第7单元 04 第44讲 直线、平面垂直的判定与性质（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线、平面垂直的判定与性质”专题，依据课标要求梳理了线面垂直、面面垂直的定义、判定定理与性质定理，对接高考评价体系，明确线面垂直证明、面面垂直判定及垂直关系转化等高频考点，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+真题演练”模式，如以四棱锥线面垂直证明为例，通过“线线垂直→线面垂直→面面垂直”转化方法，培养逻辑推理和空间观念素养，包含易错点警示和解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统复习，提升备考效率。

第44讲 直线、平面垂直的判定与性质 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、 直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,并能够证明相 关性质定理. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 课 标 要 求 3 1.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线与平面 内的______________都垂直，我们 就说直线与平面 互相垂直，记作 .直线叫作平面 的_____， 平面 叫作直线 的______. 任意一条直线 垂线 垂面 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 （2）直线与平面垂直的判定与性质 类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用 判定 根据定义，证明一条 直线垂直于一个平面 内的任意一条直线 是平面 内的任意一 条直线， 证明直 线和平 面垂直 如果一条直线与一个 平面内的__________ _____垂直，那么该 直线与此平面垂直 ________________________ _______________ 两条相交 直线 课 前 基 础 巩 固 5 类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用 判定 如果两条平行直线中 的__________垂直于 一个平面，那么 _____________ 也垂 直于这个平面 ________________________ ___________ 证明直 线和平 面垂直 一条直线 另一条直线 续表 课 前 基 础 巩 固 6 类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用 性质 如果一条直线和一个 平面垂直，那么这条 直线和这个平面内的 ______________ 都 垂直 ________________________ ____________ 证明直 线与直 线垂直 垂直于同一个______ 的两条直线平行 ________________________ ___________ 证明直 线与直 线平行 任意一条直线 平面 续表 课 前 基 础 巩 固 7 2.平面与平面垂直 （1）定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说 这两个平面互相垂直. 直二面角 课 前 基 础 巩 固 8 （2）两个平面垂直的判定与性质 类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用 判定 根据定义，证明 两平面所成的二 面角是________ ___ 是二面角 的平面 角，且__________ ____，则 证明两个 平面垂直 如果一个平面过 另一个平面的 ______，那么这 两个平面垂直 _________________________ _____________ 直二面角 垂线 课 前 基 础 巩 固 9 类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用 性质 如果两个平面垂 直，那么它们所 成____________ _____是直角 ， 是 二面角 的平面角，则 ____________ 证明两条 直线垂直 二面角的平 面角 续表 课 前 基 础 巩 固 10 类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用 性质 两个平面垂直，如 果一个平面内有一 直线垂直于这两个 平面的______，那 么这条直线与另一 个平面______ _____________________________ _______________ 证明直线与 平面 垂直 交线 垂直 续表 课 前 基 础 巩 固 11 常用结论 1.与线面垂直相关的常用结论： （1）两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也 与这个平面垂直； （2）一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直； （3）过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直； （4）过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. 课 前 基 础 巩 固 12 2.三种垂直关系的转化： 线线垂直线面垂直 面面垂直 课 前 基 础 巩 固 13 题组一 常识题 1.