第4单元 08 增分微课5 三角函数中的参数范围问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数中的参数范围问题”专题，依据高考评价体系梳理了单调性、对称性、最值、零点四大核心考点，通过近五年高考真题及模拟题分析，明确单调性与对称性题型占比超50%的高频考点分布，归纳四类典型问题的解题框架，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+类型归纳+素养渗透”的备考策略，如以2023新课标Ⅰ卷零点问题为例，运用整体代换思想构建角的范围不等式，培养学生的数学思维和抽象能力。设置变式训练与易错点警示，帮助学生掌握参数求解技巧，教师可据此精准定位学生薄弱环节，实现高效复习教学，助力学生高考冲刺提分。

增分微课5 三角函数中的参数范围 问题 1 类型一 类型二 类型三 类型四 课时作业 2 【知识链接】在三角函数的图象与性质中，求 ， 的值或取 值范围是高考命题中的一个热点，因为其有时涉及三角函数的零点、 单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，所以与其有关 的问题灵活多样，历来是学习的难点，以下举例说明在不同条件下 , 的求法． 3 例1（1）[2025·宁夏中卫三模]已知函数 在上单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 令 ， ，得 ，，令，可得 . 因为函数在上单调递增，所以 ， 可得，所以 的取值范围是 .故选B. √ 类型一 三角函数的单调性与的关系 4 （2）[2025·湘潭5月适应性考试]已知函数 在区间上单调，则 的取值范围 为( ) A. B. C. D. [解析] 令 ，由，得 ，故只需函数 在区间上单调，因为，所以 . 又函数在区间上单调递增，所以只需 ，解得 ，又因为，所以 ，故选B. √ 5 [总结反思] 已知函数在某区间上的单调性求 ， 时，由所给区间求出整体角 的范围，由该范围是相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列 不等式（组）求解． 6 变式题 将函数 图象上所有点的横坐标变为 原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若 在 上单调，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知 ，则 . 由，得 ． 因为在上单调，所以，可得 ．故选A. √ 7 例2（1）[2026· 湖北华师一附中月考］将函数 的图 象向左平移 个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 方法一：将函数的图象向左平移 个 单位长度后，所得的图象对应的函数为 . 类型二 三角函数图象的对称性与的关系 8 由题意知 的图象关于原点对称， 即该函数为奇函数， 故 ， 即 ， 故 ,，即 , ，解得,， 因为，所以当时， 取得最小值，最小值为 . 故选A. 方法二：将函数的图象向左平移 个单位长 度后，所得的图象对应的函数为 . 由题意知的图象关于原点对称，故 , ，即,， 因为，所以当时， 取得最小值，最小值为 . 故选A. 10 （2）[2026·深圳调研]已知函数 的图象的相邻两条对称轴之间 的距离为3，且对任意的，恒成立，则 ( ) A. B. C. D. √ 11 [解析] 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为3，可得 的 最小正周期，所以，所以 . 因为对任意的，恒成立，所以直线为 图象的一条对称轴，所以， ，解得 ，, 又因为 ，所以 .故选D. [总结反思] 三角函数图象的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间 隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，其中 为 三角函数的最小正周期.这就说明，我们可根据三角函数图象的对称 性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建 立关于 ， 的方程（组）或不等式（组），进而可以研究 ， 的值或取值范围. 13 变式题 设函数的图象在区间 内恰有 三条对称轴、两个对称中心，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为 ，所以 . 的部分图象如图所示，要使函数 的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则 ，解得，即 的取值范围为 .故选C. 14 例3 [2025·北京西城区二模] 设函数 ，则使得函 数在区间上存在最大值的一个 的值为 _ __________________． （答案不唯一） 类型三 三角函数的最值与的关系 15 [解析] 因为 ，所以 ，令 , ， 得 ，. 因为在区间 上存在最大值， 所以， 有解，则 ,有解， 又，即 ，所以或， 所以符合题意的一个 的值为 . 16 [总结反思] 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与其图象的对称轴 或周期的关系，可以列出关于 ， 的方程（组）或不等式（组）， 进而求出 ， 的值或取值范围. 17 变式题 [2025·安徽合肥八中5月保温卷]已知函数 在区间上的最大值为 ，则满足需求 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由， ，得，显然 ， 故. ①若，即 ，则 在 上单调递增， ， √ 18 作出函数的图象与直线 ，如图，由图可知， 直线与函数 在 上的图象仅有一个交点，所以此时有一 个 满足要求； ②若 ，即，则,故 , 此 时,当 ,即 时， ，满足要求. 综上，满足条件的 共有2个.故选B. 例4 [2023· 新课标Ⅰ卷］已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是______. [解析] 因为,，所以，若函数 在区 间有且仅有3个零点，则需满足 ，所以 . 类型四 三角函数的零点与的关系 20 [总结反思] 函数两个零点之间的“水平间隔”为 ， 其中 为该函数的最小正周期，根据三角函数的零点个数，可以研究 ， 的取值情况. 21 变式题 设函数，若对任意实数 , 在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 令，则 ，令 ，则 ， 则原问题 转化为对任意实数 ，在区间上 至少有2个 ，至多有3个，使得，求 的取值范围. 22 作出和 的图象，如图，结合图象可知满足条件的最短区 间的长度为 ，最长区间的长度为 ， 但最长区间的长度取不到， ，解得 ，即 ，故选B. 23 课时作业 24 1.若函数在上单调递增,则 的最大值为 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 当时,,因为函数 在上单调递增,所以,可得 ,故选D. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 2.若函数在 上有最小值，没有最大 值，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 当时， ，由函数 在 上有最小值，没有最大值，得 ，解得，所以 的取值范围是 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 3.若函数在区间上单调，则 的 最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 当时，. 若 在上单调递增，则 ，解得 ， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 又 ，所以若不等式组有解，则，可得， 则； 若在 上单调递减，则 ，解得 ， 又 ，所以若不等式组有解，则 ， 不等式组无解，故不存在,使得在 上单调 递减.综上所述，，则 的最大值为2.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.[2025·北京卷]设函数 ,若 恒成立，且在上存在零点，则 的最小值 为( ) A.8 B.6 C.4 D.3 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 [解析] 函数 . 设函数的最小正周期为，由可得 ， 所以，即. 因为函数在 上存在零点，且当时， ，所以 ， 即.综上可得， 的最小值为4.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.把函数的图象向右平移 个单位长 度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若 的图象 关于点对称，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 [解析] 由题意可得，又 的图 象关于点对称，所以 ，解得 ， 则，，又 ，所以 当时，有最小值 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.[2022·全国甲卷]将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则 的最小值是 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 [解析] 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线 ，则曲 线对应的函数解析式为 . 因为曲线关于轴对称，所以 , ，解得 ,，又，所以 的最小值为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.已知函数在 内恰有3个最 值点和3个零点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 [解析] 由题意知 ，当 时，， 因为函数在 内恰有3个最值点和3个零点， 所以 ，解得 ，故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.[2025·吕梁期末]已知函数 ，若存在 常数，使为奇函数，则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 . 因为存在常数 ，使为奇函数，所以 ，所以 ， 此时 为偶函数， 所以 ,，因为，所以 的最小值为 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 9.[2025·北京丰台区二模] 已知直线 为函数 图象的一条对称轴，则满足条件的一个 的值为__________________；若在区间上有零点，则 的最小值为___. 1（答案不唯一） 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 [解析] 因为直线为函数 图象的一 条对称轴，所以 ，，解得， ， 又，所以可取. 当时， ， 若在区间上有零点，则，解得 ，又 ，，所以 的最小值为4. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知函数 的最小正周期为2, 的一个零点是 . （1）求 的解析式； 解：由题知，所以 . 又因为，所以 ， , 故 ， ， 又，所以 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 （2）当时，的最小值为，求 的取值范围. 解：由（1）知 ，令 ，当时, , 由题意知在 上 的最小值为，作出 的图象，如图所示， 由图可知，解得，所以的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 41 $