合 的符号及 的取值范围判断即可. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] ， ， 解得 ，故B正确； ，， ，，故A正确，C错误； 由 可知， ， 又 ， ，故D正确．故选 . 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] 对于已知 的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整 体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有 ， ， 等. 课 堂 考 点 探 究 28 变式题 若 ,，则 ___． [解析] ,,, , ， . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点二 诱导公式 例4（1）计算： ____. ［思路点拨］由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简，进而求 目标式的值; [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 30 （2）已知，则 ____. ［思路点拨］由已知利用诱导公式分别求出 ， 的值，进而求出目标式的值. [解析] ， ，所以原式 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 1.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 内的角的三角函数 锐角的 三角函数. 课 堂 考 点 探 究 32 2.诱导公式的两个应用 （1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； （2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 3.常见的互余的角： 与 , 与 , 与 等. 常见的互补的角: 与 , 与 , 与 等. 课 堂 考 点 探 究 33 变式题（1）（多选题）已知， ，则下列 说法正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 因为,所以,又 , 所以,所以 , 故A正确； ,故B错误； ，故C正确； ，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 35 （2）［人教A版必修第一册P194习题5.3第3（2）题改编］求值: ___. 1 [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 36 探究点三 基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 已知 . （1）化简 ； ［思路点拨］利用诱导公式和 化简即可； 解：由题意知. 课 堂 考 点 探 究 37 （2）若，求 的值； ［思路点拨］由（1）得到 的值，结合 ，将 化为关于 的式子代入求 解即可； 解：由（1）得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 38 （3）若，求 的值. ［思路点拨］由（1）得到的值，令 ，则 ，则 ，由诱导公式可得 ，再利用同角三角函数的基本关系求出 ，进而得解. 课 堂 考 点 探 究 39 解：由（1）得，令 ， 则 ，则 ，所以. 因为,所以 ,代入， 得，故的值为 或 . 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] （1）利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时，关键 是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. （2）注意角的取值范围对三角函数值符号的影响. 课 堂 考 点 探 究 41 变式题（1）已知,那么 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ,所以 ,则 , 所以 . √ 课 堂 考 点 探 究 42 （2）[2025·湖南常德模拟]化简 的结果 为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] ，因为，所以, ，可得 ， 所以 故选B. 课 堂 考 点 探 究 44 课时作业 45 ◆ 基础热身 ◆ 1. ( ) A. B. C. D. [解析] .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 2.已知，，则 ( ) A.3 B. C. D. [解析] 因为，，所以 ， 所以 ，故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 3.[2025·福建莆田二检]已知，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 4.已知，则 ( ) A. B. C. D.3 [解析] 由得 故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 5.已知，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知 ，故 ，故 . 且,， ， ，故 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 6.（多选题）在 中，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 [解析] 在中， ， 则 ，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. 的值为____. [解析] 原式 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 8.已知，且，则 的 值为_ ___. [解析] ,， ， , . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 9.已知 ， . （1）求 的值； 解：由，得 ，解得 或 . 因为 ，所以，所以 . （2）求 的值； 解： . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 （3）求 的值. 解： . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·北京西城区一模]在长方形中，为 的中点， ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 [解析] 设 ，则 ，如图所示. 因为，， ， 所以，所以 ， 故 ，所以 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 11.已知锐角 满足，则 ( ) A. B.13 C. D. [解析] 因为角 为锐角，所以.由 ， 解得或（舍去），故 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 12.（多选题）[2025·陕西汉中模拟]已知 ， ，则下列等式正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 [解析] 对于A，因为 ，所以，因为 ， 所以，，则 ，故A正确； 对于B，由,，得 ， 因为 ， 所以 ，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 对于C，由， ，解得，故C错误； 对于D， ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 13.在平面直角坐标系中，角 与角 均以 轴的非负半轴为始 边，它们的终边关于直线对称，若，则 _ ___. [解析] 因为角 , 的终边关于直线 对称， 所以，即 ， 所以 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 14.[2025·黑龙江哈尔滨三中一模] 已知 是第一象限角，且 ，则 _____. [解析] 由题意可得 ，故. 因为 是第一象限角,所以,,故 ,,所以 ,所以 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 15.已知 . （1）化简 ； 解：由题意得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 （2）若 是第三象限角，且，求 . 解：因为， 所以 .又 为第三象限角， 所以 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）[2025·长沙一中月考] 如图，点 是以,,, 为顶点的正方 形的边上的动点，角 以为始边， 为终边， 定义, ，则( ) A. B. C., D., √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 对于A，当 时，易知 ， ，依题意可知 ，故A错误； 对于B，因为角 以为始边， 为终边，， 所以， ,故 , ，故角以 为始边，为终边， 其中 ，所以 ，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 对于C，由 可得 ， 当时,可得 ,则不等式等价于 ， 可得 ，显然该不等式恒成立，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，当时，角 的终边与正方形在第一象限内的边 交于，角 的终边与正方形在第一象限内的边交于 ， 如图所示，设，易知平分 ， 由角平分线定理可得，可得 ， 又, ， 所以，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.设 ，且 ，则实数 的取值范围是_ ___________. [解析] 由题意得 ， 令 ，则，， 因为 ，所以,故 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 所以， 令 ，则在上单调递减， 所以，即 的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $