第7单元 06 增分微课6 与球有关的切、接问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“与球有关的切、接问题”核心考点，依据高考评价体系梳理外接球、内切球、棱切球等五种类型，结合必记结论和近三年高考真题，明确外接球（占比45%）、含动点最值问题（占比30%）等高频考点，构建“结论+模型+应用”的复习体系。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”，如2022新高考Ⅱ卷正三棱台外接球题，通过构造直角梯形建立方程，培养数学思维和空间观念。总结构造模型法、等体积法等技巧，设“易错陷阱警示”，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

增分微课6 与球有关的切、接问题 1 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 课时作业 2 【知识链接】与球有关的切、接问题常见考法：一是求空间几 何体的外接球，空间几何体可以为多面体，也可以为旋转体，可以 求此球的表面积或体积，也可以求空间几何体的相关的量；二是求 空间几何体的内切球，空间几何体可以为多面体，也可以为旋转体， 若为多面体，多利用等体积法求解，若为旋转体，多利用轴截面求 解；三是棱切球，多考查正方体或正四面体的棱切球问题；四是组 合体切接问题与含动点切接问题，此时难度一般略有拔高，需针对 所给的几何体的特征，合理地选择方法进行破解. 3 【必记结论】与球接、切有关的几个结论 1.设正方体的棱长为 ，则： ①该正方体的外接球的半径为，内切球的半径为 ； ②若球与该正方体的各棱相切，则球的半径为 . 2.长方体的共顶点的三条棱长分别为,,,外接球的半径为 ,则 . 3.棱长为的正四面体的外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，外接球的半径与内切球的半径之比为3:1. 4 4.圆柱的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线构成的线段的 中点处，正棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球. 5.圆锥的外接球的球心在顶点与底面圆的圆心连线所在的直线上， 若棱锥的顶点在底面外接圆的圆心的垂线上，则该棱锥的外接球的 球心在顶点与底面外接圆的圆心连线所在的直线上. 6.圆台的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线所在的直线上， 正棱台的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心连线所在的直 线上. 5 例1（1）[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上下底面的 边长分别为和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A. B. C. D. √ 类型一 外接球 6 [解析] 由题意，设球的球心为，半径为 ，正三棱台的上、下底面 分别为，，，， 均为正三棱台的棱， 则，都是等边三角形. 设， 的外接圆圆心分别为,，连接， 则. 连接，， 等边三角形和等边三角形的边长 分别为, , ，. 连接,，若点在线段 上， 则 ， 7 即，可得，矛盾， 故点 在线段 的延长线上. 由题意得，可得,， 该球的表面积 . （2）[2023·全国乙卷] 已知点，，， 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角形， 平面，则 ___. 2 9 [解析] 连接,，形成三棱锥 ， 并将三棱锥补成正三棱柱 ,如图， 则三棱锥的外接球也是正三棱柱 的外接球，显然球心到底面的距离即为三棱柱的高 的一半. 设为的中心，连接，，则 平面 ， 连接并延长，使之交于点 ，则， ， 所以，则 . 10 [总结反思] 求解多面体的外接球的主要方法： （1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体、正方体、圆柱等几何 体，借助这些几何体迅速求得外接球半径； （2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心， 作出外接球球心，借助题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯 形或直角三角形来求解. 11 变式题（1）在三棱锥中，,,, 两两垂 直，且该三棱锥的外接球的表面积为 ，则该三棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题可将该三棱锥 放入正方体中， 如图，则该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为 由 ，可得 ， 所以该三棱锥的体积为 .故选B. 12 （2）已知正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4，若将此棱锥放在一 球形容器内可任意转动，则该球形容器的表面积的最小值为_____. [解析] 如图，在正三棱锥 中，其底面的中心为， 则为正三棱锥 的高. 由题可知在正三角形中， ， 所以，， 因为 ，所以 . 由题可知正三棱锥的外接球即为所求， 13 易知正三棱锥 的外接球的球心在直线 上， 设其外接球的半径为，则，， 在 中，由勾股定理得 ， 即，解得 ， 故外接球的表面积 ， 所以该球形容器表面积的最小值为 . （3）[2025·吉林三模] 在棱长为2的正方体 中，棱 的中点为，棱的中点为，则三棱锥 的外接球的表 面积为_____. 15 [解析] 如图①，设的外心为 ， 由外心的定义可知，为线段 的四等 分点靠近，则球心在过 且与平面 垂直的直线上. 以 为坐标原点，建立如图②所示的空间直角坐标系， 则,, ， 设三棱锥的外接球的球心，半径为， 由 ，可求出，则， 所以三棱锥 的外接球的表面积为 . 16 例2（1）[2025·山西运城部分学校联考]一个圆锥的侧面展开图是一 个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为 的球，则该球的体 积 的最大值为( ) A. B. C. D. √ 类型二 内切球 17 [解析] 设圆锥的底面半径为，高为，母线长为 ，则， ，解得 ,所以 . 圆锥的轴截面如图所示.设体积最大的球的半径为， 则 ，即，解得 ， 故该球的最大体积为 .故选C. 18 （2）[2025· 全国二卷] 一个底面半径为，高为 的封闭圆柱 形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球 半径的最大值为__ . [解析] 当铁球的半径最大时，两铁球相切，且分别 与圆柱的两底面相切，轴截面如图所示. 设铁球的半径为，两铁球的球心分别为, , 作出辅助线，则为直角三角形， ， , ， 则，即 ， 则，解得或 （舍）， 故铁球半径的最大值为 . 19 [总结反思] 处理与内切球相关的问题： 1.解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂 直的直线上；②球心到各面的距离相等. 2.利用体积法求多面体内切球的半径，即 . 20 变式题（1）[2025·河北唐山滦南期中]一个体积为 的球在一个 正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三 棱柱的表面积为( ) A. B.54 C. D.27 [解析] 设球的半径为，因为 ，所以 . 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱的高为 ， 设正三棱柱的底面边长为 ，因为球的半径等于底面正三角形的 内切圆半径，所以，所以 ， 则正三棱柱的表面积为 . 故选A. √ 21 （2）[2025·四川绵阳中学模拟]正三棱台 的上、下底面 边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和 三个侧面都相切），则正三棱台的高为( ) A. B. C. D. √ 22 [解析] 由正三棱台 的上、下底面边长分别为6和12， 得上、下底面正三角形的高分别为 ， . 由几何体的结构特征得内切球与上、下底面的切点分别为上、下底面 的重心,，设, 为侧面等腰梯形上、下底边的中点， 则,, . 设内切球的半径为，则正三棱台的高为 . 故选B. 23 例3（1）[2025·广西南宁期末]在棱长为1的正方体 中，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点 在球 的表面上，且在正方体外部（含正方体表面）运动，则 的 最大值为( ) A. B.1 C. D. √ 类型三 棱切球 24 [解析] 取的中点，可知在球面上，可得 ， 所以 ， 当为球的直径时，取得最大值，此时点 所在位置符合 题意，所以的最大值为 .故选A. 25 （2）[2023·全国甲卷] 在正方体中，， 分别为 ，的中点.以 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____ 个公共点. 12 [解析] 不妨设正方体的棱长为2，的中点为 ， 分别取，的中点,，设侧面 的中心 为，连接,,,, ，如图. 由题意可知， 为球心，在正方体中， ， 即以 为直径的球的半径， 26 球心到 的距离为， 所以球 与棱相切，球面与棱 只有1个公共点， 根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个公共点， 所以以 为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点. [总结反思] 1.如果一个球与一个多面体的所有棱都相切,那么这个球就被称为多 面体的棱切球.例如,在正方体中,棱切球的直径等于正方体的面对角线 长,且球的一部分位于正方体外部,与正方体的每个面都有接触点. 2.解决棱切球问题的基本步骤:找切点、找球心,构造直角三角形解决 问题.对于正四面体的棱切球，常补成正方体进行破解. 28 变式题（1）[2025·河北衡水中学模拟]在正三棱锥 中， ，，若半径为的球与三棱锥 的六条棱均 相切，则 ( ) A. B. C. D. √ 29 所以 ， 又，, 平面，所以 平面， 又 平面，所以. 过点作，交于点，设球 的半径为，则， [解析] 如图，取的中心，连接，则 平面， 则与棱均相切的球的球心在上. 连接 并延长交于点，则为的中点，， 连接 ，因为 平面， 平面， 30 因为， ， 所以， ， ， 由勾股定理得， 在 中，，所以 . 设，则 ， 因为 ，所以， 所以 ，所以 .故选D. （2）[2026·浙江嘉兴期末] 在棱长为2的正方体 中， 球与棱,,均相切，且与侧面也相切，则球 的半径 为_________. 32 [解析] 由对称性可知，球心 在正方体的对角线上. 如图，过点作，垂足为 ，可知 平面， 故球与平面 相切于点，所以为球的半径. 过点作 ， 垂足为，故球与相切于点， 所以为圆的半径. 在 中，, ,， 易知，所以 ， 即，解得 . 33 例4 如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四 面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相 切.若 ，则该模型中一个小球的体积为_____. [解析] 如图所示，设 为大球的球心，大球的半径为， 大正四面体的底面中心为，，高为 ， 的中点为，连接,,,,, ， 则 ， ， 类型四 组合体切接问题 34 ，， . 设小球的半径为 ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高 ， ， 小球的体积为 . [总结反思] 解决组合体与球相切或外接问题，常常需要截面来剖析几个几何体 之间的相互关系，然后将空间问题转化为平面问题来解决.注意对于 多面体的内切球问题，常利用等体积法进行求解. 36 则该组合体的表面积为_____；该组合体的外接球的体积与两正交四面 体公共部分的内切球的体积的比值为____. 变式题 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形 多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成 （每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条 共点的棱的中点）.如图，若正四面体的棱长为2， 27 37 [解析] 该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的 等边三角形，则其表面积为 . 易知该组合体的外接球即为任意一个正四面体的外接球， 可用一个正四面体来求解，如图，是的中心， 是球心， 则，则 ， . 设其外接球的半径为 ，则， 又, ， 所以 . 38 两正交四面体公共部分一共有 8 个面， 且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ， 大正四面体的体积为 , 则每个小正四面体的体积为， 则中间部分的体积为 . 设其内切球的半径为，则，解得 ， 故外接球和内切球的体积之比为 . [解析] 方法一（导数法）如图，连接， 交于点，连接. 设正四棱锥 的高,底面边长为, 则 ,设正四棱锥外接球的半径为， 则由 ，得 . 延长，交球面于点，连接，则 为球的直径， 例5（1）[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点 都在同一球面上，若该球的体积为 ,且 ,则该正四棱 锥体积的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 类型五 含动点切接问题（最值问题） 40 易知，在 中，由射影定理知，, ,所以 ,, 所以正四棱锥 的体积为 . 记, , 则,, 当 时，,单调递增， 当 时，, 单调递减， 所以 , , 所以该正四棱锥体积的取值范围是 . 方法二（基本不等式法） 同方法一得正四棱锥的体积 ， 当且仅当时取等号. 当时，， ， 此时. 当 时，， ，此时. 因为 ，所以该正四棱锥体积的取值范围是 . 42 （2）已知正三棱柱的顶点都在球 的球面上，若正三 棱柱的侧面积为9，则球 的表面积的最小值是______. [解析] 设正三棱柱的高为， ， 则，所以. 设外接圆的半径为，则 ，解得. 设球的半径为，则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以球 的表面积的最小值为 . 43 [总结反思] 与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点， 常见的求解方法主要有以下三种： （1）转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于 这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决. （2）转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关 系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用 平面几何方法或三角函数来解决. （3）利用基本不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后 利用基本不等式求其最值. 44 变式题（1）[2025·湖南娄底二检]已知正六棱柱 的各个顶点都在半径为 的球面上，一个 能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为.若，则当 最小 时，该正六棱柱的体积为( ) A.36 B.42 C.48 D.24 [解析] 设正六边形的中心为点，则点 与任意一条边均 构成等边三角形，所以点 到各边的距离均为等边三角形的高， 即. 不妨设该正六棱柱的高为，则且， 取两者之中的较小者， √ 45 由点到，，，，， 的距离均为2，得点是正六边形 的外接圆圆心，因此正六棱柱的外接球半径 . 若，则 ，则； 若，则 ，则. 所以当时，取得最小值 ，此时正六边形的面积 为 ， 所以该正六棱柱的体积为 .故选A. [解析] 设的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得， 因为, ，所以，解得. 设点到平面的距离为 ，则. 如图，连接 ，若三棱锥的体积最大， 则, 同时最大即可， （2）已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球 的球面上， , ，，则三棱锥 的体积的最 大值为_ ____. 47 由三角形的面积公式得 ， 由余弦定理得 ， 则 ， 则 ， 由基本不等式得，当且仅当 时取等号， 所以 ，则， 解得 ，即，故面积的最大值为 . 由题意得球的半径为2，，设球心到平面 的距离为， 由勾股定理得，则 到平面的距离为， 设直线与平面 所成的角为 ，则， 又，所以 ，则直线与平面所成的角为 . 因为三棱锥 的各顶点均在半径为2的球 的球面上， 所以，而， ， 故是以 为顶点的等腰直角三角形， 得到 ， 当平面垂直于平面 时，点到平面 的距离最大， 最大距离为 ， 故三棱锥 体积的最大值为 . 课时作业 51 1.如图，在圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切.若，则圆柱 的表面 积为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知，圆柱的底面半径 ， 母线长，所以圆柱的表面积 . 故选C. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 2.[2025·嘉兴二模]若某正四面体的内切球的表面积为 ，则该正四 面体的外接球的体积为( ) A. B. C. D. √ [解析] 正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体的内切球与外接球球心 在 其高上，则是正四面体 的内切球的半径， 是正四面体 的外接球的半径. 由正四面体的内切球的表面积为 ，得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 令，则 ，， 则 ， 在中， ，可得 ，则 ， 所以该正四面体的外接球的体积 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 3.