［教材改编］如图，已知 垂直于菱形 所在的平面，连接，，， ， ，则一定互相垂直的平面有___对，与 垂 直的直线有___条. 4 3 ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 14 [解析] 由 平面，得平面 平面， 平面 平面 ，平面 平面. 因为， ，，所以 平面 ， 所以平面 平面，故互相垂直的平面有4对. 与垂直的直线有 ，， ，共3条. 课 前 基 础 巩 固 15 2.［教材改编］若平面 平面 ，且 ，则下列说法中正 确的序号是____. ①平面 内的直线必垂直于平面 内的任意一条直线； ②平面 内的直线必垂直于平面 内的无数条直线； ③平面 内的任意一条直线必垂直于平面 ； ④过平面 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 . ② 课 前 基 础 巩 固 16 [解析] 在①中，如图甲， ， ，且，与 都不垂直， 则，不一定垂直，故①错误； 在②中，如图乙， ， ，，则 ， 所以 内所有与平行的直线都与 垂直，故②正确； 在③中，如图丙， ，但与不垂直，则与 不垂直，故③错误； 在④中，如图丁，若不在 内，则与 不垂直，故④错误.故填②. 课 前 基 础 巩 固 17 3.［教材改编］在三棱锥中，点在平面上的射影为点 . （1）若，则点是 的____心； 外 [解析] 如图①，连接，，，在，和 中，，所以，即为 的外心. 课 前 基 础 巩 固 18 （2）若，，，则点是 的____心. 垂 [解析] 如图②，延长，，，分别交，，于点 ，，. 因为，，，， 平面 ， 所以 平面，又 平面，所以 ， 因为，，， 平面， 所以 平面 ，又 平面，所以， 即为的边 上的高. 同理可得，分别为的边，上的高， 所以为 的垂心. 课 前 基 础 巩 固 19 题组二 常错题 ◆ 索引：证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条 件;忽略线面垂直、面面垂直的条件致误;面面垂直的判定中找不到哪 个面和哪条线垂直;注意排除由平面到空间的思维定势的影响. 4.“直线与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线与平面 垂直” 的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”） 必要不充分 [解析] 根据直线与平面垂直的定义知，“直线与平面 内的无数条 直线都垂直”不能推出“直线与平面 垂直”,反之则可以,所以应填必 要不充分. 课 前 基 础 巩 固 20 5.如图所示,已知四棱锥的底面 是边长为的正方形,, ,则 它的5个面中,互相垂直的面有___对. 5 课 前 基 础 巩 固 21 [解析] 由底面是边长为 的正方形, ,, 得, ,又，所以 平面. 由 平面, 平面, 可得平面 平面,平面 平面. 又, ，所以 平面, 又 平面，所以平面 平面. 由 , ,，得 平面, 又 平面 ，所以平面 平面. 由,得 平面,又 平面 ， 所以平面 平面 .故共有5对互相垂直的面. 课 前 基 础 巩 固 22 6.在中, ,为平面外的一点,且 , 则平面与平面 ______（填“一定”或“不一定”）垂直. 一定 [解析] 因为, 所以点在平面内的射影为 的外心. 因为 ,所以为的中点, 又 平面 ， 平面,所以平面 平面 . 课 前 基 础 巩 固 23 探究点一 垂直关系的基本问题 例1（1）[2025·黑龙江黑河龙西北名校联盟调研] ， 是两个不同 的平面， ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ［思路点拨］利用面面垂直的判定定理与性质定理， 即可判断充分性及必要性; √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 若 ，设，当与 不垂直时， 不能得到 ，故充分性不成立； 若 ，由 ，可得 ，故必要性成立. 综上所述，“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选B. 课 堂 考 点 探 究 25 （2）如图所示，为圆的直径，垂直于圆 所 在的平面，为圆周上不与点， 重合的点， 于点，于点 ，则下列说法不正 确的是( ) A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.平面 平面 ［思路点拨］利用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理判断 即可. √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 平面, 平面， 平面 平面，故D中说法正确. 平面, ,又,, 平面,又 平面， 平面 平面 ，故C中说法正确. 平面,, ,, 平面,又 平面， 平面 平面， 故A中说法正确. 课 堂 考 点 探 究 27 对于B,假设平面 平面, 平面， 平面， , 平面 平面 , 平面 平面, 平面 ， , ，， 平面, 又 平面,, , ， 平面，与 平面 矛盾， 故B中说法不正确.故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 解决线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析 解决,其实最好的办法是笔当线,纸、手掌当面动态演示. 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 对于A选项，当 ， 时， ，故A选项正确； 对于B选项，当 ， 时，直线与平面 可能平行、相交或 ，故B选项错误； 对于C选项，当， 时，直线 与平面 可能平行、相交 或 ，故C选项错误； 对于D选项，当， 时，直线与平面 可能平行、相交 或 ，故D选项错误.故选A. 变式题（1）已知,是两条直线， , 是两个平面，则能推出“ ”的一个条件是( ) A. , B. , C., D., √ 课 堂 考 点 探 究 30 （2）[2025·北京西城区调研]在长方体 中， ， .给出下列四个结论： ；； 平面； 平面 . 其中正确的结论是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 在长方体中，因为 ，， 所以底面是长、宽不相等的长方形，所以 与不垂直. 因为 平面，所以由线面垂直的性质可知 与 平面不垂直，因为 平面， 平面 ， 所以. 因为，所以与 不垂直，故①错误. 因为 ，所以， 因为 平面， 平面，所以， 又，所以四边形 是正方形，所以， 故②正确. 课 堂 考 点 探 究 因为，所以 ，因为四边形是正方形， 所以，因为 ，且, 平面， 所以 平面 ，故③正确. 因为四边形是长、宽不相等的长方形，所以与 不垂直， 由线面垂直的定义可知，与平面 不垂直，故④错误.故选B. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 线面垂直的判定与性质 例2 如图，在四棱锥中， 是等边三 角形，四边形是矩形，且， 是 的中点，是的中点.证明： 平面 . ［思路点拨］思路一：取的中点，连接，则 ， 连接，，则，从而 平面， 进而得到 ，再证即可. 思路二：要证，，只需连接 ，， 再证， 即可. 课 堂 考 点 探 究 34 所以，所以. 因为 是等边三角形，所以.因为， 所以 平面. 因为 平面，所以. 因为 ，所以 ，所以 是等腰三角形. 因为是的中点，所以 . 因为，， 平面，所以 平面 . 证明：方法一：取的中点，连接，， ，如图. 因为四边形是矩形，，分别是， 的中点， 课 堂 考 点 探 究 35 方法二：不妨设，则.如图，连接 ， ，因为为的中点，所以，所以 ，. 又为的中点，所以， . 因为，， 平面，所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 解决直线与平面垂直问题的常用方法: （1）线面垂直的判定定理: ,, , , . （2）面面垂直的性质定理: ,, , . （3）性质:, ; , . 课 堂 考 点 探 究 37 变式题 如图，为圆锥的顶点， 是圆锥底面 的圆心，为底面直径， 是底 面的内接正三角形，为 上一点， .证明： 平面 . 课 堂 考 点 探 究 38 证明：方法一：如图，由题设知为等边三角形，连接， ， 设，则， ， 所以，所以 . 因为为等边三角形，所以，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 ， 同理，又，， 平面 ， 所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 39 方法二：因为是底面圆的内接正三角形， 且 为底面直径，所以 ， 因为垂直于底面，在底面内，所以， 连接 ，又 平面， 平面，， 所以 平面 ，又 平面，所以 . 设，则为的中点，连接 ， 设，则，，， ， 所以，所以 ， 又，， 平面，所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 方法三：不妨设，则 ， 由 平面，得，则 ， 所以，因为是 的外心， 所以. 在底面过点作的平行线与弧 相交于点， 以为坐标原点，的方向为 轴的正方向， 的方向为轴的正方向，的方向为 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 课 堂 考 点 探 究 则，， ，，， 所以 ，， ， 因为 ， ，所以， ， 又，， 平面， 所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 面面垂直的判定与性质 例3 [2025·厦门二模] 如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ，， .证 明： . ［思路点拨］利用面面垂直的性质定理，线面垂 直的判定定理及性质推理得证. 课 堂 考 点 探 究 43 证明：在三棱台中，取的中点 ， 连接,, ，如图. 由，得 ， 因为平面 平面，平面 平 又,, 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以 . 面 ， 平面，所以 平面， 又 平面 ，所以， 因为,，所以四边形 是菱形， 所以 ， 课 堂 考 点 探 究 44 [总结反思] 1.判定面面垂直的方法: （1）面面垂直的定义; （2）面面垂直的判定定理 （一般在一个平面 内找交线的垂线,证此线与另一平面垂直）. 2.在已知面面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交 线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 课 堂 考 点 探 究 45 变式题 如图，在正三棱柱中，, 分别 为,的中点，, . （1）证明： ； 证明：因为三棱柱 为正三棱柱， 所以平面 平面，又为正三角形， 为的中点，所以. 因为平面 平面， 平面， 所以 平面,又 平面 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 46 （2）证明：平面 平面 ； 证明：因为，，,分别为, 的 中点，所以， ， 所以 ， 所以，所以 ， 又，, 平面，， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 课 堂 考 点 探 究 47 （3）求点到平面 的距离. 课 堂 考 点 探 究 48 解：如图，连接，,.设点到平面 的距 离为，则 . 在中，，， , 所以 ，所以，解得 . 故点到平面的距离为 . ， 课 堂 考 点 探 究 49 探究点四 平行垂直关系的综合问题 例4 如图所示，在四棱锥 中， ，， ， ， 平面，过点 作平面 . 课 堂 考 点 探 究 50 （1）证明：平面平面 ； ［思路点拨］利用三角形相似及等量代换得 ，利用线面垂 直得，进而得 平面 ，结合已知条件得证； 课 堂 考 点 探 究 51 证明：设与的交点为，连接 ，如图， 因为，且 ，所以 . 因为，所以，又 ， ，且，， 所以 ，所以， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以，即. 课 堂 考 点 探 究 52 因为 平面， 平面，所以 . 因为，, 平面， 所以 平面，又因为平面， 且 平面 ，所以平面平面 . 课 堂 考 点 探 究 （2）已知点为棱的中点，若，求直线与平面 所 成角的正弦值. ［思路点拨］通过等体积法得到到平面 的距离，再求线面角. 课 堂 考 点 探 究 54 解：如图，取的中点，连接， 因为 为棱的中点，所以，且 ， 又因为 平面，所以 平面 . 因为 平面，所以. 因为， ，所以， . 易知，所以，所以， 即 .又，所以. 因为 ，且，所以. 课 堂 考 点 探 究 55 因为 平面， 平面，所以 ， 所以 . 因为, ，且，所以. 设为到平面 的距离， 因为，所以 ， 即，解得. 记直线 与平面所成的角为 ，则， 所以直线与平面 所成角的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 垂直关系综合问题的解题方法: （1）对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、 面面垂直间的转化. （2）对于垂直与平行相结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定 的综合应用. （3）对于存在性问题,可以利用所给垂直条件先求出点的位置,再进 行位置关系证明或求角. 课 堂 考 点 探 究 57 变式题 如图，在四棱锥中， 平面 ， ，，，，是棱 的中点. （1）求证：平面 ； 课 堂 考 点 探 究 58 证明：如图，取的中点，连接, ， 是 的中点，, . ， ，，且 ， 四边形 是平行四边形，, 又 平面， 平面， 平面 . 课 堂 考 点 探 究 59 （2）求证：平面 平面 . 课 堂 考 点 探 究 60 证明： 平面， 平面 ， ， 又，，, 平面， 平面 ， 又 平面， ，又， . ，是的中点， ， 由 （1）知，, ， 又,, 平面， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 . 课 堂 考 点 探 究 61 课时作业 62 1.已知平面 及两条不重合的直线，， ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若， ,则 或 ，所以必要性不成立； 若 ， ，则，所以充分性成立. 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 2.设，，表示三条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平 面，则下列结论正确的是( ) A.若 ，，则 B.若 ， ，则 C.若， ， ，则 D.若，，，且满足，则 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 对于A，若 ，，则 或 ，故A错误； 对于B，若 ， ，则 或 与 相交，故B错误； 对于C，若， ，则 或 ，又 ， 所以 或 , 相交，故C错误； 对于D，因为，， ，所以 ， 又， ，所以，又因为，所以 ， 故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 3.[2025·湖南怀化调研]已知平面 ，直线 ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 [解析] 由平面 ，得在平面 内存在直线 ， 若 ，则，又 ， ，所以 . 当 ，平面 时，并不一定能推出 ， 如图，在正方体中，平面 平面， 平面， 此时 不垂直于平面. 故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 如图，连接，交于点，易知为的中点， 因为 为正方体，所以 平面， 又 平面，所以， 又底面 为正方形，所以. 因为， , 平面,所以 平面 ，所以点到平面的距离为 .故选A. 4.在棱长为3的正方体中，点到平面 的距离 为( ) A. B.3 C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 5.如图，在四棱锥中， 底面 ，且四边形 为正方形，则此四棱锥 的各面中互相垂直的面有( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 [解析] 因为 平面， 平面， 平面，所以平面 平面， 平面 平面. 因为 ，，且，， 平面， 所以 平面，又 平面，所以平面 平面. 因为 ，所以 平面， 又 平面，所以平面 平面 ， 同理平面 平面 . 综上，共有5对互相垂直的平面.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 6.（多选题）[2025·全国一卷]在正三棱柱中，为 的中点，则( ) A. B. 平面 C.平面 D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 [解析] 方法一：对于A，如图，在正三棱柱 中， 平面，又 平面，所以 ， 则． 因为是正三角形，为 的中点，所以 ，则， 又， 所以 ，则 不成立，故A错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 对于B，在正三棱柱中， 平面， 又 平面 ，所以，因为是正三角形， 为的中点，所以 ，又, , 平面，所以 平面 ，故B正确； 对于C，在正三棱柱中，，又 平面, 平面，所以平面 ，故C正确； 对于D，在正三棱柱中，，假设 ， 则，这与矛盾，所以 不成立， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底面边长为2， 高为，则,,,, , ,. 对于A，, ， 则， 则 不成立，故A错误； 对于B,C，,, , ， 设平面的法向量为 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 则得，则 ， 所以，，则 平面， 平面，故B，C正确； 对于D， ,， 则，显然 不成立，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法三：对于A，取的中点，连接， ， 因为，，所以与不垂直， 即与 不垂直，故A错误； 对于B，因为，， ， 所以 平面，故B正确； 对于C，因为， 平面， 平面， 所以平面 ，故C正确； 对于D，因为，，所以与 不平行， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.在长方体中，点为棱上任意一点，点 为底 面（除点外）上一点，请给出一个点 的位置，使得 ，则点 可以是__________________. （答案不唯一） [解析] 因为是长方体，所以 平面 , 因为点为棱上任意一点，所以当点时， 平面，所以， 所以为（除点 外）上的任意一点. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 8.在中，,，将顶点绕棱旋转到 ，当 时，三棱锥 的体积为_ ____. [解析] 在三棱锥中，, ， 因为，所以，所以 . 取 的中点，连接,，则, ， 因为，所以， 又， , , 平面，所以 平面， 所以三棱锥 的体积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 9.如图，在直三棱柱中， ， 侧面为正方形，设的中点为 ， . （1）求证：平面 ； 证明： 侧面为正方形，且 ， 为的中点，又为的中点， ， 又， , 又 平面， 平面，平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 （2）求证： 平面 . 解：在直三棱柱中， 平面 ， 平面， ， 又，, 平面 ， ， 平面 ，又 平面， . 侧面 为正方形， ， 又，， 平面 ， 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 10.如图，在棱长均相等的正三棱柱 中，,分别为棱, 的中点， 点在上，若 平面，则 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 [解析] 如图所示，取的中点，连接, , 是正三棱柱，为 的中点， ，， 平面 平面， ，,, 平面， 平面， 平面， . 要使 平面，只需. 设三棱柱 的棱长为，则,， , ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 在 中，， ， .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 11.在正方体中，，为侧面 上的动 点.若，则 的长的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 在正方体中， ， 连接,，设，连接, ，如图. 为侧面上的动点，要使 ， 为的中点，，又 ， ，, 平面， 平面 ， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 平面，，又 平面， 平面， ， 又,, 平面， 平面， 又 平面， . 反之，当时， , ,，则， 点的运动轨迹为线段. 当点与重合时， 的长取得最大值， 最大值为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.（多选题）如图，四边形为正方形， 平面，， ，则下 列说法正确的是( ) A.平面 B.点到平面的距离为 C.平面 平面 D.三棱锥 的体积为3 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 [解析] 对于A， 四边形 为正方形，， 又 平面， 平面 ，平面， ， 平面 , 平面， 平面 ，又， ， 平面， 平面 平面， 又 平面，平面 ，故A正确； 对于B，， 易知 为正三角形，且边长为 ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 ， 点到平面的距离 满足，解得 ，故B错误； 对于C，连接交于点，连接，， 取的中点 ，连接，则 为直角三角形， 易知，， ， ， ，， 为等边 三角形，且为的中点， ， 又，, 平， 平面， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 又 平面， 平面 平面 ， 故C正确； 对于D，易知，又 ， 与全等，， 为等腰三角形， ， ， ， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.