第4单元 06 第26讲 三角函数的图象与性质（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据课标要求梳理了五点法作图、定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性等核心考点，通过知识聚焦和常用结论系统构建知识网络，结合近五年高考真题分析，明确单调性、值域最值等高频考点占比，归纳定义域求解、性质综合应用等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+易错警示”的备考策略，如以2024全国甲卷三角函数最值题为例，运用辅助角公式和整体法求解，培养学生的数学思维和模型观念。特设常错题索引（如周期计算忽视绝对值）和解题模板（换元法求值域），帮助学生掌握答题技巧，教师可依托分层训练题精准教学，助力高效冲刺。

第26讲 三角函数的图象与性质 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、 最大（小）值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上,正切函数在 上的性质. 课 标 要 求 3 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在函数，的图象中，五个关键点是： ， ______,,_ ________， . （2）在函数，的图象中，五个关键点是： ， ______，,_ ______, . ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中 函数性质 图象 定义域 _ _______________ 值域 _______ _______ 课 前 基 础 巩 固 5 函数性质 最小正 周期 ____ ___ 奇偶性 ________ ________ ________ 单调递 增区间 _ _________________ ___________ _________ ________________ 奇函数 偶函数 奇函数 续表 课 前 基 础 巩 固 6 函数 性质 单调递减 区间 _ _________________ ____________ 无 对称中心 _______ _ __________ _ ______ 对称轴 方程 ___________ ________ 无 续表 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.函数和的最小正周期 ,函 数的最小正周期 . 2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 ,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是,其中 为最小正周期. 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是,其中 为最小正周期. 3. 若 ，则 （1）为偶函数的充要条件是 ； （2）为奇函数的充要条件是 . 课 前 基 础 巩 固 8 题组一 常识题 1.［教材改编］ 用“五点法”画, 的图象时，下列 点，，， 中不是关键点的一个是______. [解析] 用“五点法”画， 的图象时，五个关键点 为,,,,，可知 不是关键点. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］ 函数 的值域为______,当该函数 取最大值时对应的 _________________,该函数的最小正周期为 ____. [解析] 由知,, , 所以函数的值域为. 当函数取最大值时, ,即. 该函数的最小正周期 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］ 函数, 的单调递减区间是 _ __________________________. ， [解析] , ，由 ,,解得 , ,故的单调递减区间是, . 课 前 基 础 巩 固 11 4.［教材改编］ 函数 的定义域为_______________ __________. [解析] 要使函数有意义，则，得 ，则 ，即 ，所以 函数的定义域为 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：记错或中 与最小 正周期 的关系致误;忽视正、余弦函数的有界性致误;忽视自变量的 取值范围致误；忽视自变量系数的符号致误. 5.设 为实数,函数的最小正周期为 ,则 的值 为____. [解析] 由题意可得 ,则 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.函数 的最大值为___. 2 [解析] 由题意知 ,又 , 当时, . 课 前 基 础 巩 固 14 7.函数 的单调递增区间是________. [解析] 依题意,,令 , ,则 ,. 又 ,所以所求的单调递增区间为 . 课 前 基 础 巩 固 15 8.函数的最小值是___，此时 的值为___. -2 [解析] 依题意,,由,得 ，所 以当，即时，该函数有最小值 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 三角函数的定义域 例1（1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据对数函数的定义域可得 ,求解即可； √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 要使函数有意义，则,得 , ,, 函数 的定义域 为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 18 （2）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据正切函数的定义域及分母不等于零构造不等式组 求解即可. √ 课 堂 考 点 探 究 19 [解析] 要使有意义，则，可得 ， 且 ，，， ，故选A. 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式（组）,常借 助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴来求解. 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 方法一：要使函数有意义，则 ，在同一坐标系中画出 和在 上的图象， 如图所示. 由图可知，在内，当时，满足 ， 再结合正弦、余弦函数的最小正周期是 ，可知原函数的定义域为 . 变式题 函数 的定义域为______________________ _________. 课 堂 考 点 探 究 22 方法二：要使函数有意义，则 ， 所以 ， ， 解得， ， 所以原函数的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 23 探究点二 三角函数的值域或最值 例2（1）[2024·全国甲卷] 函数在 上的最 大值是___． 2 ［思路点拨］结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求函数在给定 区间内的最值即可； [解析] ，当 时， ，故当，即时， . 课 堂 考 点 探 究 24 （2）函数 的值域为_ _____. ［思路点拨］先利用二倍角公式变形，再利用换元法和二次函数的 性质即可求得 的值域. [解析] ， 令，则，则 的值域转化为 ， 的值域， ，,所以 ， 所以函数的值域为 . 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] 求三角函数的值域（最值）的几种方法: ①形如的函数,可化为 的形式,再求值域（最值）; ②形如的函数,可设,化为关于 的二 次函数,再求值域（最值）; ③形如 的函数,可设 ,化为关于 的二次函数,再求值域（最值）； ④形如的函数，可设，化为 ，再求 值域（最值）. 课 堂 考 点 探 究 26 变式题（1）[2024·天津卷]已知函数 的 最小正周期为 ，则函数在 上的最小值是( ) A. B. C.0 D. [解析] ，由 的 最小正周期为 ，得 ，解得，则 . 当时，，易知在 上单 调递减，所以在上的最小值为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 27 （2）[2025·安徽师范大学附中适应性检测]已知函数 ， 既有最小值也有最大值，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 由题意，函数， 既有最小值也有 最大值，,， 当函数 的最大值为1，最小值 为时，结合正弦函数的图象可得 ，即； 当 的最大值为，最小值为时，结合正弦函数的图象可得 解得. 综上所述，实数的取值范围为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 29 （3）已知函数，则 的最 大值为_______. [解析] 设，则 ， ， 可得，当 时， ，故 . 课 堂 考 点 探 究 30 探究点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例3 已知函数 为偶函数，且 函数的最小正周期为 . （1）求 与 的值； ［思路点拨］根据最小正周期的计算公式即可求解 ，根据 为 偶函数即可求解 ； 解：由的最小正周期为 ，可得，故.因为 为 偶函数，且，所以 . 课 堂 考 点 探 究 31 （2）若，求 图象的对称轴和对称中心. ［思路点拨］由辅助角公式化简，再利用整体法，结合正弦函数的 性质求解即可. 解：由（1）知 ，所以 ， 令 ,,得 ,，故 图象的对称轴 为直线 , . 令 ,,得 ,，故 图象的对称 中心为, . 课 堂 考 点 探 究 32 [总结反思] 1.求三角函数的最小正周期的常用方法：（1）公式法；（2）图象法. 2.三角函数中奇函数一般可化为或 的形式,而 偶函数一般可化为的形式.函数 图 象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标 一定是函数的零点.#2.2 课 堂 考 点 探 究 33 3.函数的图象的对称性与最小正周期 之间有如 下结论:①若函数图象相邻的两条对称轴分别为直线 与直线 ,则最小正周期 ;②若函数图象相邻的两个对称中心 分别为点与点,则最小正周期 ;③若函数图象相 邻的对称中心与对称轴分别为点与直线 ,则最小正周期 .#2.3 课 堂 考 点 探 究 34 变式题（1）[2025· 全国一卷]已知点 是函数 图象的一个对称中心，则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为的图象的对称中心为点, ，所以 的图象的对称中心为点, ，所以 ,，又，所以的最小值为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 35 （2）（多选题）函数， ，且 为偶函数，则下列说法正确的是( ) A. B.图象的对称中心为， C.图象的对称轴方程为 ， D.的单调递减区间为， √ √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 对于A，因为函数，且 为偶 函数，所以，，即， ，又因 为，所以 ，故A正确； 对于B，，令， ，得，，所以图象的对称中心为 ， ，故B正确； 课 堂 考 点 探 究 37 对于C，令 ，，得, ，所 以图象的对称轴方程为， ，故C错误； 对于D，令, ，得，， 故 的单调递减区间为，，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 （3）（多选题）[2025·甘肃兰州二模]若函数 ， 则( ) A.函数的最小正周期为 B.直线 是函数 图象的一条对称轴 C.函数 的图象有对称中心 D.若,有四个解，则 √ √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 对于A， 函数 的图象如图所示，由图可知 函数的最小正周期为 ，故A正确； 课 堂 考 点 探 究 40 图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，由图可知函数 的图象 没有对称中心，故C错误； 对于D，由图可得，当 时，令函数 ，可得,,或，所以若 , 有四个解，则也可以是，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 41 探究点四 三角函数的单调性 例4（1）已知函数 ,则( ) A.在上单调递减 B.在 上单调递增 C.在上单调递减 D.在 上单调递增 ［思路点拨］逆用二倍角的余弦公式化简 ，结合余弦型函数的 单调性写出 的单调递减区间和单调递增区间，逐项判断即可； √ 课 堂 考 点 探 究 42 [解析] ，令 , ，得,， 函数 的单调递减区间为 . 同理， 的单调递增区间为 .结合选项可知， C选项正确. 课 堂 考 点 探 究 43 （2）[2025· 黄石保温练]已知函数，其中 为实 数，若对恒成立，且，则 的单调 递增区间是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］先由对恒成立，得到在 处 取得最值，从而得到或 ，再 由得到，进而可得 的单调递增 区间. √ 课 堂 考 点 探 究 44 [解析] 因为对任意, 恒成立，所以 ，则 或. 当时， ， 则（舍去）； 当 时，， 则 ，符合题意. 故. 课 堂 考 点 探 究 45 令 ， 解得，故 的单调递增区间是 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）解决形如 的函数的单调性问题,一般是将 看成一个整体,再结合图象利用 的单调性求解.如果 函数中自变量的系数为负值,那么要根据诱导公式先把自变量的系数 化为正值,再确定其单调性. （2）已知函数 的单调性求参数,可先求出 的取值范围,再根据是函数 的单调 区间的子区间列不等式（组）求解. 课 堂 考 点 探 究 47 变式题 已知函数在区间 上单调， 则 的取值范围为_ _____. [解析] 由题可知的最小正周期，因为在区间 上 单调，所以 ，则 ，可得 . 当时，，且 ，，所以 ，解得 ，结合 ，得 的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 48 课时作业 49 1.函数， 的值域是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，， ， ，即 .故选A. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 2.[2025·湖南邵阳三模]函数 在下列区间上单调 递减的是( ) A. B. C. D. [解析] 令 , ，解得 ,，令，可得 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 3.若函数 的图象的两个对称中心间的最 小距离为，则 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为函数 的图象的两个对称中心 间的最小距离为，所以该函数的最小正周期满足，则 ， 所以 ，解得 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 4.[2025·陕西汉中二联]当时，曲线与 的交点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 画出曲线 与 曲线 ，如图所示， 所以交点个数为3，故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 5.[2025·山东烟台三模]若函数 图象的 一个对称中心为，则 的值为( ) A. B. C.1 D. [解析] 因为函数图象的一个对称中心为 ， 所以 ，，解得， ，又因为 ，所以 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 6.（多选题）[2025·四川成都二诊]已知函数 ，则 ( ) A.的最小正周期为 B.的图象关于直线 对称 C.在 上单调递减 D.在 上有2个零点 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 [解析] 对于A，函数的最小正周期为 ，A正确； 对于B，因为，所以 的图象不关于 直线对称，B错误； 对于C，当时， ，因为正弦函数在上 单调递减，所以在 上单调递减，C正确； 对于D，当时，，由 ， 得或 ，解得或，即在 上 有2个零点，D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 7.函数 的定义域为______________________ _______. [解析] 要使函数有意义，则有即 即 所以 ， ， 所以函数的定义域为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 8.函数，为偶函数，则 的值为 ___. [解析] 因为 为偶函数，所以 ,，故,，因为 ，所 以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 9.[2025·湖北部分高中协作体一模] 设函数 . （1）求函数 的最小正周期； 解：由辅助角公式得 ， 则 ， 所以该函数的最小正周期 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 （2）求函数在 上的最大值. 解：由题意得 ， 由可得，所以当，即 时， 该函数取得最大值 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 10.[2026·安徽A10联盟调研]若直线 是函数 图象的一条对称轴，则 的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 令，解得.因为 ， 所以当时，取得最大值 .故选A. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 11.[2026·宁波一模]已知函数 ，若对任意 的，恒成立，且当时， 取到最大值， 则 的所有可能取值构成的集合为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 [解析] 因为对任意的，恒成立，所以 的一 个周期为 ，又的最小正周期，所以， ， 则，. 当时， 取得最大值，则 , ， 故 又，所以的可能取值为,, ,1.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 12.（多选题）[2025·河北邯郸一联]已知直线 与函数 的图象的两个相邻交点为 ,，若，且 为奇函数，则 ( ) A. B. C.函数 为偶函数 D.函数在区间 上单调递增 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 的图象和直线相邻交点间的距离是或 .因为 ,为直线与函数 的图象的两个相邻交点， 所以或，所以或 ， 又，所以或，又，所以 ，选项 A错误； 由 为奇函数， 得 ，，即，，又 ， 所以， 选项B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 ，故 为偶函数，选项C正确； 令 ， ，可得 ，，取，可知函数 在区间 上单调递增，选项D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.不等式在上有解，则实数 的 取值范围是_ _____________. [解析] 由 ，得 ， 故在上有解. 令 ，则在 上 有解. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 令，，则在 上 单调递增，故当时， 取得最小值，最小值 为 ，故 ，故实数的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2025·福建龙岩3月质检] 若函数 的图象在 内有且仅有两条对 称轴，则 的取值范围是_ _____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 [解析] 对于函数 ，令 ，，得,， 当 时，；当时，；当 时， . 因为的图象在 内有且仅有两条对称轴，所 以解得,所以 的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知， . （1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求 的值； 解： . 设的最小正周期为，因为函数 图象的两条相邻对称轴之间 的距离为，所以，则 ，所以 ，所以 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 （2）若函数的图象关于点对称，且函数在 上单 调，求 的值． 解：由的图象关于点 对称，得 ， ，所以， . 由，，得 ， 又函数在上单调，所以解得 ， 又，，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 16.（多选题）[2025·山东济南三模]已知偶函数 的最小正周期为 ，下列说法正确的是( ) A.在 上单调递减 B.直线是曲线 的一条对称轴 C.直线是曲线 的一条切线 D.若函数在 上恰有三个零点、三个极值点， 则 √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 [解析] 因为 ，所以根据辅助角公 式可得. 因为 是偶函数，所以，即， 又因为 ，所以，，故 由 的最小正周期 ，可得，所以 . 对于选项A，当时，，根据余弦函数的性质知 在上单调递减，所以在 上单调递减， A选项正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 对于选项B，因为 ， 所以直线不是曲线 的一条对称轴，B选项错误. 对于选项C，对求导，可得 直线 ,即的斜率为 . 令，得 ，所以 ，即. 当 时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 代入直线方程 得 ，当 时，直线 与曲线有公共点，且曲线 在该点处的切线斜率与直线 的斜率相等，所以直线 是曲线 的一条切线，C选项正确. 对于选项D，，当 时， .因为在 上恰有三个零点、三个极值点，所 以根据余弦函数的图象、性质可知，解得 ， D选项正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知,,为函数和 图象的 三个连续交点，若的面积为 ，则 的值可以是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：由 ，得 ,，所以 ,. 因为,, 为连续的三个交点，所以不妨设 ,1,2，此时 , , ，即 , ,， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 所以 ，点到直线的距离 ，所以 ， 所以，解得 ,，所以 , ， 所以 符合题意，故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：如图①所示，分析图象可知， ，且 轴， ，点到直线的距离为， 因为的面积为 ，所以 ，所以. 当 时，如图②所示， 的图象可由的图象 向右平移 （个）单位长度得到，故 ,； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 当 时，如图③所示，的图象可由 的图象 向右平移（个）单位长度得到，故 , . 综上， 或 ,.所以 符合题意，故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $