第7单元 03 第43讲 直线、平面平行的判定与性质（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线、平面平行的判定与性质”专题，依据课标要求覆盖线线、线面、面面平行的判定定理、性质定理及转化应用，通过知识聚焦系统梳理定理内容，结合常用结论构建平行关系转化体系，分析近五年高考中选择、解答题的考点分布，归纳线面平行证明、面面平行判定等高频题型。 课件亮点在于“多思路证明+高考真题变式+易错点警示”，如线面平行判定的中位线法、构造平行四边形法（例2四棱锥证明），培养学生逻辑推理和空间观念素养。课时作业分基础与综合，含2025年调研题等真题变式，帮助学生掌握转化技巧，教师可据此精准教学，提升备考效率。

第43讲 直线、平面平行的判定与性质 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、 直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相 关性质定理. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 课 标 要 求 3 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果平面外一条直线与 __________的一条直线 平行，那么该直线与此 平面平行 此平面内 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 一条直线与一个平面平 行，如果过该直线的平 面与此平面______，那 么该直线与交线平行 续表 相交 课 前 基 础 巩 固 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面内的两条 __________与另一个平 面平行，那么这两个平 面平行 相交直线 课 前 基 础 巩 固 6 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 两个平面平行，如果另 一个平面与这两个平面 ______，那么两条 _______平行 续表 相交 交线 课 前 基 础 巩 固 常用结论 1.平行关系中的三个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 ， ，则 . （2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 ， ，则 . （3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ， ，则 . 课 前 基 础 巩 固 8 2.三种平行关系的转化: 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证 明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具 体条件,选择正确的转化方向. 课 前 基 础 巩 固 9 题组一 常识题 1.［教材改编］已知直线平面 , ,那么过点 且平行于直线 的直线有___条. 1 [解析] 过点与直线作平面 ,设,则 , 由作图的过程可知满足条件的直线 只有1条. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］下列说法中，与“直线平面 ”等价的是____. （填序号） ①直线上有无数个点不在平面 内； ②直线与平面 内的所有直线平行； ③直线与平面 内无数条直线不相交； ④直线与平面 内的任意一条直线都不相交. ④ [解析] 因为平面 ，所以直线与平面 无交点， 因此直线 和平面 内的任意一条直线都不相交，反之也成立. 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］如图，平面平面 ， 所 在的平面与 ， 分别交于，，若 ， ，，则 __. [解析] 因为 ，所在的平面与 ， 分别交于，， 所以，所以 ， 又因为，，，所以 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：对面面平行判定定理的条件“平面内两条相交直线”认识不 清致误；对空间平行关系的相互转化条件理解不够致误. 4.下列条件中，能判断两个平面平行的是____.（填序号） ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面； ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面； ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面. ④ 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 由两个平面平行的判定定理可知,如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行,故①②不能判断两 个平面平行; 当平面 平面直线时, 内有无数条与交线 平行的直线与 平行,故③不能判断两个平面平行; 根据面面平行的定义可知④能判断两个平面平行.故填④. 课 前 基 础 巩 固 14 5.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边 形为截面，则四边形 的形状为_______ ______. 平行 四边形 [解析] 平面平面，平面 平面， 平面 平面 ， .同理， 四边形 是平行四边形. 课 前 基 础 巩 固 15 6.已知两直线,与平面 ，请看①②两个推理过 程： .它们都缺少同一个条件，补上 这个条件就可以使其构成真命题（其中，为直线， 为平面）， 则此条件为______. [解析] ①由线面平行的判定定理知 ； ②由线面平行的判定定理知 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 平行关系的基本问题 例1（1）[2025·湖南湘西自治州调研]设 , 是两个不同的平面， ，是异于的一条直线，则“”是“ 且 ”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ［思路点拨］根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、 必要条件的判定方法，即可得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 当时，可能在 内或者 内， 故不能推出 且 ，所以充分性不成立； 当 且 时，设存在直线 , ，且， 因为 ，所以 ， 根据直线与平面平行的性质定理，可得， 所以，即必要性成立. 故“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.故选A. 课 堂 考 点 探 究 18 （2）[2025·江西上饶调研]设，为两条不同的直线， ， 为两 个不同的平面，则下列四个说法中正确的是( ) A.若 ， ，，则 B.若 ， ， ，则 C.若 ， ，，则 D.若 ， ，则 ［思路点拨］对于A，B，D，以正方体为载体，举反例说明即可； 对于C，根据线面平行的判定定理,即可作出判断. √ 课 堂 考 点 探 究 19 [解析] 对于A，B，D，如图，在正方体中， 例如 平面 ， 平面，， 但平面 平面，故A错误； 例如 平面 ，平面， 平面平面，但直线 与直线异面，故B错误； 例如平面， 平面， 但直线与直线 异面，故D错误. 对于C，根据线面平行的判定定理可知若 ， ，， 则 ，故C正确.故选C. 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] 解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面: （1）判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件; （2）结合题意构造或绘制图形,结合图形进行判断; （3）举反例否定结论. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题 如图是一个正方体的平面展开图，在这 个正方体中，下列结论正确的是( ) 平面；平面 ；③平面 平面；④平面平面 . A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 把正方体的平面展开图还原成正方体 ，如图a所示. 对于①，平面平面， 平面 ， 所以平面，①正确. 对于②，平面 平面， 平面， 所以 平面 ，②正确. 课 堂 考 点 探 究 23 对于③，如图b所示，易知, ， 则四边形为平行四边形，则， 又 平面， 平面，所以平面； 同理可得四边形 为平行四边形，则， 因为 平面， 平面，所以 平面 ， 又，, 平面，所以平面 平面， ③正确. 课 堂 考 点 探 究 24 对于④，如图c所示，由③知， 因为 平面， 平面，所以平面； 因为, ，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为 平面， 平面，所以平面. 又因为 ，且, 平面， 所以平面平面 ，④正确.故选A. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 线面平行的判定与性质 角度1 直线与平面平行的判定 例2 如图，在四棱锥中，底面 为梯 形，,，，为 的中点.求 证：平面 . 课 堂 考 点 探 究 26 ［思路点拨］思路一：取的中点，连接， ， 通过三角形的中位线的性质证明四边形 为平行 四边形，由平行四边形的性质证明 ，利用线 面平行的判定定理可得证； 思路二：延长, 交于，连接 ，利用比例相等以及三角形中位线 定理得到 ,利用线面平行的判定定理可得证； 思路三：取的中点，连接，，利用平面 平面， 平面 ，得到线面平行. 课 堂 考 点 探 究 27 证明：方法一:如图①，取的中点，连接，. 由题意知 为的中位线， ，且. 又，，， 四边形为平行四边形， . 又 平面， 平面 ，平面 . 课 堂 考 点 探 究 28 方法二：如图②，延长，相交于点，连接 . ，，， ，即为的中点， 又 为的中点， ， 又 平面， 平面， 平面 . 课 堂 考 点 探 究 29 方法三：如图③，取的中点，连接， . 为的中点， ， 又 平面， 平面 ， 平面 . 由题意知， 四边形 为平行四边形， ，又 平面， 平面， 平面. 又，， 平面， 平面平面 ， 又 平面，平面 . 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 判断或证明线面平行的常用方法： ①利用线面平行的定义（无公共点）. ②利用线面平行的判定定理 . ③利用面面平行的性质 . ④利用面面平行的性质 . 课 堂 考 点 探 究 31 变式题 [2026·宁波一模] 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是直角梯形，， ，且 ，为的中点，为棱 上的 点，且.证明：平面 . 课 堂 考 点 探 究 32 证明：在棱上取，使得，取棱 的中点， 连接,,，因为 ， 所以,且，则 . 在梯形中，因为,， 为 的中点， 所以,，所以, ， 所以四边形为平行四边形，所以， 又 平面 ， 平面，所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 33 角度2 直线与平面平行的性质 例3 在正方体中，为 的中点， 过，， 的平面截此正方体，得到如图所示的多 面体，为棱上的一点.若点在棱 上，当 时，平面，试确定动点 在棱 上的位置，并说明理由. ［思路点拨］取的中点，连接 ,利用线面平行的性质定理和 面面平行的性质定理推出，即可得到点 的位置. 课 堂 考 点 探 究 34 证明：设平面与平面的交线为 ， 因为平面，平面 平面 ， 平面，所以 . 因为平面平面，平面 平面 ， 平面 平面， 所以，所以 . 取的中点，连接，易知，所以， 又为 的中点，所以为 的中点. 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已 知直线作辅助平面来确定交线. 课 堂 考 点 探 究 36 变式题 [2025·河南安阳模拟]如图，在三棱柱 中，点在棱上，且, , 分别是棱,的中点，点在棱 上，若 平面，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 如图所示，在平面内，作 ， 与交于点，连接，易知. 因为 平面，所以由线面平行的性质定理知 ， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为 是的中点，所以是梯形 的中位线， 不妨设，则， 所以 ，所以，所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 38 探究点三 面面平行的判定与性质 例4 已知正方体截去三棱锥 后得到的 几何体如图所示，为与 的交点. 课 堂 考 点 探 究 39 （1）求证：平面 ； ［思路点拨］要证平面 ，需在平 面内寻找一条直线与平行，取 的中点，则 ，由线面平行的判定定 理可证； 课 堂 考 点 探 究 40 证明：如图，取的中点，连接, ， 易知,， 所以四边形 为平行四边形，所以 . 因为 平面， 平面 ， 所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 41 （2）求证：平面平面 . ［思路点拨］要证明平面平面 ，观察空间直观图， 需在平面 内寻找两条相交直线与平面 平行. 证明：因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面. 由（1）知，平面 , 因为,, 平面， 所以平面平面 . 课 堂 考 点 探 究 42 [总结反思] （1）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的判定定理. ②利用垂直于同一条直线的两个平面平行 . ③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则 这两个平面平行 . （2）当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平 行，必须是与第三个平面的交线. 课 堂 考 点 探 究 43 变式题 如图所示，在四棱锥 中，底 面为梯形，， ，平面 平面，是 的中点. （1）求证： . 证明：， 平面， 平面 ， 平面， 平面，平面 平面 ， ， . 课 堂 考 点 探 究 44 （2）若是线段上的一个动点，则棱上是否存在点 ，使 平面？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由. 课 堂 考 点 探 究 45 解：当为棱的中点时，平面 . 理由如下： 如图，取的中点，连接， ， ，分别为， 的中点，， 又 平面， 平面，平面 . 取的中点，连接,，则，且， ，且， 四边形为平行四边形， . 课 堂 考 点 探 究 46 平面, 平面 ， 平面， 又，， 平面， 平面平面 . 是上的动点， 平面， 平面， 当为棱的中点时， 平面 . 课 堂 考 点 探 究 探究点四 平行关系的综合应用 例5 如图所示，在正四棱锥 中， ，为棱 上的动点. （1）求正四棱锥 的表面积. ［思路点拨］利用正棱锥的性质及正棱锥的面积公式，即可求出正 四棱锥 的表面积； 课 堂 考 点 探 究 48 解：因为 ，所以正四棱锥 的底面积为2. 由正四棱锥的性质可得侧面为4个全等的等腰三角形， 因为, ， 所以正四棱锥的侧面积为 ， 所以正四棱锥的表面积为 . 课 堂 考 点 探 究 49 （2）若直线平面，求证：为棱 的中点. ［思路点拨］利用线面平行的性质得到线线平行， 利用中位线可证结论； 证明：如图①，连接,交于点，则为 的中点，连接 . 因为平面， 平面，平面 平面， 所以， 又为 的中点，所以为棱 的中点. 课 堂 考 点 探 究 50 （3）若，棱上是否存在一点 ，使得 平面？若存在，求 的值；若不存在，请 说明理由. ［思路点拨］设侧棱上存在点，使得 平面， 利用面面平行的判定和性质得到 平面 . 课 堂 考 点 探 究 51 解：在侧棱上存在一点，满足 ，使得平面. 理由如下: 如图②，取的中点 ， 连接，连接，交于点， 则为 的中点，连接 , 因为，所以 ， 又为的中点，所以 , 又 平面， 平面，所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 52 过点作，交于点，连接 ， 因为 平面， 平面，所以 平面 ， 又，, 平面 ， 所以平面平面 ， 又 平面 ,所以平面 . 由，得,由，为 的中点，得 ， 所以，即侧棱上存在一点，满足 , 使得平面 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 对于平行关系的综合问题,经常反复利用线面平行、面面平行的判定定 理与性质定理,不断地在“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间转化. 课 堂 考 点 探 究 54 变式题 如图，在三棱柱中，，分别为线段 ， 上的点，，， . 课 堂 考 点 探 究 55 （1）求证：平面 . 证明：因为，分别为线段， 上的点, ,, , 所以 ， 又，所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 56 （2）在线段上是否存在一点，使平面平面 ?请说 明理由. 课 堂 考 点 探 究 57 解：如图，取上的点，使 ， 连接，，则 . 因为 平面， 平面 ， 所以平面 ， 同理可得，平面 ， 又，， 平面，所以平面平面 ， 故在线段上存在一点，使平面平面 . 课 堂 考 点 探 究 58 （3）若四棱锥 的体积为1，求三棱柱 的体积. 解：由题意可得 ， 则 , 所以 ， 故三棱柱的体积为 . 课 堂 考 点 探 究 59 课时作业 60 1.已知平面 ，直线，，如果，且 ，那么与 的位 置关系是( ) A.相交 B. 或 C. D. [解析] 如果，且 ，那么 或 .故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 2.[2025·北京房山区调研]设 , 是两个不同的平面， 是直线且 ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 当 且 时，若 与 相交， 则 与两平面的交线平行，故 不一定成立，即充分性不成立. 当 且 时， ，必要性成立. 综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 3.[2025·河南郑州调研]已知直线和平面 ，若 ，则下列说法 正确的是( ) A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若， ，则 [解析] 对于A，若 ， ，则与 平行或异面，故A错误； 对于B，若 ， ，则 或 ，故B错误； 对于C，若 ， ，则与 可能平行、相交、异面，故C错误； 对于D，若 ，， ，则 ，故D正确.故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 4.若直线不平行于平面 ，则下列结论成立的是( ) A.平面 内不存在与 平行的直线 B.平面 内所有直线与 相交 C.平面 内所有直线与 异面 D.直线与平面 至少存在一个公共点 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 [解析] 由于直线不平行于平面 ， 所以直线与平面 相交或直线在平面 内. 当直线在平面 内时，平面 内存在与 平行的直线，故A错误； 当直线与平面 相交时，平面 内存在直线与 异面，故B错误； 当直线在平面 内时，平面 内存在与 平行的直线，故C错误； 由直线与平面 相交或直线在平面 内， 得直线 与平面 至少存在一个公共点，故D正确.故选D． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 5.若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面 平行的棱有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 [解析] 如图所示，在三棱锥中，平面 即平面， 则四边形 为平行四边形， 平面， 平面 ，平面， 又 平面，平面 平面，， 又 平面， 平面，平面. 同理，平面 ， 故与平面 （平面 ）平行的棱有2条. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 6.如图所示，在四棱锥中，, 分别 为,上的点，且平面 ，则下列说 法正确的是( ) A. B. C. D.以上均有可能 [解析] 因为 平面，平面，平面 平面 ，所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 7.如图，在三棱锥中，点， 分别为 棱，上的点，且， ， 为棱上的点，若，且满足 平面，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 69 [解析] 如图，取的中点，连接, ， 因为，所以为的中点， 又为 的中点，所以， 又 平面 ， 平面，所以平面， 又 平面，且，， 平面 ， 所以平面平面. 因为 平面，所以 平面， 又 平面，平面 平面，所以 ， 又，所以，所以，所以 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 8.[2025·北京石景山区调研] 已知正四棱柱 的底面 边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为____；若为棱 上 一点，则四棱锥 的体积为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 [解析] 连接，在中， ， 则. 因为， 平面， 平面， 所以 平面， 又为棱 上一点，所以四棱锥的体积即为 四棱锥 的体 积， 又 ， 所以四棱锥的体积为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 9.如图，在四棱锥中，四边形 是正 方形，点,分别是, 的中点. （1）求证：平面 ； 证明：如图，连接，易知为 的中点， ， 又 平面, 平面 ， 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 73 （2）若是的中点，证明：平面 平面 . 证明：,分别为, 的中点，， 平面, 平面,平面 ， 同理可得平面 ， 又，, 平面, 平面平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 74 10.[2025·福建莆田一中适应性考试]如图，在三棱 柱中，为的中点，平面 将 三棱柱分成体积为，的两部分，则 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 75 [解析] 由题可知，，， 四点共面. 在三棱柱中， 平面平面 ， 平面 平面，平面 平面 ，，， 又 为的中点，为的中点. 延长至点 使，延长至点使， 延长至点 使，连接，，， 得到三棱柱 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 76 延长，，在三棱柱中， ，分别为， 的中点， ，相交于点， 多面体 为三棱台. 设三 棱柱的高为 ，上、下底面面积均为 ，体积为，则 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 77 ， 分别为，的中点， .根据棱台的体积公式可知 ， ， . 故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.[2025·温州二模]在四棱锥中，，分别是棱， 上 的点，且，则下列条件可以确定平面 的是( ) A. B. C.平面 D.， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 79 [解析] 设点是上一点，且满足，则, 又 平面， 平面，所以平面， 要使 平面，则平面平面，需使 . 对于A，在四边形中，由，， 可得 ，故A正确； 对于B，因为，，但与 不一定相等， 所以四边形不一定是平行四边形，从而不一定得到 ， 故B错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 80 对于C，因为平面， 平面 ， 平面 平面， 所以 ，结合B项分析，可得C错误； 对于D，结合B项分析，同样不一定得到 ，故D错误.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 81 12.[2025·黑龙江名校协作体一模]如图， 是 圆台上底面的圆心，， 是圆台下底面圆周 上的两个动点， 是圆台的一条母线，记圆 台的上、下底面圆的半径分别为， .若 A. B. C. D. ，平面，且 的最小值为6，则该圆台的体积 为( ) √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 82 [解析] 如图，取圆台下底面的圆心为 ， 令，连接,, ，显然， 因为平面 平面， 平面， 平面 ， 所以， 所以四边形 为平行四边形， 则, 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 83 在中， ， ， 在圆中，当且仅当时， 取得最小值6， 所以，可得 ，所以. 圆台的高 ， 所以该圆台的体积 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.（多选题）如图，在棱长为的正方体中， 为 棱的中点，为侧面的中心，平面 截该正方体所得 到的多边形为 ，且 交于点 ，则( ) A.平面 B. C. 是平行四边形 D. 将正方体分成两部分，这两部分的体积之比 为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 85 [解析] 对于A，如图①，取的中点， 因为 为侧面的中心， 所以，且 ， 又，且，所以 ，且， 所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又 平面， 平面， 所以 平面，故A正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 86 对于B，如图②，作于点 ， 则，则， 所以 ， 所以，故B正确； 对于C，如图③，连接并延长与 交于点， 连接，， 由平面平面及平面 与这两 个平面分别交于，，得， 同理，所以 是平行四边形，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 87 对于D，如图③，连接， ， 由选项C知， 为平行四边形， 设， ，几何体的体积为， 则 ， 另一部分的体积，则，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知正四棱柱 的侧棱长为3，底 面边长为2，是棱的中点，是棱上靠近点 的三等分点，动点在侧面 （包括边界）内 运动，若平面，则线段 的长度的最小 值是_ ___. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 89 [解析] 如图，取的中点，设上靠近点 的三等分点为， 上靠近点的三等分点为 ，上靠近点的三等分点为， 连接， ，，，，. 在正四棱柱 中， ，且， 四边形是平行四边形，， 又 平面， 平面， 平面 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 90 ，分别是和 的中点， ，同理可知， 又, ， 四边形是平行四边形， ，， 又 平面 ， 平面，平面 . 又， 平面， 平面， 平面平面 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 91 平面 ，动点在矩形（包括边界）内运动， 点 在线段上运动. 在 中，易求，， 为等腰三角形， 点为线段的中点时， 取得最小值, 此时 ， 故的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， 为底 面的中心，,分别为,的中点， 为等腰直角三角形，且 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 93 （1）若平面 平面，判断与 的 位置关系并证明； 解： .证明如下： 因为底面 为平行四边形， 所以， 又因为 平面， 平面，所以平面， 又因为 平面，平面 平面，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 94 （2）求异面直线与 所成角的余弦值； 解：如图，连接，易知为 的中点， 又点为的中点，所以 ， 所以异面直线与所成的角即为与 所成的角. 在等腰直角三角形中，设 ， 则 ，，， 在 中，由余弦定理得 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 95 （3）若为的中点，点在上，点 在棱 上，，且平面平面 ，求 实数 的值. 解：连接，如图所示，因为为的中点， 为的中点， 所以， 因为平面 平面，平面 平面， 平面 平面，所以， 所以，即 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 96 $