已知直三棱柱的顶点均在球面上，且 , , ，则该球的表面积为( ) A. B. C. D. [解析] 在中， , ，利用正弦定理可得 的外接圆的半径 ， 又，所以直三棱柱 的外接球的半径 ，所以该球的表面积为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 4.[2026·四川达州诊断]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该 圆锥内半径最大的球的体积为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 如图， 为圆锥的轴截面，其中，， 且点为 边上的中点，设内切圆的圆心为. 因为 ，所以 . 设内切圆的半径为，则，解得 ，故圆锥内半径最大的球的体积 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 5.若半径为 的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接 球的表面积为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 依题意，得正六棱柱的高 ， 底面正六边形的内切圆半径为 . 如图，正六边形外心和内心是同一点， 则底面正六边形的外接圆半径 ， 所以该正六棱柱外接球的半径 ， 所以外接球的表面积 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在棱长为 的正方体内恰好装入两 个相外切的球，，球心， 在正方体的同 一条体对角线上，其中球的半径为2，则球 的 半径为( ) A.1 B. C. D.2 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 设正方体为，球，的半径分别为 ，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图. 正方体的棱长为，， 在 中，， ，， ， ， ，解得 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）[2025·四川成都质检]如图，在直三棱柱 中，,,，侧棱,是棱 上任意一点， 则( ) A.该三棱柱的表面积为120 B.的周长的最小值为 C.若球在该三棱柱内，则球 的体积的最大值 为 D.该三棱柱的外接球的表面积为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 因为,, ，所以， 又 ，所以三棱柱 的表面积为 ，故A正确； 的周长为，将平面沿 展开到平 面中，展开图为矩形 ，如图， 则 （当且仅当,, 三点共线时取等号）， 又，所以 周长的最小值为， 故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 因为, ,， ， 所以 的内切圆半径 ， 因为，所以球的最大半径为 ， 其体积为 ，故C错误； 该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体 外接球的表面积，其体对角线为外接球直径，设外接球半径为， 则 ，所以外接球的表面积为 ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四 棱锥的侧面积为____. 96 [解析] 如图所示，设在底面的射影为 ，易知正四棱 锥的外接球球心在上，由题意得球 的半 径为， ， 所以， ， 则. 在中，边 上的高为 ， 所以该正四棱锥的侧面积为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 9.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为 ，其内切球的半 径为1，则该正四棱台的体积为___. [解析] 如图，作出过正四棱台上下底边中点（在对面棱上）的截面，设上底面边长为 ,则下底面边长为, 则， ， , ， 故. 在中， ，则由射影定理，得 ， 即，可得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 于是棱台的上底面面积为 ，下底面面积为 ， 高为2，故该正四棱台的体积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知正三棱柱 的体积为 ，点，分别为棱与 的中点. （1）若的边长为2，求三棱柱 的高； 解：设三棱柱的高为 ， 因为 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 （2）求三棱锥 的体积； 解： . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 （3）若球与三棱柱的各棱均相切，求球 的表面积. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 解：如图，设正三棱柱 的底面边长为， 高为，上底面的中心为，下底面的中心为 ， 连接，则球的球心为的中点，球 切棱 于点，切棱于点，连接, . 由题意知 ①， 因为,， ， 所以 ，所以，解得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 联立①②可得，所以球的半径 ，所以球的表面积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知四棱锥的所有顶点都在球 的球面上，且四边形 是边长为的正方形，若四棱锥 的体积的最大值为 6，则球 的表面积为( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 [解析] 设球心到平面的距离为，球的半径为 ， 由题意可知，当点到平面的距离为时， 四棱锥 的体积最大， 所以，解得， 因为,,, 在球面上，设它们所在的小圆的圆心为， 所以 ，则，即， 解得 ，故球的表面积为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 12.圆台母线长为3，上、下底面半径之比为 ，当圆台体积最大时， 以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为( ) A. B. C. D. [解析] 如图①,将圆台补成圆锥,则， ,则， 设 ,则 , , 则圆台体积为 . 令 . 记,,则, √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 当 时，,当时，, 所以,即 取得最大值时，,即 , 则圆台的体积最大时，,,， . 如图②,在圆台的轴截面内，以为原点，建立平面直角坐标系， 则， ，. 由对称性，可设圆台外接球的球心为 ， 由得，解得 , 所以外接球的半径, 则所求球的表面积 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2025·山东实验中学一模]已知半径为的球 的球心到正四面体 的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球 的球面 有公共点，则正四面体 的棱长的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 如图所示，设在底面的射影为 ， 连接并延长，交于点，易知为 的中点. 设正四面体的棱长为 ，则由正四 面体的特征知 ， ，正四面体 的高为 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 当正四面体内接于球 ，即时， 最小， 此时，可得. 当球 与正四面体的每条棱都相切，即 时， 最大，因为球的球心到正四面体 的四个面的距离都相等， 所以当球 与正四面体 的每条棱都相切时，借助正四面体和球的 结构特征可知切点均为棱的中点，且球心到正四面体 的顶点的 距离为 ，利用勾股定理可得， 可得 . 故正四面体的棱长的取值范围为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（多选题） 新课标Ⅰ卷］下列物体中，能够被整体放入棱 长为1（单位： ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有 ( ) A.直径为 的球体 B.所有棱长均为 的四面体 C.底面直径为，高为 的圆柱体 D.底面直径为，高为 的圆柱体 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 [解析] 对于A，正方体内切球的直径为 ，故A正确； 对于B，如图①,在正方体中作出正四面体 ， 该正四面体的棱长为，而 ，故B正确； 对于C，圆柱体的底面直径为，可以忽略不计， 正方体的体对角线的长为 ，而，故C不正确； 对于D，圆柱体的高为 ，可忽略不计，如图②， 取，，，，， 分别为所在棱的中点，并顺次连接， 所得六边形为正六边形，其边长为， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 连接，易知 为正六边形的内切圆直径， 因为 ，所以， 而 ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.（多选题）如图，在正八面体 中，所有棱长均为 1， 为正八面体的内切球的球面上的任意一点，则( ) A.正八面体的内切球的表面积为 B.正八面体的体积为 C.的取值范围是 D.的最大值为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 [解析] 对于A，易得正四棱锥 的高为， 正三角形的高为 ，设内切球的半径为 ， 则由等面积法可得 ， 解得，所以内切球的表面积为 ，故 A正确； 对于B，正八面体的体积为 ，故B错误； 对于C，取的中点，连接 ， 则 ， 易知内切球的球心到点的距离为 ，所以的最小值为， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 83 最大值为， 又 ，所以的取值范围是 ，故C正确； 对于D，由球的几何性质可知，当 与球相切时，最大， 此时 为锐角，易知，， ， 则 ， 所以的最大值为 ， 故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知正四棱锥的底面边长为3，该四棱锥内部的球 与 其所有面均相切，若球面上有且仅有一点 满足 ，则球 的表面积为____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 85 [解析] 方法一：由题意得，球为正四棱锥的内切球. 如图①所示，设底面中心为，过点作与 垂直的平面， 则该平面与球的交线为圆，过点作与 垂直的平面， 该平面与球的交线也为圆，球上两圆的交点即为点. 因为两圆都关于平面 对称，且两圆有且只有一个交点， 故点也在平面上，即点在上. 取，分别为 ，的中点，分别作平面， 平面 截正四棱锥的截面，如图② ③所示. 设球的半径为，球心为，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在图②中，因为， 所以 ， ， 所以，又 ， 所以，所以，即，解得 . 在图③中，， ， 因为，所以 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为球与,均相切，所以, 所以 ，所以 ，则 ， 所以球的半径，所以球的表面积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二：连接，设，连接 ， 如图，建立以 为原点的空间直角坐标系. 因为底面边长为3，所以, ， 设，，则 ， ， ，. 因为 ，所以， 又，所以，则 . 因为球面 上仅有一点满足且 ，所以为球体 与线段的交点，则 ， 则球的半径. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 注意到正四棱锥的体积 ，其中为四棱锥的表面积，如图， 取的中点为 ，连接，，则， ， 可得 ，则 ， 则 ， 又正四棱锥的体积， 所以 ，即， 即 ，即， 可得，则 ，则球的表面积为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $