第2单元 09 第12讲 对数与对数函数（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据课标要求覆盖对数概念、运算性质、函数图象与性质、反函数等核心考点，通过近五年高考真题分析明确“对数运算”“单调性应用”“比较大小”为高频考点，占比超60%，构建“基础巩固-考点探究-真题演练”的系统复习框架。 课件亮点在于“真题情境化+解题程序化”设计，如以2024北京卷生物丰富度指数题为例，运用换底公式转化对数关系，培养数学思维与运算能力。针对易错点“忽略真数范围”“底数讨论”设置专题突破，通过“母题变式”训练提升学生用数学语言表达逻辑推理过程的能力，助力教师精准把握高考动向，实现高效复习。

第12讲 对数与对数函数 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成 自然对数或常用对数. 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具 画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数与指数函数互为反函数 ，且 . 课 标 要 求 3 1.对数的概念 （1）定义：一般地，如果，且,那么数 叫作以 为底的______,记作,其中叫作对数的底数， 叫作真数. 对数 （2）常用对数与自然对数 通常，我们将以____为底的对数叫作常用对数,即 是常用对数, 通常简写为_____. 以无理数 为底的对数称为__________,自然对数 通常简写为_____. 10 自然对数 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 2.对数的性质 （1）___且 ； 0 （2）且 ； （3）___且， . 课 前 基 础 巩 固 5 3.对数的运算法则与换底公式 （1）运算法则: 如果，且,, ，那么 _______________; _______________； ________ . 课 前 基 础 巩 固 6 （2）换底公式与推论 换底公式：，且；；，且 . 推论：________,且；，且 ； ,，且；，且 . 课 前 基 础 巩 固 7 4.对数函数的概念、图象与性质 概念 函数，且 叫作______函数 底数 图象 定义域 ________ 值域 ___ 性质 过定点______，即当时， 在区间 上是____函数 在区间 上是____函数 对数 增 减 课 前 基 础 巩 固 8 5.反函数 指数函数且 与对数函数______________________ _______互为反函数，它们的图象关于直线______对称. 且 课 前 基 础 巩 固 9 2.如图，给出4个对数函数的图象， 则 . 3.对数函数且的图象过点， ， . 常用结论 1.，且， 且 ，， . 课 前 基 础 巩 固 10 题组一 常识题 1.［教材改编］化简且， 且 ，且 的结果是___. 1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］设，，，则，， 的 大小关系是__________. [解析] , , ，即， . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］函数 的图象恒 过定点______. [解析] 令，解得，此时 ， 所以的图象恒过定点 . 课 前 基 础 巩 固 13 题组二 常错题 ◆ 索引：忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错; 忽略对底数的讨论致错. 4.已知，则 ___. 4 [解析] 因为，所以 ， 即，解得或. 由已知得， ，，所以，所以 . 课 前 基 础 巩 固 14 5.函数 的单调递增区间是__________. [解析] 因为,所以函数 在定义域内单调递减. 由，得或，因为函数在 上 单调递减,在上单调递增，所以函数 的单调 递增区间是 . 课 前 基 础 巩 固 15 6.若函数且在 上的最大值与最小值的差 是1，则 _ ____. 2或 [解析] 当时，有，解得； 当 时，有，解得. 综上，或 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 对数式的化简与求值 例1（1）（多选题）已知， ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据指对互化可得 ，再利用换底公式、对数 运算法则依次验证各选项即可. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] ，. 对于A， ，，， ，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，， ， ，C正确； 对于D，，D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）计算： ___. 9 ［思路点拨］利用对数运算法则及换底公式进行计算即可. [解析] 原式 课 堂 考 点 探 究 19 [总结反思] （1）利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数幂的形式, 使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简合并; （2）对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换 底公式及其推论, 利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的 和、差、倍之间进行转化. 课 堂 考 点 探 究 20 变式题（1）[2024·北京卷]生物丰富度指数 是河流水质的一 个评价指标，其中, 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类 数没有变化，生物个体总数由变为 ，生物丰富度指数由2.1提 高到 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得,,则 , 即,所以 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 21 （2）[2025·安徽皖南八校三联] 已知,, , ，则 ___. 4 [解析] 因为，所以 ， 又，所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 22 （3）[2024·全国甲卷] 已知且,则 ____. 64 [解析] 因为 , 所以,又,所以，则 . 课 堂 考 点 探 究 23 探究点二 对数函数的图象及应用 例2（1）（多选题）已知且，且 ，若 ，则函数与 在同一坐标系中的大致图 象可能是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］首先由得出，再分类讨论和 的取值范 围，根据指数函数和对数函数的图象即可得出答案. √ √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 因为，即，所以. 当 时，，则指数函数在上单调递减， 且图象过点 ，对数函数在上单调递增且 图象过点 ，将的图象关于轴对称得到 的图象，则在上单调递减且 图象过点 ，故A符合题意； 当时，，同理可得，指数函数在 上单调递增， 且图象过点，在 上单调递增且图象 过点，故B符合题意.故选 ． 课 堂 考 点 探 究 25 （2）[2024·北京卷]已知，是函数 的图象上两 个不同的点，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］对于A，B可结合指数函数与对数函数的单调性判断； 对于C，D可用特殊值判断. √ [解析] 对于选项A,B,由题意不妨设,因为函数 是增函数, 所以,即,易得 , 即, 课 堂 考 点 探 究 26 因为函数 是增函数,所以 , 故A错误,B正确; 对于选项C,取,,则, , 可得 , 此时,故C错误; 对于选项D,取, ,则,, 可得 ,此时 , 故D错误.故选B. 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] （1）在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函 数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低 点等）解题. （2）熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题. 课 堂 考 点 探 究 28 变式题（1）已知函数，则不等式 的解 集是( ) A. B. C. D. [解析] 依题意，等价于 ， 在同一直角坐标系中作出， 的图象，如图所示. 由图可得 的解集为 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 29 （2）已知函数，若 ，则( ) A. B. C. D. √ [解析] ，，可分别看作 的图象上的点， ， 与坐标原点连线的斜率. 作出 的图象，如图所示，并取点， ，，其中 ，再将 三个点分别与点相连，得到三条直线. 由图可知，当 时， .故选A. 课 堂 考 点 探 究 30 探究点三 解决对数函数性质有关的问题 微点1 比较大小 例3（1）已知,, ,则( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 方法一（中间量法） , , ,即 , .故选A. 课 堂 考 点 探 究 32 方法二（估值法） , , , .故选A. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025· 全国一卷]若实数,, 满足 ，则,, 的大小关系不可能是 ( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：设. 令 ，则,,，此时，故A有可能； 令 ，则,,，此时，故C有可能； 令 ，则,,， 此时 ，故D有可能.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 34 令 ，， ，设 , 则，，, 作出函数, ， 的图象， 如图所示. 方法二：由， 得 ，即. 课 堂 考 点 探 究 35 由图可知，当时，，即 ； 当时，，即 ; 当时，，即 ; 当时,，即 ; 当时，，即 ; 当时，, 即 ; 当时，，即 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式, 再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较; 三是通过构造函数，利用所构造函数的单调性确定或估算范围，进 而达到比较大小的目的. 2.估值法要记住常用对数近似值，如： ，，， ， ，， . 课 堂 考 点 探 究 37 微点2 解对数方程或不等式 例4（1）若，则 ____． 10 ［思路点拨］利用对数的运算性质化简对数方程,即可求得 的值. [解析] 因为 ， 所以 ， 所以，则，所以 ． 课 堂 考 点 探 究 38 （2）[2025·福建宁德三模] 设函数 ，则不等式 的解集是_ ________. ［思路点拨］先求得函数定义域，然后分与 讨论， 结合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 由可得 ，由 解得. 当时，, ， 由可得，即 ，无解； 当时，,，由 可得 ，即，即 ， 解得，又，所以 . 故不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] 对于形如的不等式,一般转化为 的形 式,再根据底数的范围转化为或 .而对于形如 的不等式,一般要转化为同底的不等式来解. 课 堂 考 点 探 究 41 微点3 对数函数性质的综合问题 例5 [2025·南通模拟] 已知函数 . （1）判断并证明 的奇偶性； ［思路点拨］利用奇偶性的定义判断、证明即可； 解： 为奇函数，证明如下： 由，即，解得， 故函数 的定义域为 . 又，所以 为奇函数. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）若对任意，，不等式 恒 成立，求实数 的取值范围. ［思路点拨］根据复合函数的单调性求出在 上的最小值， 把问题转化为对任意 恒成立，根据二次函 数的性质即可求得结果. 解：因为在上单调递减， 在定义域上为增函数，所以在上单调递减， 故在 上的最小值为 . 课 堂 考 点 探 究 43 要使对任意，，不等式 恒成立， 只需对任意 恒成立， 即对任意 恒成立. 因为的图象开口向上，所以 解得，所以的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 44 [总结反思] 利用对数函数的性质,解与对数函数有关的函数值域、最值和复合函 数的单调性等问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都 必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成, 即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、 分类讨论、转化与化归思想的使用. 课 堂 考 点 探 究 45 应用演练 1.[2024·天津卷]若，，，则， ， 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 因为在上单调递增，且 ， 所以，即 ， 即. 因为在上单调递增，且 ， 所以，即. 综上可得， ，故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 46 2.[2025·浙江金华十校模拟]已知，， ， 则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知，,, . 因为，所以 . 因为，所以 . 所以. 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 47 3.已知函数在 上单调递减，则实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数在 上单调递减， 所以在 上单调递增且 对任意 恒成立，所以 解得 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 48 4.已知函数，则不等式 的解集 为_________________. [解析] 因为，所以的定义域为 ， 又因为，所以函数 是偶函数. 令，因为在 上单调递增， 所以，故在 上单调递增， 所以在 上单调递增， 由不等式可得，则 ， 两边平方得，解得或 ， 所以不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 49 5.已知，设函数 ， 则 ___. 5 [解析] 由题意得，的定义域为 ， 则. 设，则 ， 在上单调递增， 当 ，即时，， 当，即时， ， . 课 堂 考 点 探 究 50 课时作业 51 1.已知,，则 ( ) A.3 B.4 C.2 D.5 [解析] 由，得 ， 所以 . √ ◆ 基础热身 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 2.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，则函数在 上单调 递减且的图象过点 .故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 3.已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知 ， ，所以， 因为， ，所以. 因为在上单调递减，且 ， 所以，即. 因为在 上单调递增，且，所以，即. 故 .故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 4.[2025· 广东广州二模]声强级（单位：）由公式 给出，其中为声强（单位： ）.轻柔音乐的声强一般在 内，则轻柔音乐的声强级所在区间是( ) A. B. C. D. [解析] 依题意可得，所以 ， 所以，所以 ， 即轻柔音乐的声强级所在区间是 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 5.[2026·南通调考]设，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，， ， 所以. 现在比较和 的大小，因为 ，，所以 . 再比较和的大小，因为 ， ，所以.故 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 6.（多选题）[2025·河北保定二模]若函数 ，则 ( ) A.为减函数 B.若，则 C.的值域为 D.若，则 √ √ [解析] 因为， ，所以为增函数，的值域为 ，故选项A错误，选项C正确； 由得，则，解得 ，故选项B正确； 由得，则，解得 ， 故选项D错误.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 7.计算： ___. 7 [解析] . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 8.已知函数，若的定义域为，则实数 的取值范围为_ _______；若的值域为，则实数 的取值范围为 _ _____. [解析] 若的定义域为，则的解集为 ， 解得，的取值范围为. 若 的值域为，则或解得或 ， 即，的取值范围为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 9.若，且 ，则( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 [解析] 设，则,, ， ,, . 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.[2025·福州二模]若函数, 的 图象如图所示，则函数 的 图象大致为( ) A. B. C. D. [解析] 由幂函数的图象可得 ， 函数 的定义域为，当时， ， 则 恒成立，故B，C，D错误，A正确.故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 11.若 ，则下列不等式一定不成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以. 由，得, . 作出函数,, 的图象如 图所示. 由图可知，,, 的大小关系可能为 ,, ,,, 故 不可能成立.故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 12.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是 ( ) A.函数的图象关于 轴对称 B.当时，单调递增，当时， 单调递减 C.函数的最小值是 D.函数的图象与直线 有四个交点 [解析] 的定义域为 ，关于原点对称， 且满足，所以函数是偶函数，其图象关于 轴对称， 故A正确； √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 当时，，由 的性质可知 其在上单调递减，在 上单调递增，所以由复合函 数的单调性可知，在上单调递减，在 上单调递增， 故B不正确； 当时，（当且仅当 时取等号），所以在 上的最小值为，又 是偶函数， 所以函数的最小值是，故C正确； 由函数的定义可得，函数 的图象与直线不可能有四个交点， 故D不正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.[2025·湖南邵阳三模] 已知减函数，且 的 图象过点，且，是方程 的两个实 数根，则 ___. 4 [解析] 由方程， 可得 或，解得或. 当，时， ，得，此时函数为增函数， 不符合题意，舍去； 当 ，时，，又，所以， 此时 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 14.[2025·浙江名校协作体模拟] 已知正实数满足，则 的取值范围是______. [解析] 因为，所以,所以 . 当时，不等式化简为，可得； 当 时，不等式显然不成立； 当时，不等式化简为 ，没有符合题意的解. 综上所述，的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 15.已知函数 . （1）当时，求函数 的取值范围； 解：由题得，令 ， 因为，所以 ， 所以 ， 又，所以,所以当时，函数 的取值范 围为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 （2）若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 解：由（1）及对任意 恒成立， 可得对任意 恒成立， 所以对任意 恒成立. 由对勾函数的单调性可知，在 上单调递增， 所以 ，故实数的取值范围为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 16.（多选题）若实数，，满足，则 ， ， 的大小关系可能是( ) A. B. C. D. √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 [解析] 设 ，则， ， . 如图，作出函数，， 在 上的图象， 则，，的值分别是函数， ，在上 的图象与直线 的交点的纵坐标. 由图可知，随着的变化，可能出现，， . 故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 17.（多选题）如图，已知过原点的一条直线与函数 的图 象交于，两点，分别过点，作轴的平行线，与函数 的图象交于， 两点，则( ) A.点，和原点 在同一条直线上 B.点，和原点 在同一条直线上 C.当平行于轴时，点的横坐标为 D.当平行于轴时，点的纵坐标为 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 [解析] 易知点，和原点 在同一条直线上，则点,和 原点 不在同一条直线上，故A错误； 设,,则 , ,因为点，和原点 在同一条直线上，所以, 化简得 ,所以点,和原点在同一条直线上，故B正确； 当平行于 轴时，,化简得 , 又,所以,故C正确； 当 平行于轴时，由选项C知 ,则, 故D错误. 故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 $