如图①，在正方形中，，分别为边, 的中点，将 ，，分别沿,,折起，使,, 三点重合 于点，如图②，则在四面体中，与平面 垂直的一个平 面为________________________. 平面（或平面） 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90 [解析] 在正方形中，,， 故在四面体 中，,， 又,, 平面 ，所以 平面， 又 平面，所以平面 平面 ， 同理，平面 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 14.如图所示，在三棱锥中，平面 平 面，， ，若 为棱上的动点，则 的最小值为_______ __. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 92 [解析] ， ， ， ， ，，记的中点为，连接 ， ，如图①. ，， 平面 平面， 平面 平面， 平面，又 平面， . 由，得 ，为等边三角形. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 93 把绕翻折，使得平面与平面 在同一平面上， 连接交于点，则 ，如图②所示， 则的最小值为平面内的长度， 在中，， ，即的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.如图，在四棱锥中，平面 平面 , ，四边形为正方形，,分别为, 的中点. （1）求出图中与 平行的平面. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 95 解：因为四边形为正方形， , 分别为， 的中点， 所以， ， ， 所以四边形和四边形 均为平行四边形， 所以， . 因为 平面， 平面， 平面， 平面，所以平面，平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 96 （2）求证：平面 平面 . 证明：因为四边形 为正方形，所以， 因为平面 平面 ， 平面 平面， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 97 （3）在棱上是否存在点，使得平面 平面?若存在，求三棱锥 的体积； 若不存在，请说明理由. 解：存在，当为的中点时，平面 平面 . 连接,,，设，连接 ， 因为四边形 为平行四边形，所以 ， 又为的中点，所以 . 因为，为 的中点， 所以，，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 98 因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ， 所以存在点，使得平面 平面 . . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.[2025·浙江绍兴一中模拟]如图，改编自李约瑟所著 的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬 在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的 ， A. B. C. D. ，，都是以为圆心的圆弧，四边形 是为计算所作的矩 形，其中，，分别在线段，，上，， . 记，，， ，则( ) √ ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 100 [解析] 四边形是矩形，则 ， 又，， ， ，， 平面， 平面， 平面， ，同理可得 平面 平面 ，，，， ，， ，，， ， ，，其中，， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 101 ， ， ， ， ，故A，B均错误； ， ，故C错误，D正确. 故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.（多选题）[2025·山东威海调研]在正三棱柱 中， ，，分别为棱， 上的动点，则( ) A. 的周长为定值 B.三棱锥 的体积为定值 C.若，则 D.若平面，则 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 103 [解析] 对于A，由点为上的动点，设 , ，则, ， ，所以 不为定值，故A错误； 对于B，， 因为 平面，所以点到平面的距离始终为 ， 所以 ，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于C，取的中点，连接，过点作交 于点， 连接，设，则， 因为 ，所以，所以，所以， 又 ，所以， 在正三棱柱中， 平面 ， 因为 平面，所以，又 ， ，, 平面，所以 平面， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 因为，所以 平面，又 平面， 所以，又，, 平面 ， 所以 平面，因为 平面，所以 ， 故C正确； 对于D，设交于点，连接，由平面 ， 且平面 平面， 平面 ， 所以，又为的中点，所以为的中点， 即 ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $