第5单元 07 第35讲 复数（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“复数”专题，依据课标要求覆盖复数概念、几何意义、四则运算三大核心考点，通过2023 - 2025年全国卷及地方模拟真题分析，明确复数运算（占比45%）、几何意义（30%）为高频考点，归纳出概念辨析、模的计算、轨迹问题等常考题型。 课件亮点在于“基础巩固 + 真题突破 + 素养提升”的分层设计，如以2023全国甲卷复数运算题为例，详解分母有理化技巧，培养数学运算思维，结合|z - z0|的几何意义，通过圆的轨迹问题训练数学眼光。特设易错点索引（如虚部概念混淆）和模的性质应用模板，助力学生掌握得分技巧，教师可依托专题训练精准指导，提升复习效率。

第35讲 复数 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 【课标要求】 1.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义. 2.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义. 课 标 要 求 3 1.复数的有关概念 （1）复数的概念 我们把形如的数叫作复数，其中叫作__________， 叫作复数的______，叫作复数的______.若______，则 为实数； 若______，则为虚数；若_____________，则 为纯虚数. 虚数单位 实部 虚部 且 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 （2）复数相等： _____________ . （3）共轭复数：与共轭 _______________ . 且 且 （4）复数的模：向量的模叫作复数 的模或绝对值，记作____或________，即 _________. 一般地，两个共轭复数的模相等，即 . 课 前 基 础 巩 固 5 2.复数的几何意义 （1）复数 复平面内的点_______ . （2）复数平面向量为坐标原点 . 课 前 基 础 巩 固 6 3.复数的运算 （1）复数的运算法则 设, ,则 ①加法: __________ _______.（复数的加法满足交换律、结合律） ②减法: _________________. ③乘法: _____________________. （复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律） ④除法: ______________ . 课 前 基 础 巩 固 7 （2）复数加、减运算的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形 可以直观地反映出复数加、减法的几 何意义，即， . 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 1. 的周期性: ,,, ; . 2.复数模的性质: ;; ; . 课 前 基 础 巩 固 9 3.复数模的几何意义: 表示复平面内复数对应的点与复数 对应的点之间的距离; . 4.实系数一元二次方程虚根成对:若实系数一元二次方程有虚根,则两 根互为共轭复数. 课 前 基 础 巩 固 10 5.复数在复平面内对应的点为 ①若，则点的轨迹为以原点为圆心，和 为半径的两 圆所夹的圆环. ②若，则点的轨迹为以为圆心， 为 半径的圆. 课 前 基 础 巩 固 11 题组一 常识题 1.［教材改编］若复数 为虚数，则实数 的取值集合为__________________. 且 [解析] 由题得，解得且， 故 的取值集合为且 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］在复平面内，是原点，向量对应的复数是 . 如果点关于实轴的对称点为，点关于虚轴的对称点为 ，则向量 对应的复数为______，点 对应的复数为_______. [解析] 由题意得点的坐标为， 则点关于实轴的对称点 的坐标为， 则向量对应的复数为. 点 关于虚轴的对称点的坐标为， 则点对应的复数为 . 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］复数 的共轭复数是_______. [解析] , 故其共轭复数是 . 课 前 基 础 巩 固 14 4.［教材改编］已知是关于 的方程 的一个根，则____， ____. 12 26 [解析] 是关于的方程 的一个 根， 是此方程的另一个根， ， ， 解得， . 课 前 基 础 巩 固 15 题组二 常错题 ◆ 索引：将复数的虚部误认为是 致误;复数相等的 充要条件及复数的几何意义掌握不牢致误;错用虚数单位 的幂的性质 致误;纯虚数的概念掌握不牢致误;不理解复数模的几何意义致误. 5.若复数为虚数单位，则 的共轭复数的虚部为___. 1 [解析] 因为， 所以 的共轭复数为，故 的共轭复数的虚部为1. 课 前 基 础 巩 固 16 6.已知，，，是虚数单位，则 ___；若复数，则 在复平面内对应的点位于第____象限. 0 二 [解析] 由，得 ， 由复数相等的充要条件得解得 所以. 由题得， 所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第二象限. 课 前 基 础 巩 固 17 7.若复数，则 ____. [解析] 因为 ， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 18 8.已知，若为纯虚数，则 ____. [解析] 因为, ， 且为纯虚数， 所以 解得 . 课 前 基 础 巩 固 19 9.满足的复数 在复平面内对应的点构成的图形 的面积为____. [解析] 设, 由 可得, 所以复数 在复平面内对应的点构成的图形是以为圆心, 1和 为半径的圆所夹的圆环,其面积为 . 课 前 基 础 巩 固 20 探究点一 复数的概念 1.[2025· 全国一卷] 的虚部为( ) A. B.0 C.1 D.6 [解析] ，其虚部为1，故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 21 2.[2023·全国甲卷]设，，则 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 因为 ， 所以解得 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 22 3.[2025·江西鹰潭二模]复数，若 为纯虚数， 则 ( ) A.4 B. C.1 D. [解析] 由题意可得，因为 为纯虚数， 即为纯虚数， 所以 解得 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 23 4.（多选题）已知复数，为虚数单位，为 的共轭复数，则 下列说法正确的是( ) A. B. C. 是实数 D. 在复平面上对应的点在第二象限 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] ，所以 ，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； 在复平面上对应的点在第四象限，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题 时要注意将已知的复数化为代数形式 ,根据概念 的不同,灵活使用条件得出符合要求的答案. 课 堂 考 点 探 究 26 探究点二 复数的几何意义 1.[2023· 新课标Ⅱ卷]在复平面内， 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 因为 ， 所以在复平面内对应的点为 ，位于第一象限， 故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 27 2.[2023·北京卷]在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 的共轭复数 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为在复平面内对应的点的坐标是 ， 所以根据复数的几何意义可知， ， 由共轭复数的定义可知， .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 28 3.在复平面内，为坐标原点，复数， 对应的向量分别 是，，则 对应的复数为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得， ， 所以， 则 对应的复数为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 29 4.[2025·广东广州二模]已知复数满足，则 的最小值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 方法一：，即 ， 由复数的几何意义知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 而表示复数在复平面内对应的点与点 的距离， 所以的最小值为 . 方法二：设， ， ， ， ， 则 ， 当且仅当 时取等号.故选B. 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] （1）复数在复平面内对应的点和向量 相互联系,即 ,, 相互一一对应. （2）复数的几何意义:复数在复平面内对应的点的坐标就是向量 的坐标,对于复数 ,其在复平面内对应的点的坐标 是 ,复数的模即为其对应向量的模. 课 堂 考 点 探 究 32 探究点三 复数的四则运算 1.[2024· 新课标Ⅰ卷]若,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题可得,则 . √ 课 堂 考 点 探 究 33 2.[2023·全国甲卷] ( ) A. B.1 C. D. [解析] .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 34 3.[2025·浙江北斗星盟三模]若复数满足，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 设 ， 则， 所以， ，故 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 35 4.（多选题）[2025·汕头一模]已知复数 ， ，则下列结论正确的是( ) A.若，则 在复平面内对应的点的轨迹是圆 B.若，则 在复平面内对应的点的轨迹是椭圆 C.若，则 在复平面内对应的点的轨迹是双曲线 D.若，则 在复平面内对应的点的轨迹是 直线 √ √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 对于A，若， 则 在复平面内对应的点到定点的距离等于2， 点 的轨迹是圆，A正确； 对于B，若,则在复平面内对应的点到定 点 与点的距离之和为2， 而点与点的距离也为2， 所以点 的轨迹为线段，B错误； 课 堂 考 点 探 究 37 对于C，若, 则 在复平面内对应的点到定点与点的距离之差为1， 点 的轨迹是双曲线的一支，C错误； 对于D，若 ， 即， 则在复平面内对应的点到定点 与点的距离相等， 点的轨迹是线段的中垂线，D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] （1）复数的加减法:在进行复数加减法运算时,可类比合并同类项,运 用法则（实部与实部相加减,虚部与虚部相加减）计算即可. （2）复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚 数单位的看作一类同类项,不含 的看作另一类同类项,分别合并即可. （3）复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解 题中要注意把 的幂写成最简形式. 课 堂 考 点 探 究 39 课时作业 40 1.[2026·惠州一调]已知复数满足（其中 为虚数单位），则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 故 .故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 2.[2026·湖南常德起点考]若复数（其中 为虚数单 位），则 ( ) A.2 B. C. D.10 [解析] 方法一：因为 ， 所以 . 方法二：因为 ， 所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 3.复数 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] ， 则 在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 4.已知复数，则“”是“ ”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] ， . 若，则， 或， “”是“ ”的必要不充分条件.故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 5.已知，为实数，（为虚数单位）是关于 的方程 的一个根，则 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 [解析] 是关于的方程的一个根， 也是关于的方程 的一个根， 则，， .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 6.（多选题）[2025·贵州贵阳七校联考（四）]已知复数 ，则( ) A.若复数为实数，则 B.若复数为纯虚数，则 C.当时， D.复数 在复平面内对应的点不可能在第二象限 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 对于A，依题意可得，即， 则 ，故A正确； 对于B，依题意可得可得 ，故B错误； 对于C，依题意可得， 所以 ，故C正确； 对于D，若复数 在复平面内对应的点在第二象限， 则无解，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 7.[2025·湖北十堰五月适应性考] 若复数满足，则 在复 平面内对应的点位于第____象限. 二 [解析] 由 ， 得， 则 在复平面内对应的点为 ，位于第二象限. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 8.[2025·北京东城区一模] 若复数满足，则 _ __. [解析] 由题得，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.[2025·广东深圳深圳外国语学校第七次月考] 已知 为虚数单位，复 数，则 的实部与虚部之和为 ___. 1 [解析] ， 所以 的实部与虚部之和为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 综合提升 10.[2025·湖南长郡二十校二联]已知为虚数单位，复数 ，则 下列说法正确的是( ) A.的共轭复数为 B.的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] ， 所以，A选项错误； 的虚部是 ，B选项错误； ，C选项错误， 在复平面内对应的点为 ，该点在第一象限，D选项正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 11.已知复数, ，若 ,，那么 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] 由题得 则 所以 . 因为，当且仅当 时取等号， 所以， 所以 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）[2025·江西萍乡一模]已知复数， 在复平 面内对应的向量分别为，（其中 为原点），则下列说法正 确的是( ) A.若，则 B.若，则 的最小值为3 C.若，则 D.若，则 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 对于A，若， 则复平面内以和 为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知A正确； 对于B，若，则点的轨迹是以 为圆心，5为半径的圆， 设 , ， 则 ， 因为，所以 ，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 对于C，由 得 ， 所以，所以， 取, ，显然，但 ，故C错误； 对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在复平面内，关于的方程 的四 个复数根对应的四个点在同一个圆上，则该圆的半径为____. [解析] 关于的方程 的复数根可分为两部 分. 第一部分：解，得 ， 对应的点分别为和； 第二部分：解，得 ， 对应的点分别为和. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 因为,,, 四点共圆，设该圆的圆心为， 所以既在线段的垂直平分线上， 也在线段 的垂直平分线上， 所以圆心的坐标为 ， 所以圆的半径 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14.已知，且，为虚数单位，则 的最大值 是___. 6 [解析] 设 ， 由 ，得 ， 所以，则复数 在复平面内对应 的点的轨迹是圆心为 ，半径为1的圆， 而 表示圆上任意一点到点的距离，如图所示， 显然 的最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 15.（多选题）[2025·河南郑州二模]已知复数 满足 ，则下列说法正确的是( ) A. B. C.若，则 D.若，则 [解析] 设， 则复数 在复平面内对应的点为， 设, ， 则 ， √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 同理，， 则点 的轨迹为椭圆，且，，， 点 的轨迹方程为. 对于A选项， ，A选项正确； 对于B选项， ，B选项正确； 对于C选项，若，则，， ，C选项正确； 对于D选项，，若，则或， 当 时，，此时， 当时，，此时 ，D选项错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.意大利数学家卡尔达诺发明了三次方程的代数解法，17世纪人们 把卡尔达诺的解法推广，并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用 来替换，得 到方程 ； 第二步，利用公式将 因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程 的三个根： ，， ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 第四步，写出方程 的根： ，， . 某同学利用上述方法解方程时，得到 的 一个值为 ，则下列说法正确的是________.（填序号） ①；②；③；④ . ①②③ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [解析] 由得 ， 依题意可知是的系数，所以 ，故①正确. 把方程中的用 来替换， 得 ； 对比与， 由 解得, ，故②正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 ，故③正确. ，故④错误.故填①②③. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $