第5单元 05 教材拓展4 极化恒等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“极化恒等式”专题，紧扣平面向量数量积计算及最值范围等高考核心考点，依据高考评价体系分析近5年真题中极化恒等式的考查权重，归纳菱形、三角形、正方形等常考几何模型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+模型突破+素养落地”，如2022北京卷动点问题用极化恒等式转化为中线长问题，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。提供“几何模型转化法”等应试技巧，助力学生高效解题，教师可依托典型例题与巩固演练精准教学，提升复习针对性。

教材拓展4 极化恒等式 1 典型例题 巩固演练 2 1.平行四边形的性质：平行四边形对角线的平 方和等于四边的平方和： （如图）. 2.极化恒等式 （1）在平面向量中， ， ， 两式相减可得极化恒等式 . 3 （2）几何解释 ①平行四边形模型：向量的数量积表示为以这组 向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角 线”平方差的，即 （如图）. 4 ②三角形模型：向量的数量积等于第三边上的中 线长与第三边长的一半的平方差，即 为的中点 （如图）. 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立 起向量与几何长度之间的等量关系. ［课本探源：人A必修第二册P39例 5 典型例题 例1（1）[2025·河北衡水中学三模]在菱形中， ， ，为平面 内的任意一点，则 ( ) A.2 B.0 C. D.4 √ 典 型 例 题 6 [解析] 方法一：如图，连接,交于点，连接 . 因为， ， 所以， ， 故选C. 所以 . 典 型 例 题 7 方法二：如图，连接,交于点，连接 . 因为， ， 所以， ， 由极化恒等式得 ,故选C. 典 型 例 题 8 方法三：以为坐标原点，所在直线为 轴，过点 且垂直于的直线为 轴建立如图所示的平面直角 坐标系， 则根据题意可得， ，，，设 ， 则 ，， ， ， 所以 .故选C. 典 型 例 题 9 （2）[2026·安徽蚌埠开学调研]如图，在边长为3的 正三角形中，点，分别在边， 上，且 ，则 ( ) A.3 B. C. D. √ 典 型 例 题 10 [解析] 方法一：由可得 , ,, 因此 .故选D. 所以 ， ， 典 型 例 题 11 方法二：如图，取的中点， 因为 ，， 所以, ， 由极化恒等式得， .故选D. 典 型 例 题 12 例2 如图，已知正方形的边长为4，若动点 在以 为直径的半圆上（正方形 内部，含边界），则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 取的中点，连接 ，如图所示， 则，即 . 根据极化恒等式得， 所以 .故选B. √ 典 型 例 题 13 [总结反思] （1）利用向量的极化恒等式可以快速对共起点（终点）的两向量的 数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度（数量）之 间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不 共终点的问题可通过平移等价转化为共起点（终点）的两向量的数 量积问题，从而利用极化恒等式解决. （2）利用极化恒等式求数量积的最值（范围）时，关键在于取第三 边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.难点在于求中线 长的最值（范围），可通过观察图形或结合点到直线的距离等求解. 典 型 例 题 14 巩固演练 1.在同一平面内，，是两个定点，是动点，若 ，则 点 的轨迹为( ) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆 [解析] 连接，设的中点为，连接 ， 由极化恒等式可得， 因为，是两个定点， 所以 为定值，从而为定值，所以点 的轨迹为圆，故选D. √ 巩 固 演 练 15 2.如图，在中，是边的中点，， 是线 段的两个三等分点靠近点 ，若 ，，则 ( ) A. B. C.1 D.2 √ 巩 固 演 练 16 [解析] 方法一：依题意，是边的中点，， 是线段的两个三 等分点靠近点 ， 则 ， ， 因此, ， 故 .故选B. 巩 固 演 练 17 方法二：依题意，是边的中点，， 是线段的两个三等分点 靠近点， ， ， 由极化恒等式得， ， 可得，，所以 ， 所以 ，故选B. 巩 固 演 练 3.[2022·北京卷]在中，，， . 为 所在平面内的动点，且，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 巩 固 演 练 19 [解析] 方法一：以为坐标原点，，所在直线分别为， 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则, . 设，， 则 ,， .故选D. 巩 固 演 练 20 方法二：记的中点为，连接， ，则 ， 由极化恒等式可得 . ， ； ， . 综上可得， 的取值范围是 ，故选D. 巩 固 演 练 21 4.边长为1的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点 为正 方形四条边上的动点，则当弦的长度最大时， 的最大值 是( ) A. B.0 C. D. √ 巩 固 演 练 22 [解析] 设正方形的内切圆圆心为，连接， 易知当弦 的长度最大时，为圆的一条直径，圆 的直径为1， 则由极化恒等式得. 易知当与正方形 的顶点重合时，， 因此 .故选C. 巩 固 演 练 23 5.如图，在平面四边形中，为的中点，且 ， .若，则 ___. 9 [解析] 由， 得 ， 则 . 巩 固 演 练 24 $