第8单元 06 第53讲 双曲线（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦双曲线专题，覆盖定义、标准方程、几何性质（渐近线、离心率等）核心考点，依据课标要求梳理知识体系，对接高考评价体系，分析离心率计算、渐近线方程等高频考点权重，归纳定义应用、方程求解等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题训练与数学思维培养结合，如以2024全国甲卷离心率题为例，通过“定义法+方程法”构建解题模型，培养逻辑推理素养；设置易错点分析（如忽视焦点位置、定义中“差的绝对值”）和变式训练，帮助学生掌握答题技巧，提升得分率，教师可据此精准指导复习，助力学生高效冲刺高考。

第53讲 双曲线 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.双曲线的定义 平面内与两个定点, 的__________________等于非零常数 （小于 ）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的 ______,两焦点间的距离叫作双曲线的______. 集合，，其中， 为常数 且， . 距离的差的绝对值 焦点 焦距 （1）当______时，点 的轨迹是双曲线； （2）当______时，点 的轨迹是两条射线； （3）当______时，点 不存在. 课 前 基 础 巩 固 4 2.双曲线的标准方程 （1）中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线的标准方程为 ； （2）中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线的标准方程为 . 课 前 基 础 巩 固 5 3.双曲线的性质 标准方程 图形 课 前 基 础 巩 固 6 性 质 范围 _______________， _______________， 对称性 对称轴：坐标轴.对称中心：原点 顶点 ________， ______ ________， ______ 渐近线 _ _____ ______ 离心率 ， ________ ， ， 的关系 ________ 或 或 续表 课 前 基 础 巩 固 7 性 质 实、虚 轴 线段叫作双曲线的实轴，它的长 ____； 线段叫作双曲线的虚轴，它的长 ____； 叫作双曲线的实半轴长， 叫作双曲线的虚半轴长 续表 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 双曲线的几个常用结论: （1）与双曲线 有共同渐近线的双曲线系的 方程为 . （2）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 ，双曲线的 焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长. （3）同支的焦点弦中最短的为通径，异支的焦点弦中最短的为实轴， 其长为 . 课 前 基 础 巩 固 9 （4）离心率 . （5）若是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，， 分别为 双曲线的左、右焦点，则，其中 . （6）若是双曲线右支上一点，， 分别为双曲线的左、右焦点， 则， . 课 前 基 础 巩 固 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］双曲线 的实半轴长为___，焦点坐 标为______________，渐近线方程为_ ________. ， [解析] 把双曲线的方程 化为标准方程，得 . 由此可知，， ，故 ， 则实半轴长为4，焦点坐标为，，渐近线方程为 . 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］经过点 ，且对称轴为坐标轴的等轴双曲线的 方程为_ __________． [解析] 设双曲线的方程为，把点 的坐标 代入，得，故所求双曲线的方程为 . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］已知表示双曲线，则实数 的取值范围是 ______. [解析] 要使表示双曲线，只需 ，解得 ，所以实数的取值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 13 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视双曲线上一点到焦点的距离的范围致误；忽视定义中 的条件“差的绝对值”致误;忽视双曲线焦点的位置致误. 4.已知是双曲线上一点,, 分别是双曲线的左、右焦点, 若,则 ____. 17 [解析] 由题意知,所以点 在双曲线的左支上, 则,故 . 课 前 基 础 巩 固 14 5.平面内到和 的距离之差等于6的点的轨迹是 _ _______________________. 双曲线的右支 [解析] 设满足题意的点为点 ，由题意知 ,则点在以, 为焦点,且实轴长为6的双曲线的右支上. 设该双曲线的方程为 ，半焦距为， 则，，故 ， 所以所求点的轨迹是双曲线 的右支. 课 前 基 础 巩 固 15 6.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线 的倾斜角为 ,则该双曲线的离心率为_ ______. 2或 课 前 基 础 巩 固 16 [解析] 若双曲线的焦点在 轴上,则设双曲线的方程为 ,则其渐近线的方程为 ,由题意可 得,即,可得,此时离心率为 . 若双曲线的焦点在 轴上,则设双曲线的方程为 ,则其渐近线的方程为 ,由题意可得, 即,可得 ,此时离心率为. 综上，所求离心率为2或 . 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 双曲线的定义及其应用 例1（1）已知动圆与两圆， 中 的一个内切，与另一个外切，则动圆 的圆心的轨迹方程为 _ ____________. ［思路点拨］利用两圆相切的性质，分类讨论，即可求出动圆 的 圆心的轨迹方程. 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 设圆与圆 的圆心分别为 ，，动圆的半径为. 因为，所以当动圆 的半径小于2时，与其中一个圆内切后， 不可能与另一个圆外切，显然 ，所以. 当动圆与圆 内切、与圆外切时， 有 则，所以动圆的圆心的轨 迹是以， 为焦点的双曲线的左支； 课 堂 考 点 探 究 19 当动圆与圆 外切、与圆内切时， 有 则，所以动圆的圆心的轨 迹是以， 为焦点的双曲线的右支. 综上，动圆的圆心的轨迹是以， 为焦点的双曲线， 又，，所以， ，故， 故动圆的圆心的轨迹方程为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）已知双曲线的两个焦点分别为,，点 在双曲线 上，且，则 的周长为____，面积为___. 12 6 ［思路点拨］根据双曲线的定义可得 ，结合 求得，结合 的值，即可求得 的周长；利用余弦定理求出，进而得到 ， 结合三角形的面积公式即可求 的面积. 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 根据双曲线的定义得 ,. 因为，所以 ，可得，则 的周长为. 在中，根据余弦定理得，则 ，故 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.在“焦点三角形”中，常 利用正弦定理、余弦定理，结合 ，运用平方的方 法，建立与 的联系.注意判断点在双曲线的哪一支上，便 于去掉绝对值. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题（1）若点为直线上的任意一点，， ， 则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D.以上都有可能 [解析] 若，则点的轨迹是以， 为焦点的双曲线，其方程为. 因为直线 是该双曲线的一条渐近线，所以 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 24 （2）设,为双曲线的两个焦点，点 是双曲线上的一 点，且 ，则 的面积为( ) A. B.2 C. D.4 [解析] 由,可知, ,. 如图，由对称性，不妨设点 在第一象限， 设, ，由双曲线 的定义得 , ，, ， 的面积为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 25 探究点二 双曲线的标准方程 例2（1）已知双曲线的上、下焦点分别为，， 是 双曲线上一点且 ，则双曲线的标准方程为 _ ___________. ［思路点拨］由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线的定义 得到，由焦点坐标得到，进而得到 ，即可求出双曲 线的标准方程. 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 由题意得，双曲线的焦点在 轴上， 设双曲线的方程为， 因为 ，所以， 又双曲线的上、下焦点分别为，，则 ， 故， 故双曲线的标准方程为 . 课 堂 考 点 探 究 27 （2）[2026·重庆巴蜀中学月考改编] 已知焦点在轴上的双曲线 与 双曲线有共同的渐近线，且点在双曲线 上，则 双曲线 的方程为_ ___________. ［思路点拨］根据题意可设双曲线的方程为, ，将 点的坐标代入，解出 即可. [解析] 设双曲线的方程为,，将点 的坐标代 入，得，解得，所以双曲线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] 求双曲线方程的常用方法: （1）定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义, 确定,或,从而求出, ,写出双曲线方程. （2）待定系数法:先确定焦点在轴还是 轴上,设出标准方程,再由条 件确定, 的值,即“先定型,再定量”.当焦点位置不好确定时,可将双 曲线方程设为,根据条件确定, 即可. 课 堂 考 点 探 究 29 特别地,①与双曲线 共渐近线的双曲线的方 程可设为; ②与双曲线 共焦点的双曲线的方程可设为 .#3.2 课 堂 考 点 探 究 30 变式题（1）[2023·天津卷]双曲线 的左、右 焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为 .已知 ，直线的斜率为 ，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意，， 焦点到任一条渐近线的距离为， . 在为原点中,由等面积法易得点的坐标为 ,故 ,化简可得,故, 双曲线的方程为 . √ 课 堂 考 点 探 究 31 （2）[2025·天津和平区三模]已知双曲线 的上、下焦点分别为点， ，若的实轴长为1，上点满足 ，且， 则 的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 由题意设双曲线的方程为 ， 由题意可知. 由， 及双曲线的定义，得 可得，故， 故双曲线的方程为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 33 探究点三 双曲线的几何性质有关问题 微点1 渐近线 例3 [2026·江苏南通调研]已知双曲线 的 焦距为，焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的渐近线方程 为( ) A. B. C. D. √ ［思路点拨］设双曲线的焦距为，由条件可求出，求出双曲线 的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线的距离公式求焦点到渐近 线的距离，从而得到,由，，的关系求 ，进而可得渐近线方程. 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 设双曲线的焦距为，则 ， 故，所以焦点坐标为 . 因为双曲线的渐近线方程为 ， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离 ， 又因为焦点到渐近线的距离为,所以 ,所以， 所以该双曲线的渐近线方程为 ，即 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] （1）渐近线方程的求法：对于双曲线 ,令 ，即得渐近线方程为（或 ）. （2）在双曲线中，离心率 与双曲线的渐 近线的斜率之间满足关系式 . 课 堂 考 点 探 究 36 微点2 离心率 例4（1）[2024·全国甲卷]已知双曲线的两个焦点分别为, , 点 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A.4 B.3 C.2 D. √ 课 堂 考 点 探 究 37 ［思路点拨］思路一：由焦点坐标得到,由双曲线的定义得到 ,即可求解； 思路二：设出双曲线的方程，根据双曲线的焦点坐标得到 ，根据 及点在双曲线上得到一个关于， 的方程组，即可求得 ， 进而可得离心率. [解析] 方法一:记双曲线的上、下焦点分别为, ,点. 因为,所以. 因为 ,所以,则该双曲线的离心率 ,故选C. 课 堂 考 点 探 究 方法二：由题意可设双曲线的方程为 . 因为双曲线的上、下焦点分别为，，所以. 因为点 在该双曲线上，所以， 所以 所以， 所以，解得 (舍)或，所以， 所以双曲线的离心率 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 39 （2）[2025·河北邢台三模] 已知， 分别为双曲线 的左、右焦点，点在 上，且满足 ，，则 的离心率为____. ［思路点拨］设，则，在 中， 利用余弦定理，列出方程，得到与 的关系，结合双曲线的定义， 得到与 的关系，进而可得双曲线的离心率. 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 因为，所以可设 ，则 ，又因为， 在 中，由余弦定理得 ，所以 ，可得 . 由双曲线的定义得，即， 得 ，所以双曲线的离心率为 . 课 堂 考 点 探 究 41 [总结反思] 求双曲线离心率的方法: ①求出,,的值,根据直接求 ; ②列出含有,,的齐次方程（或不等式）,借助消去 ,然 后转化成关于的方程（或不等式）求解.建立关于,, 的齐次方程 （或不等式）时,要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等. 课 堂 考 点 探 究 42 微点3 几何性质的综合应用 例5（1）（多选题）[2025·全国二卷］双曲线 的左、右焦点分别为, ，左、右顶点分别为,，以为 直径的圆与的一条渐近线交于, 两点，且 ，则( ) A. B. C.的离心率为 D.当时，四边形的面积为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 43 ［思路点拨］设,在渐近线上，位于第二象限， 位于 第四象限，根据求出点的横坐标或者利用直线 的斜率 求出两种方法得出 轴，结合双曲线的性质以及 三角形的面积公式分别判断四个选项即可求解. [解析] 设，其中 . 由对称性不妨设，在渐近线上，且 位于第二象限， 位于第四象限，如图. 下面用两种方法证明 轴. 课 堂 考 点 探 究 44 方法一（代数法） 设点 ，由 为坐标原点，得 ，解得 （舍去）或，所以，同理可得 .又,所以 轴，同理可得 轴. 方法二（几何法）由直线的斜率为 ，得 为 坐标原点 ，可知. 在中, ,,由余弦定理得 ,所以 ,故 ,所以轴,同理可得 轴. 课 堂 考 点 探 究 45 由对称性知 ，又 ，所以 ，所以 ，故选项A正确. 在 中， ，而当位于第 四象限， 位于第二象限时， ，故 不正确，故选项B错误. 课 堂 考 点 探 究 由题意知，故 ， 所以，故的离心率为 ， 故选项C正确. 当时，四边形 的面积为 ，故选项D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·黑龙江哈尔滨模拟] 双曲线 的左、右焦点 分别为，，是上一点， 的内切圆半径为1，则 ____. 10 ［思路点拨］思路一：设 ，利用焦半径公式 得到, ,结合三角形的面积公式即可求解； 思路二：设点在第一象限，， ，利用双曲线的 定义、圆的性质，结合三角形的面积公式、二倍角公式即可求解； 课 堂 考 点 探 究 48 思路三：设点在第一象限，， ，利用 ,其中 及双曲线的定义、圆的性质即可求解； 思路四：设，， ，利用三角形的面 积公式结合余弦定理即可求解. 课 堂 考 点 探 究 49 [解析] 方法一：由题意知,，所以 ， 所以,,, . 由对称性可设,则 ， . 设内切圆的半径为 ，则 ，又 ，，所以，又因 为，所以 ，，故 . 课 堂 考 点 探 究 50 方法二：不妨设点在第一象限， 为坐标原点，如 图①，设，，内切圆的 圆心为，连接,, ， 易知， ， 则. 设,, 分别与圆相切于点,,，双曲线的右顶点为，连 接,, ，则,,，即 ， 课 堂 考 点 探 究 51 又因为，所以与重合，即 ，所以圆 与 轴相切于双曲线的右顶点处， ，可得 ， 可得 ，，， 则 ， 故 ， 所以，故，所以 . 课 堂 考 点 探 究 方法三：由题意知，，所以 ，所以，,. 不妨设点在第一象限， 为坐标原点，如图②， 设，，内切圆的圆心为， 连接, ，，设,,分别与圆相切于点,,，双曲线 的右顶点为 ，连接,,， 则,, ， 即 ， 课 堂 考 点 探 究 又因为，所以与重合，即 ，所以圆与轴相切于双曲线的右顶点处， 则 ，， 则 ，所以 . 由焦点三角形的面积公式得， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 方法四：由题意知.设， ，， 则 ，即. 在 中，由余弦定理得 ，所以 ， 又 ，所以. 设 ，则. 由 整理得，即， 解得 （舍）或，故 . 课 堂 考 点 探 究 55 [总结反思] 双曲线的几何性质:范围、对称性、实轴、虚轴、焦距、焦点弦、焦 半径、焦点三角形等是解双曲线问题的关键要素. 建立关于,, 的方程（或不等式）时,要充分利用双曲线的几何性质、 三角形的边长关系等. 课 堂 考 点 探 究 56 应用演练 1.双曲线 的离心率为2，则其渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由双曲线 的离心率为2，得 ，即，即 ，则其渐近线方程为 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 57 2.（多选题）[2026·广东深圳模拟]已知双曲线 的渐近线与圆相切，，分别为 的左、右 焦点，动点在 的左支上，则( ) A. B. 为等腰直角三角形 C.的最小值为 D.的最小值为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 58 [解析] 双曲线的渐近线方程为 . 圆的圆心为，半径为1. 由双曲线 的渐近线与圆相切，可得，又，所以 ，所以A错误； 双曲线的方程为,设双曲线的半焦距为 ,则 ，所以，，因为 ，所以， 又，所以 ，所以为等腰直 角三角形，所以B正确； 课 堂 考 点 探 究 59 因为动点在 的左支上,所以,则 ， 所以,当,,三点共线且 在线段 上时,最小,此时 ,此时 ,所以的最小值为 ,所以C正确； 设，可得 ，则 ，当时，取得最 小值，所以D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 3.若直线与双曲线 有公共点，则双曲 线离心率的取值范围为__________. [解析] 由题意知直线的斜率小于双曲线的渐近线 的斜 率，所以，即，即，即 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 61 4.[2023·新课标Ⅰ卷］已知双曲线 的左、右 焦点分别为，.点在上，点在轴上， ， ，则 的离心率为_ ___. [解析] 方法一（坐标法）依题可设，， ， 由，可得，所以 , 又，所以由可得，即 . 因为点在上，所以，即 ，即 ，解得或（舍去），所以 . 课 堂 考 点 探 究 62 方法二（几何法）由可得，设 , ，由对称性可得，易知点 在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义可得. 又， ，所以， 所以 ，即，可得， 所以， . 在中，由余弦定理可得 ，即 ，得 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 64 ◆ 基础热身 ◆ 1.[2025· 全国一卷]双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则 的离心率 为( ) A. B.2 C. D. [解析] 由题知,即 ，则双曲线的离心率 .故选D. √ 课 时 作 业 2.[2025·陕西渭南二模]若双曲线的焦距为6，则 ( ) A.5或 B.3 C.5 D. [解析] 若双曲线的焦点在轴上,则 无解； 若双曲线的焦点在 轴上,则解得. 综上可得， .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 3.若双曲线与双曲线 的渐近线相同，且过点 ，则双曲线 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为双曲线与双曲线 的渐近线相同，所以 设双曲线的方程为， 因为双曲线过点 ，所以，即，所以双曲线 的方程为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 4.已知,满足，则动点 的轨迹是( ) A.一条射线 B.一条直线 C.椭圆 D.双曲线的一支 [解析] 设,,由题意知 ,故动 点 的轨迹是一条射线，故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 5.已知双曲线的两个焦点，， 是双曲线上一点， 且， ，则双曲线的标准方程是( ) A. B. C. D. [解析] 设，，则由已知得 ， ， 又， ，即， 又，， 双曲线的标准方程为 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 6.（多选题）若实数，满足 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：对于选项A，，故 ，故A正确； 对于选项B， ，故B正确； 对于选项C，取,，满足，此时 ，故C错误； 对于选项D，取,，满足，此时 ，故D错误.故选 . √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 方法二：易知点在双曲线 上，根据双曲线上点的横 坐标的范围可知，故A正确； 表示双曲线上一点到原点的距离的平方，双曲线的实半轴长 为,故 ，故B正确； 表示双曲线上一点与原点连线的斜率，双曲线的渐近线的斜率为 ,故，故C错误； 对于D,取, ，满足，此时， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知方程表示双曲线，则 的取值范围是______. [解析] 由题意可知，解得，故 的 取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 8.[2025·广西柳州模拟] 直线与双曲线 相交于 ，两点，且，两点的横坐标之积为 ，则双曲线的离心率为 ____. [解析] 由对称性可知，，两点关于原点对称，由点在直线 上，可设，所以，由， 两点的横坐 标之积为，得，可得，所以 . 将点的坐标代入双曲线方程得，可得 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 9.已知双曲线，， 分别为双曲线的左、右焦点. （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； 解：由题意得双曲线的标准方程为， 可得 ，，， 故顶点坐标为， ，焦点坐标为， ， 离心率，渐近线方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 （2）设点是双曲线上位于第一象限内的点， ， 求 的值. 解： 点在双曲线上， ， 点在第一象限内， ， 又， ， ，可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·天津新华中学模拟]已知双曲线 的 左、右焦点分别为,，过点的直线 与双曲 线的左、右两支分别交于点，，且 ，则该双曲线的 方程为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 [解析] 依题意得,，直线 的倾斜角为 ，即 ，如图，取 的中点，连接， 由 ，得， 则 ,， ， ，则 ，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 在中， ， 解得,故 ，所以该 双曲线的方程为 . 故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2025·西安模拟]已知双曲线的左、右焦点分别为,，以 的实 轴为直径的圆记为圆，过作圆的切线与 的左、右两支分别交 于，两点，且，则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图，不妨设直线 的斜率大于0， 设直线与圆相切于点,连接 ,则. 作，交于点 ， 因为，，所以. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 又 为的中点，所以， . 又， ，所以可设 ， ，. 由 得 ， 根据双曲线的定义得，即 ，得 ，所以 ，可得，即， 所以双曲线 的离心率 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）[2026·山东德州模拟]已知双曲线 的左、右焦点分别为,，过点 的直 线与在第一、四象限的交点分别为,，与轴的交点为 ，若 ，则( ) A.直线的斜率为 B. 的离心率为2 C.点到上点的距离的最小值为 D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 [解析] 对于A,记双曲线的焦距为 ,则, . 如图，在中，， ， 由勾股定理得 ， 过点作轴的垂线，垂足为 ， 由可得 ， 故， ，则,即 ， 所以 ， 选项A正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 对于B， 将点的坐标代入双曲线 的方程， 可得，即 ， 将 代入得 ， 即，可得 ，所以的离 心率 ，选项B正确. 对于C，由 可知，双曲线 的渐近线方程为 ，则点到双曲线 的渐近线的距离 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ， 所以点到上点的距离大于 ，选项C错误. 对于D，由得双曲线 的方程可化为 ，由 ，得直线 的方程为 ，将 与联立并消去 ，整理得，记 ，则，解得 ，所以 ，选项D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [解析] 由题可知，点在第四象限， . 设 ,. 由，可得 . 因为 ，所以，可得 ， 故,可得 . 13.[2025·湖南郴州三模] 双曲线 的左、右 焦点分别为,,是双曲线右支上一点，且直线的斜率为 , 是面积为的直角三角形,则双曲线 的实半轴长为_______. , 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 85 由正弦定理可得.设 ，则, . 由，得 ， 则,，故 ，解得，故双曲线的实半轴长为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.[2025·江西抚州模拟] 已知点， 分别为双曲线 的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在 轴的上方交双曲线于点，且 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 （1）求双曲线 的方程； 解：在直角三角形中,因为 ， 所以, ， 可得, , 由双曲线的定义可知，即 ， 解得 ,由，得, 所以双曲线的方程是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 88 （2）过双曲线上任意一点 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足 分别为，，求 的值. 解：设是双曲线上任意一点，则 . 双曲线的两条渐近线为， , 设的倾斜角为 ，则 , 设两条渐近线在第一、四象限的部分（包括原点）构成的角为 , 则，则, . 不妨设在上，在上，则， ， 所以, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 ◆ 能力拓展 ◆ 15.[2026·杭州一模] 过点的直线与圆 相切 于点，与曲线交于点.若的中点为 ，则 _________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90 [解析] 如图，设关于原点的对称点为 ， 则，连接,， . 曲线是以, 为焦 点，实轴长为的等轴双曲线，所以， 又, 分别为，的中点，故. 在中， , ，则 , 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 91 16.已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，到的渐近线的距离为1，过作斜率不为0的直线与 的左、 右两支分别交于，两点，若的内切圆与相切于点 ，且 ，则 的离心率是_ __. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 92 [解析] 不妨设直线 的斜率大于0，设直线， 分别与的内切圆相切于点, ， 则， , , 且 即 两式相加得 ，所以，得 ， 由点到直线的距离公式可得到 的渐近线的距离为 ， 所以,故 的离心率 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 93 $